參數(shù)估計

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參數(shù)估計范文第1篇

Abstract： The non-parametric methodis a branch of probability statistics. Kernel density estimation will appear the boundary effect when estimating border region. This article proved the strong consistency of the given non-parametric condition kernel density estimation h■■（m，n）.

關(guān)鍵詞：非參數(shù)估計；Copula函數(shù)密度；條件核密度估計

Key words： non-parametric estimation；Copula function density；conditions kernel density estimation

中圖分類號：F830 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2015）25-0214-02

0 引言

本文根據(jù)核密度估計方法不利于和有關(guān)數(shù)據(jù)分布的先驗知識，因此將一些數(shù)據(jù)分布不增設(shè)其他的假設(shè)，那就是一些從基本數(shù)據(jù)樣本本身出面來研究數(shù)據(jù)分布估算特征的辦法，經(jīng)過對核密度估計變化系數(shù)進(jìn)行加權(quán)處理，就應(yīng)該建立不同的風(fēng)險投資價值的假設(shè)模型。參數(shù)估計一般應(yīng)該分成參數(shù)回歸分析法和參數(shù)判別分析法。為了解釋此個問題的現(xiàn)有的方法含有參數(shù)估計法和非參數(shù)估計法，對參數(shù)回歸一系列的分析中。

1 首先來了解非參數(shù)估計

非參數(shù)方法是概率統(tǒng)計學(xué)的一個分支，通常在一個統(tǒng)計課題中，如果確定或者假定了全體分布的清晰形式，并且其中含有一系列參數(shù)，要從來自全體的樣本對這些參數(shù)做出的一系列估算或進(jìn)行某種形式的假定檢測，這種推理的方法稱為非參數(shù)方法。

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)有如下性質(zhì)：如果概率密度函數(shù)h（x）在一點x上連續(xù)，那么累積分布函數(shù)可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)，由于隨機(jī)變量x的取值，只取決于概率密度函數(shù)的積分，所以概率密度函數(shù)在個別點上的取值并不會影響隨機(jī)變量的表現(xiàn)。更準(zhǔn)確來說，如果一個函數(shù)和x的概率密度函數(shù)取值不同的點只有有限個、可數(shù)無限個或者相對于整個實數(shù)軸來說測度為0，那么這個函數(shù)也可以是概率密度函數(shù)。函數(shù)型數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方式是近幾年才開始發(fā)展起來的，它涉及到很多學(xué)科，比如分類學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物力學(xué)等，是在這些學(xué)科的基礎(chǔ)上結(jié)合非參數(shù)統(tǒng)計推斷理論、方法與應(yīng)用研究形成的。并且因為這些學(xué)科中常常會用到大量的函數(shù)型數(shù)據(jù)，所以函數(shù)型數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方法也得到了廣泛關(guān)注和應(yīng)用。（應(yīng)用了連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)定義）

連續(xù)型的隨機(jī)變量取值在任意一點的概率都是0。作為推論，連續(xù)型隨機(jī)變量在區(qū)間上取值的概率與這個區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間無關(guān)。要注意的是，概率L{x=a}=0，但{x=a}并不是不可能事件。非參數(shù)估計的目的就是在一定條件下，估計未知密度函數(shù)h（x）。對于一維實隨機(jī)變量x，設(shè)它的累積分布函數(shù)是h（x）。如果存在可測函數(shù)h（x），滿足：①f（x）？叟0；②■f（x）dx=1；③P（a

2 再來了解Copula密度函數(shù)

Copula函數(shù)解釋的是變量空間的一般相關(guān)性問題，現(xiàn)實上是一種將聯(lián)合分布函數(shù)與本身的各自邊緣分布函數(shù)相連在一起的密度函數(shù)，所以我們還將它稱為連接函數(shù)。上個世紀(jì)九十年代中后期的相關(guān)理論和解決方法已經(jīng)在其他國家開始得到快速發(fā)展并且還應(yīng)用到金融、醫(yī)藥等領(lǐng)域的相關(guān)分析、投資組合分析和風(fēng)險投資管理等方方面面。在某些參數(shù)判別分析里面，一般需要假定認(rèn)為辨別依據(jù)的、隨機(jī)取樣的數(shù)據(jù)樣本在很多機(jī)會的類別中都配成特定的分布。實踐表明，參數(shù)模型的這種基本設(shè)定和真實的物理空間模型之間存在的差別并不大，但是由此方法得到的結(jié)論卻與現(xiàn)實相距甚遠(yuǎn)，這是因為密度估計方法不利于有關(guān)數(shù)據(jù)分布的先驗知識，所以一些數(shù)據(jù)分布不增設(shè)其他的假設(shè)時，其結(jié)果很難令人滿意。

通過了解知道Copula函數(shù)是兩個邊緣分布的連接函數(shù)，因此得出Copula函數(shù)的條件密度就是聯(lián)合密度函數(shù)，在這種情況下需創(chuàng)新傳統(tǒng)的估計方法，選用條件密度來估計隨機(jī)變量間的相輔結(jié)構(gòu)，在非參數(shù)核密度估計方法里面，條件概率密度核估計才是一整套相對比較完善的理論，因此將條件核密度估計理論在Copula函數(shù)的估計中進(jìn)行應(yīng)用，就可以得出在預(yù)定值超出所有知道的Copula類時刻對這種相依結(jié)構(gòu)的非參數(shù)估計。

3 最后來了解條件核密度估計法

核密度估計方法在估計邊界區(qū)域的時候會出現(xiàn)一般的邊界效應(yīng)。經(jīng)過對核密度估計變化系數(shù)進(jìn)行加權(quán)處理，就應(yīng)該建立不同的風(fēng)險投資價值的假設(shè)模型。參數(shù)估計一般應(yīng)該分成參數(shù)回歸分析法和參數(shù)判別分析法。

通過給定的集合樣本點來分析隨機(jī)變量的分布密度問題的函數(shù)是概率統(tǒng)計學(xué)的一個基礎(chǔ)課題之一。解釋此問題的現(xiàn)有方法包括參數(shù)估計法和非參數(shù)估計法。對參數(shù)回歸一系列的分析中，通常來設(shè)定數(shù)據(jù)分布符合某些給定的特定的形態(tài)，比如可化線性分析、線性分析等，再次在目標(biāo)函數(shù)中追尋一固定的解，那就是確定回歸模型中的未知參數(shù)值。

假定聯(lián)合隨機(jī)變量（X，Y），其中（Xi，Yi），i=1，2，3…，備有一定的聯(lián)合密度f（x，y）的Kp×Kq上各自單獨分布的樣本點，g（φ）是X的密度邊緣，h（y│x）=■為給定X=x時Y的條件密度。令R1，R2分別是Kp及Kq上的核函數(shù)，{an}，{bn}為可以設(shè)計的一個序列。h（y│x）的雙重核估計定義為：hn（y│x）=■。

設(shè)（X，Y）的布局為δ，δ的著力點為D。X，Y的邊緣分布分別為δ1，δ2，對應(yīng)的著力點為D1，D2。對于任意的x=（x1，…，xp）∈Kp，y=（y1，…，yp）∈Kq，a>0，b>0，假定R1，R2，

an（x），bn（y）符合下面條件：R1，R2分別是Kp及Kq上的有邊界概率密度邊緣函數(shù)；R1，R2可積；Kp及Kq著力點有界；對與任何一個Kp中緊集H1和Kq中緊集H2，有■a■（x）0，a.s當(dāng)n∞，■b■（y）0，a.s當(dāng)n∞，對任意Kp中緊集H1和Kq中緊集H2，■a■（x）0，a.s當(dāng)n∞，■b■（y）0，a.s當(dāng)n∞，inf■∞，a.s當(dāng)n∞，對于所有一切正整數(shù)n，x1，x2∈Kp，y1，y2∈Kq及所有的樣本點（X1，Y1），…（Xn，Yn）皆成立。

從實際應(yīng)用情況可以了解，按照給予的估計數(shù)量的不益的地方在于，窗寬{an}，{bn}的給定應(yīng)該重新再估算過。從歷史上來看，這種理論已經(jīng)得到了實踐，且得到了廣泛應(yīng)用，查閱很多相關(guān)的已發(fā)表的論文或者著作，發(fā)現(xiàn)在大多數(shù)情況下窗寬都是常數(shù)的形式，因此在實際的應(yīng)用過程中，若對窗寬進(jìn)行限制，會存在很多不便的地方，那些窗寬不為常數(shù)的情況，最突出的情況就是1965年提出的“最近鄰估計”，形同的估計在案例里也有很多的出現(xiàn)。

另知DEVROYE曾經(jīng)出現(xiàn)過“自動選擇窗寬”的核估計一般概念，那就是說窗寬基本由樣本來給定，不過其研討那窗寬與基于異議的（x，y）的位置相異，這些在實際運用上基本不能適應(yīng)，按照（x，y）的地理位置不定相同，窗寬適宜區(qū)別很大。因此我在此文章中采用隨機(jī)窗寬an（x）=an（x，X1，…，Xn），bn（y）=bn（y，Y1，…，Yn），把其中an，bn的區(qū)別代替以an（x），bn（y）作為h（y│x）的新估計，但是還是記為hn（y│x）。

這個時候所以就要重點看待的是，當(dāng)M，N是[0，1]×[0，1]上的隨機(jī)變量h■■（m，n）應(yīng)該在此區(qū)域內(nèi)的不定積分不一定等于1，為什么這樣說，這是因為在選取不同的核函數(shù)是有一定的關(guān)系，所以這樣了就與分布函數(shù)的概念自相產(chǎn)生了矛盾，因此為了解決這個疑問，所以就這個估算值必須重新來個標(biāo)準(zhǔn)，所以就標(biāo)為h■■（m，n），假定

h■■（m，n）= 0，m？埸[0，1]，n？埸[0，1]■，m∈[0，1]，n∈[0，1]

所以h■■（m，n）為[0，1]×[0，1]上的密度函數(shù)，通過以下來假定一下h■■（m，n）與h■■（m，n）以及h（m，n）三者之間的函數(shù)關(guān)系。令m，n為[0，1]上的隨機(jī)變量，其條件分布函數(shù)記為h（m│n），其聯(lián)合密度為f（m，n），邊緣密度為g（m），其中f（m，n），g（m）一致連續(xù)，inf g（m）>0，h■■（m，n）為h（n│m）的近鄰估計，h■■（m，n），那么當(dāng)n∞時，

■h■■（m，n）-h■■（m，n）0，a.s。因為聯(lián)合密度函Copula函數(shù)等于其條件密度函數(shù)，因此就有■h■■（m│n）-h■■（m│n）0，a.s。

通過已知條件可以知道f（m，n）是一致連續(xù)，故f（m，n）有界，即？堝U′>0使得f（m，n）0，g（m）是一致的連續(xù)性，故？堝U>0，可以讓■0，使得h（m│n）

？堝N1，當(dāng)n>N1時有以下式子成立：f■■（v│u）N2時可以有如下不等式成立：

H（1，1）-？諄-F（0，0）-？諄

所以當(dāng)n∞時，就有Hn（1，1）-Hn（0，0）1，a.s。因此suph■■（n│m）-h■■（n│m）=■■-h■■（n│m）=■（■-1）h■■（n│m）？燮（■-1）（U-？諄），a.s。

通過上式可以知道，當(dāng)n∞時，即■h■■（n│m）-h■■（n│m）0，a.s。

所以■h■■（m，n）-h■■（m，n）0，a.s。

從上面可以看出來，已經(jīng)證明了一切的非參數(shù)條件核密度估計h■■（m，n）的一致強(qiáng)相合性與關(guān)聯(lián)。

4 結(jié)論

對參數(shù)回歸一系列的分析中，一般先來設(shè)定數(shù)據(jù)分布符合某些給定的特定的性態(tài)，再次在目標(biāo)函數(shù)中追尋一固定的解，那就是確定回歸模型中的未知參數(shù)值。在選取不同的核函數(shù)是有一定的關(guān)系，所以這樣了就與分布函數(shù)的概念自相產(chǎn)生了矛盾，因此為了解決這個疑問，所以就這個估算值必須重新來個標(biāo)準(zhǔn)，證明了一切的非參數(shù)條件核密度估計h■■（m，n）的一致強(qiáng)相合性與關(guān)聯(lián)。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙凱鴿，袁永生，吳清嬌.基于Copula理論和非參數(shù)極值估計在上下游水位的相關(guān)性分析應(yīng)用[J].江南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015-04-28.

[2]孔繁利.金融市場風(fēng)險的度量――基于極值理論和Copula的應(yīng)用研究[D].吉林大學(xué)博士論文，2006-04-01.

[3]陳江平，黃炳堅.數(shù)據(jù)空間自相關(guān)性對關(guān)聯(lián)規(guī)則的挖掘與實驗分析[J].地球信息科學(xué)學(xué)報，2011（1）.

參數(shù)估計范文第2篇

關(guān)鍵詞：生長曲線，參數(shù)估計，伴隨同化

 

0 引言

生長曲線(Logistic curve)也稱S曲線，它是描述單一種群空間約束的生長過程曲線。其特點是開始生長較為緩慢，以后隨著某些條件的變化，在某一段時間內(nèi)增長速度較快，當(dāng)達(dá)到某一界限之后，生長速度又趨于緩慢，以至最后停止增長，生長曲線的特征決定了其在生命科學(xué)領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用。論文大全。目前，生長曲線在其他領(lǐng)域中也得到廣泛應(yīng)用。例如向前忠將生長曲線模型用于高速公路誘增交通量預(yù)測，王吉權(quán)等將生長曲線用于電力負(fù)荷預(yù)測中。生長曲線的一般形式為

(1)

這里是某物種數(shù)量，、、是三個參數(shù)，應(yīng)用時通常需要識別。參數(shù)識別是生長曲線

模型應(yīng)用的前提，目前已有一些研究結(jié)果。如果令，，，則是如下方程的解

(2)

通常已知，于是只需要識別參數(shù)和，方程式（2）即為著名的Logistic模型。這里利用伴隨同化方法對生長曲線的參數(shù)進(jìn)行識別，同時將該方法用于文獻(xiàn)[1]和美國1790-1950年人口數(shù)據(jù)。

1伴隨同化參數(shù)識別方法

令為的觀測，定義代價函數(shù)

(3)

這里為權(quán)重，為觀測算子，為研究區(qū)間。代價函數(shù)是度量觀測與模型解之間的距離函數(shù)，它反映在區(qū)間上與的擬合程度。于是模型參數(shù)識別問題就轉(zhuǎn)換為以(2)為約束，以(3)目標(biāo)函數(shù)的約束的極小值問題

(4)

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

(5)

這里為的伴隨變量。依據(jù)取極值的條件，容易得到滿足

(6)

方程(6)稱為方程(2)的伴隨方程，需要逆向求解。依據(jù)(5)可計算代價函數(shù)關(guān)于模型參數(shù)的梯度

(7)

為方便，記

,(8)

于是可對模型參數(shù)進(jìn)行校正

(9)

從而達(dá)到識別模型參數(shù)的目的。通常采用差分方法數(shù)值求解(2)和(6)，這里采用精度較高的4階Rounge-Kutta方法，但要注意(6)要逆向求解。歸納起來利用伴隨同化方法識別生長曲線參數(shù)的步驟如下：

1)　正向積分方程　(2)；

2)　逆向積分方程　(6)；

3)　計算梯度和代價函數(shù)；

4)　調(diào)整參數(shù)，為步長；

5)　如果則迭代終止(為事先給定的迭代終止參數(shù))，否則轉(zhuǎn)(1)。

2 數(shù)值實驗

2.1 基于文獻(xiàn)[1-2]數(shù)據(jù)的數(shù)值實驗

由文獻(xiàn)[1-2]可知，某種大豆的葉面指數(shù)y(t)與生育日數(shù)t的關(guān)系如表1的第一行和第2行。第3行為本文的結(jié)果，第4行為文獻(xiàn)[2]的結(jié)果。通過表1可看出，本文方法可以較好地識別出參數(shù)值，本文得到生長曲線

(10)

表1 數(shù)值實驗結(jié)果

參數(shù)估計范文第3篇

Abstract: In recent years, the research of the semi-parametric regression model which is a potentially tool for dealing with the regression has attracted considerable attention and becomes an important field in the regression analysis. This paper discusses the semi-parametric regression model with AR（p）errors, the problem of the autocorrelation is solved firstly, then the penalized least square estimation of the model is given.

關(guān)鍵詞： 半?yún)?shù)回歸；AR（p）；懲罰最小二乘

Key words: semi-parametric regression；auto-regression；penalized least square

中圖分類號：O212 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2012）20-0301-02

0 引言

半?yún)?shù)回歸模型可以看作是參數(shù)回歸模型和非參數(shù)回歸模型的混合模型，是線性模型的推廣。由于其適應(yīng)數(shù)據(jù)變化的能力強(qiáng)，所以它是尋求變量之間關(guān)系的有力工具，近年來在經(jīng)濟(jì)學(xué)，醫(yī)學(xué)和社會等領(lǐng)域的實際問題中有著廣泛的應(yīng)用。

①模型簡介：

模型

y■=x■■β+g（t■）+μ■ i=1，…，n（1）

其中y■為影響變量，xi∈Rm為m維解釋變量，g（ti）是模型的參數(shù)部分，它是R上的未知光滑函數(shù)，μ■是隨機(jī)誤差，若μ■滿足Gauss-Markov假設(shè)。則模型（1）經(jīng)典的半?yún)?shù)回歸模型。

但是在實際問題中，一般模型（1）的誤差項μ■很難同時滿足Gauss-Markov的三個假設(shè)。若cov（μ■，μj）=0，i≠j不成立，則說明誤差項存在著異方差性。

模型

y■=X■■β+g（t■）+μ■ i＜p時μ■=φ■μ■+φ■μ■+…+φ■μ■+ε■ i＞p時（2）

其中X■■=（Xi1，…Xin） β=（β1，…βn）T，ε■滿足Gauss-Markov假設(shè)，即E（ε■）=0 Var（ε■）σ2，Cov（ε■，εj）=0，（i≠j）

則模型稱為具有AR（p）誤差的半?yún)?shù)回歸模型。

②半?yún)?shù)回歸模型的研究現(xiàn)狀：

由于半?yún)?shù)回歸模型既充分利用了數(shù)據(jù)的信息，又將一些信息不充分的變量納入了模型，因而，基于半?yún)?shù)回歸模型所得到的推斷結(jié)果一般比參數(shù)和非參數(shù)模型更加優(yōu)良，所以對這種模型有許多方面的研究，Severuni對異方差半?yún)?shù)回歸模型參數(shù)與非參數(shù)部分估計作了研究[1]，Chen研究了半?yún)?shù)廣義線性模型的漸近有效估計[2]，王啟華等研究了隨機(jī)刪除的半?yún)?shù)回歸模型[3]，曾林蕊等研究了半?yún)?shù)廣義線性模型的統(tǒng)計診斷和影響分析[4]，胡宏昌研究了誤差為AR（1）情形的半?yún)?shù)回歸模型的極大似然估計的存在性問題[5]，但是對于誤差為AR（p）情形的半?yún)?shù)模型還未發(fā)現(xiàn)進(jìn)行相關(guān)的研究，文章就對此模型進(jìn)行了相關(guān)性消除，然后對其進(jìn)行了懲罰最小二乘估計。

1 模型誤差項相關(guān)性的消除

對于模型（2）

yi-φ1yi-1-……-φpyi-p

=X■■β+g（t■）+μ■-φ■X■■β+g（t■）+μ■-…-

φ■X■■β+g（t■）+μ■

=X■■-φ■X■■-…-φ■X■■β+g（t■）-φ■g（t■）+μ■-φ■μ■-…-φ■μ■

=■X■-φ■X■-…-φ■X■β■+

g（t■）-φ■g（t■）-…-φ■g（t■）+ε■

若令■=y■，■=X■，■（t■）=g（t■） i=1，2，…p■=y■-φ■y■-…-φ■y■■=X■-φ■X■-…φ■X■■（t■）=g（t■）-φ■g（t■）-…-φ■g（t■）

則（1）式可化為：

■=■β+■+ε■ i=1，…，n（3）

由于ε■，…，εn是滿足Gauss-Markov假設(shè)，故（3）式滿足經(jīng)典的半?yún)?shù)回歸模型的假設(shè)，下面我們通過研究模型（3）來間接研究模型（2）。

2 模型的懲罰最小二乘估計

為下面計算方便設(shè)：

M=■

則有■=MY，■=MX，■=Mg，ε=Mμ

定理：模型（3）的懲罰最小二乘估計為：

■=■（I-N）■■■（I-N）■

■=M■N■-■■

證明：對于模型（3），求β，g的光滑樣條估計，即求■和■使得光滑樣條函數(shù)取得最大值。

PL（β，■）=Ln（β，■）-■（4）

其中對數(shù)似然函數(shù)

Ln（β，■）=-■log（2πσ■）-■■■■-■■β-■（t■）■

令

參數(shù)估計范文第4篇

Abstract: In this paper, we discussed the parameter in Price's documental growth model and the shortage of three methods for estimating. Further, the modified estimation methods are given. The modified methods are more reasonable and their numerical results are satisfactory.

關(guān)鍵詞:文獻(xiàn)增長模型;參數(shù)估計;3準(zhǔn)則;最小二乘法

Key words: documental growth model;parameter estimation;rule of 3σ;least square method

中圖分類號:G350文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1006-4311(2010)20-0117-02

0引言

美國科學(xué)學(xué)與情報科學(xué)家普賴斯(D.J.Price)提出的揭示科技文獻(xiàn)數(shù)量隨時間的變化規(guī)律的文獻(xiàn)指數(shù)增長模型如下:

Y(t)=aebt(1)

其中Y(t)表示t時刻已積累的科技文獻(xiàn)量,a為某初始時刻(用t=0表示)的科技文獻(xiàn)量,e是自然對數(shù)的底數(shù),b為某常數(shù)。

顯然,要利用(1)式來具體描述某類科技文獻(xiàn)數(shù)量隨時間的變化規(guī)律,最關(guān)鍵的是要確定出參數(shù)b。在文[1]中探討了參數(shù)b的含義,認(rèn)為參數(shù)b近似等于“單位時間”內(nèi)文獻(xiàn)數(shù)量的增長率,并以此為基礎(chǔ)給出了兩種確定參數(shù)b的方法;文[2]在接受文[1]對參數(shù)b的釋義的基礎(chǔ)上,提出了一種更簡捷的確定參數(shù)b的方法。本文將分析文獻(xiàn)[1,2]方法的不足,并分別提出了其改進(jìn)的方法。

1對普賴斯增長定律中參數(shù)b的理解

設(shè)Y(t)表示t時刻已積累的科技文獻(xiàn)量,a為初始時刻t=0時的文獻(xiàn)量,如果設(shè)單位時間內(nèi)新增文獻(xiàn)量是已有文獻(xiàn)量的b倍,則得微分方程初值問題:

=bY(2)

Y(0)=a(3)

求解此初值問題得Y=aebt,可見普賴斯文獻(xiàn)增長定律的表達(dá)式正是該初值問題的解。

如果將方程(2)變形成=b,則可看出參數(shù)b正是單位時間內(nèi)的文獻(xiàn)增長率。因此這里對參數(shù)b的理解跟文[1]的解釋是一致的。但在文[1]的推演過程中要求b

2參數(shù)b的估計方法的討論

2.1 對文[1]方法的改進(jìn)普賴斯文獻(xiàn)增長定律的應(yīng)用,最關(guān)鍵的是參數(shù)b的確定。單位時間內(nèi)的文獻(xiàn)增長率可作為b的近似,但不同時段內(nèi)文獻(xiàn)增長率可能是變化的,因此文[1]提出了對文獻(xiàn)增長率取平均的兩種方法,并把算得的“平均值”作為參數(shù)b的估計值。

方法一(文[1]稱其為“全段平均值技術(shù)”):如果統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明各時間段的增長率的最大值和最小值之間差距不大時,則取各時間段的增長率的算術(shù)平均值作為b的近似。

方法二(文[1]稱其為“去頭尾取平均值技術(shù)”):如果統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明各時間段的增長率的最大值和最小值之間差距較大時,則去掉一個最大值,去掉一個最低值。然后對剩下的增長率取算術(shù)平均值作為b的近似。

文[1]給出的這兩個方法簡單易算,但存在一個問題,就是最大值與最小值之間的差距“不大”和“較大”怎么理解,相差多少算“不大”或“較大”,沒有給出量化標(biāo)準(zhǔn),這個問題不解決,這兩個方法就缺乏可操作性。為解決這個問題,本文利用數(shù)據(jù)處理中常用的所謂3σ準(zhǔn)則,把這兩個方法統(tǒng)一起來,并進(jìn)行改進(jìn)。

一般來說,我們可假設(shè)文獻(xiàn)增長率r服從正態(tài)分布,即r~N(μ,σ2)。根據(jù)概率統(tǒng)計知識,我們知道增長率r介于μ-3σ與μ+3σ間的概率為99.74%,因而增長率r?燮μ-3σ或r?叟μ+3σ可能性就很小。如果某個增長率數(shù)據(jù)r落在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之外,則可認(rèn)為此數(shù)據(jù)r異常,應(yīng)予以剔除。這就是3σ準(zhǔn)則的思想。即使不作增長率服從正態(tài)分布的假定,我們也可由切貝謝夫不等式知P(│r-Er│?叟3)?燮

下面我們假設(shè)“單位時間”為年,根據(jù)3σ準(zhǔn)則,給出確定年平均增長率的方法。

方法三:設(shè)r1,r2,…,rn為n個年份的文獻(xiàn)增長率,可先算出樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差:

=r(4)

s=(5)

因為樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差s可作為總體均值μ和總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的近似,所以我們認(rèn)為若某個rk落在區(qū)間(-3s,+3s)之外,即增長率rk偏離樣本均值太多,要么是偏小,要么是過大,屬于異常數(shù)據(jù),應(yīng)將rk剔除。

將r1,r2,…,rn中的異常數(shù)據(jù)都剔除后,對剩下的增長率取算術(shù)平均值作為參數(shù)b的近似。

方法三顯然是對文[1]中的方法一、方法二的改進(jìn),不光統(tǒng)一了方法一和方法二,也給出了剔除異常數(shù)據(jù)的量化標(biāo)準(zhǔn),精確表述了“偏大”、“較小”的含義。

2.2 對文[2]方法的改進(jìn)文[2]以年為“時間單位”,設(shè)a為初始時刻t=0時的文獻(xiàn)量,Y(n)為第n年末(t=n)時的文獻(xiàn)累積量,r為年增長率,則Y(n)=a(1+r)n,所以r=-1

根據(jù)文[1],b≈r,從而文[2]給出確定參數(shù)b的公式:

b=-1(6)

正如文[2]所述,這個公式比文[1]的兩個方法都更簡單,但公式只用到初值和終值,而完全不涉及中間過程中的年份的數(shù)據(jù),這顯然不合情理。如果允許只用文獻(xiàn)量的初值和終值來計算參數(shù)b,那么我們可以直接在普賴斯增長定律Y(t)=aebt中令t=n,則可得:

b=ln(7)

由(7)式計算參數(shù)b應(yīng)該說比用(6)式更好,因為(7)式是由普賴斯增長定律直接導(dǎo)出的,而不存在把b近似地解釋為年增長率的誤差問題。但我們認(rèn)為仍然不能用(7)式來確定參數(shù)b,這正如由序列數(shù)據(jù)求回歸直線時不能只由兩點就把直線確定下來一樣。

在普賴斯增長定律Y(t)=aebt兩端取自然對數(shù)得:

lnY(t)=lna+bt(8)

lnY(t)是關(guān)于時間變量t的線性函數(shù),系數(shù)b可由時間序列數(shù)據(jù)通過線性回歸或最小二乘法來確定,這樣確定的b使得整體誤差Q=[lnY(t)-(lna+bt)]達(dá)到最小,而不只是與初值(t=0時)和終值(t=n)時完全吻合。

我們認(rèn)為,由于文[2]的方法完全不涉及中間年份數(shù)據(jù),因此它的計算結(jié)果不應(yīng)和文獻(xiàn)增長的變化情況吻合得好。由(8)式通過線性回歸雖然計算上比用(6)式稍復(fù)雜一些,但所得b值更能整體上反映文獻(xiàn)增長的變化規(guī)律,比文[2]的方法更具有合理性。下面的計算實例也說明了這一點。

3計算實例及結(jié)果比較

為了敘述方便,下面我們把用公式(6)求參數(shù)b的方法叫做方法四。而把從(8)式出發(fā)通過線性回歸來確定參數(shù)b的方法叫做方法五。為了便于比較,我們下面的計算引用的原始數(shù)據(jù)完全同于文[2],即我國1979年~1993年的社科類圖書出版種數(shù),具體數(shù)據(jù)見表1。

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù),文[2]已按方法一[1],方法二[1],方法四[2]分別計算出參數(shù)b的值,我們按方法三,方法五分別求出了參數(shù)b,現(xiàn)將文[2]的計算結(jié)果和我們用新方法計算的結(jié)果一并給出如下。

方法一:b=b1=0.360358872

方法二:b=b2=0.280085925

方法三:根據(jù)3σ準(zhǔn)則,1980年的增長率(其值為1.564263323)為異常數(shù)據(jù),去掉該數(shù)據(jù)后求得參數(shù)b=b3=0.267750836

方法四[2]:r=b=b4=0.299935918

方法五:利用(8)式通過線性回歸求得b=b5=0.243580459(我們還算得相關(guān)系數(shù)為0.955701057,比較接近1,說明(8)式中l(wèi)nY(t)與t具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性,當(dāng)b=b5=0.243580459時,模型(1)是合同理可用的。)

同文[2]一樣,我們也利用方法三和方法五估計出的參數(shù)b代入普賴斯增長模型(1)中,求出1980年至1993年各年份的文獻(xiàn)量的理論值,與這一時段各年份的實際值比較,我們發(fā)現(xiàn)方法三的計算結(jié)果比方法一、方法二的要好,而方法五的整體誤差比其余四個方法的誤差都小。因此從某種意義上講,通過回歸方法確定參數(shù)b更合理些。

參考文獻(xiàn):

[1]羅式勝. 關(guān)于普賴斯曲線方程參數(shù)b的討論[J].情報理論與實踐,1994,(1).

參數(shù)估計范文第5篇

關(guān)鍵詞SV模型 ；貝葉斯估計；MCMC方法

中圖分類號O218.8文獻(xiàn)標(biāo)識碼A

1引言

波動性是金融市場最為重要的特征之一，關(guān)于有價證券的收益率波動一直是金融學(xué)研究的熱點.為了對波動率進(jìn)行估計，學(xué)者們進(jìn)行過廣泛而深入的探索，其中最具代表性的兩類模型分別是Engel[1]提出的自回歸條件異方差（ARCH）類模型和Taylor[2]提出的隨機(jī)波動率（SV）模型.但ARCH類模型中條件方差的估計值與過去擾動項直接相關(guān)，因此當(dāng)存在異常觀y值時，模型估計出的波動序列不是很穩(wěn)定.而SV模型假定時變方差是一類不可觀測的隨機(jī)過程，因此其估計的波動序列比ARCH類模型更加穩(wěn)定.對此，Shephard[3]通過對比兩類模型，發(fā)現(xiàn)SV模型比ARCH模型能更好地描述金融數(shù)據(jù)的特性，特別是對2個模型的預(yù)測的均方誤差的比較發(fā)現(xiàn)，SV模型比ARCH模型具有更好的預(yù)測能力，尤其是對長期波動性的預(yù)測[4].

但是，由于SV模型自身的復(fù)雜性，模型的似然函數(shù)解析式與無條件矩的解析形式往往難以獲得，無法進(jìn)行極大似然估計，故如何對SV模型進(jìn)行參數(shù)估計就是一個具有現(xiàn)實意義的問題.對此，Metropolis提出了馬爾科夫蒙特卡洛（MCMC）方法，Hasting[5]在此基礎(chǔ)上提出了MetropolisHasting算法，Geman[5]提出了Gibbs抽樣，這兩種算法因其靈活性和計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使得針對復(fù)雜模型及其后驗分布的精確估計成為可能.除了MCMC方法，國外學(xué)者對SV模型的估計方法進(jìn)行了大量研究，并取得了豐富的成果：Harvey[5]等人的偽極大似然估計，Anderson，Chung[5]的有效矩估計， Dimitrakopoulos Stefano[6]針對時變參數(shù)SV（TVPSV）模型提出的一種半?yún)?shù)貝葉斯估計方法，Milan Mrázek[7]等人基于非線性最小二乘法對分?jǐn)?shù)維SV模型參數(shù)估計精確度的校準(zhǔn).在眾多估計方法中，蒙特卡羅隨機(jī)模擬相對于其他方法，效率較高，易于編程實現(xiàn).本文即選用基于貝葉斯的MCMC方法對SV模型進(jìn)行參數(shù)估計.

由于許多金融時間序列的無條件分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比，會呈現(xiàn)出較大的峰度和更厚的尾部，因此為了將基本的SV模型擴(kuò)展到較一般的形式，經(jīng)過學(xué)者們多年的研究，SV類模型已經(jīng)發(fā)展出了離散和連續(xù)兩類的眾多擴(kuò)展模型.比如，Geweke[7]對模型進(jìn)行貝葉斯分析時提出了厚尾SV模型，即將標(biāo)準(zhǔn)SV模型中觀測方程的隨機(jī)誤差項設(shè)定為具有厚尾特征的概率分布如t分布、GED分布等，從而可以更好地描述金融時間序列的尖峰厚尾特征.Bredit[8]針對金融波動序列的長記憶性提出了長記憶隨機(jī)波動模型（LMSV），Chib[5]將跳躍過程引入到了SV模型中，提出了跳躍SV模型，并提供了一種快速有效的估計模型參數(shù)的MCMC算法，以此來解決如何反映金融市場中的突發(fā)事件和較大波動的問題.

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第 34卷第1期

黃文禮等：厚尾隨機(jī)波動率模型的貝葉斯參數(shù)估計及實證研究

近年來，國內(nèi)學(xué)者對SV模型進(jìn)行了大量研討，這其中包括：劉鳳芹和吳喜之[9]利用一種改進(jìn)的MCMC方法估計了SV模型，并對上證指數(shù)進(jìn)行了波動性分析；朱慧明[10]在研究滬深300股指期貨數(shù)據(jù)時，考慮到期貨市場與現(xiàn)貨市場之間存在雙向波動溢出效應(yīng)以及仿真交易與實盤交易在期貨與現(xiàn)貨聯(lián)動性、交易策略等方面存在的差異，建立了一個多變量厚尾SV模型，并借助MCMC方法實現(xiàn)了模型的參數(shù)估計.于冉春[11]分別選用標(biāo)準(zhǔn)SV模型和厚尾SV模型對美國標(biāo)普500指數(shù)進(jìn)行了實證分析，得出厚尾SV模型更能夠準(zhǔn)確描述標(biāo)普指數(shù)波動具有長期記憶性的特征.而吳鑫育、馬超群[12]等以上證指數(shù)和深證成指為例，提出極大似然方法估計了4種不同收益率分布假定的SV模型，通過比較認(rèn)為具有偏學(xué)生t分布假定的SVSKt模型能夠更好地描述中國股票市場的波動性.在研究中發(fā)現(xiàn)，我國股市呈現(xiàn)出許多不同于傳統(tǒng)研究中波動的典型特征，比如反杠桿效應(yīng)，即股票價格運行未來價格波動呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，特別是2015下半年和2016年年初，整個股市出現(xiàn)了罕見的大幅波動.而對于具有以上新型特征的中國股市，有關(guān)厚尾SV模型是否還能有效刻畫出我國資本市場波動性的相關(guān)研究還相對缺乏.本文考慮到金融時間序列普遍存在的尖峰厚尾性，為了驗證SV模型對現(xiàn)階段我國股市的擬合效果，擬進(jìn)行基于MCMC仿真的厚尾SV模型的貝葉斯參數(shù)估計，研究以上證綜指為代表的金融時間序列的波動特征.

2厚尾SV模型結(jié)構(gòu)

重復(fù)以上步驟進(jìn)行N次迭代，直到Markov鏈達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài).在Gibbs抽樣的初始階段，參數(shù)的初始值設(shè)定對隨機(jī)數(shù)的生產(chǎn)有較大的影響，此時Markov鏈?zhǔn)欠瞧椒€(wěn)的，所以在估計模型參數(shù)時，通常去掉最初的M個非隨機(jī)數(shù)，對剩下的NM個抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)的后驗分布統(tǒng)計推斷.

4估計結(jié)果和分析

4.1樣本數(shù)據(jù)和統(tǒng)計特征

2015年開始，中國股市再次表現(xiàn)強(qiáng)勁，然而受多種因素影響，上證綜指又從2015年6月的5 300多點跌至2016年5月的2 800多點，期間又經(jīng)歷了2016年年初的熔斷機(jī)制事件，短短一年多時間，中國股市就經(jīng)歷了史無前例的大牛市和超級熊市，股票價格波動劇烈，這表明我國股市還存在非常多的問題.因此本文使用的數(shù)據(jù)包括2013年5月～2016年6月的上證指數(shù)歷史收盤價，樣本容量為752，涵蓋了本輪牛市之前、期間、之后的數(shù)據(jù)，以分析中國股市的波動特征.收益率的計算本文均采用對數(shù)收益率方法，并繪制出對數(shù)收益率的時序圖和直方圖，見圖1.同時，利用QQ圖對上證指數(shù)的統(tǒng)計特征進(jìn)行分析（見圖2）.

通過分析，發(fā)現(xiàn)上證指數(shù)實際數(shù)據(jù)的峰度比正態(tài)分布數(shù)據(jù)的峰度要高，腰部較瘦，尾部較厚，并且直方圖并不是完全對稱的，而是略有偏斜.從Q-Q圖中可以很明顯的看出上證指數(shù)和指數(shù)的收益率分布在收益和損失兩端均偏離直線，因而表現(xiàn)出明顯的厚尾特征，也就是出現(xiàn)異常值的頻率比正態(tài)分布的要高.因此再次驗證了中國股市尖峰厚尾特性.

4.2參數(shù)估計結(jié)果和分析

本文使用MCMC仿真方法對厚尾SV模型進(jìn)行貝葉斯參數(shù)估計，首先對每個參數(shù)進(jìn)行 1 000次迭代，進(jìn)行退火，以保證參數(shù)的收斂性.然后舍棄原來的迭代，再進(jìn)行10 000次的迭代對模型進(jìn)行模擬仿真的過程.圖3給出了厚尾SV模型參數(shù)相應(yīng)的后驗分布密度函數(shù)仿真結(jié)果，參數(shù)估計結(jié)果見表1.

由圖3可知，對于厚尾SV模型的參數(shù)，其后驗分布密度圖基本上是對稱的，說明這些參數(shù)的貝葉斯估計值與真實值非常接近，誤差很小.但是對于參數(shù)τ，其后驗密度函數(shù)都呈現(xiàn)出右偏趨勢，說明這些參數(shù)的樣本中存在一些偏大的異常點，使得它們的貝葉斯估計值比真實值要大，因此參數(shù)τ可能會被高估.同樣得，參數(shù)φ的后驗密度函數(shù)呈偏左趨勢，說明參數(shù)中存在一些偏小的異常點，使得它們的貝葉斯估計值比真實值要小，故參數(shù)φ可能會被低估.

雖然厚尾SV模型的某些參數(shù)的貝葉斯估計值可能會偏高或偏低，但是整體看來，模型各個參數(shù)的后驗分布密度都具有非常明顯的單峰特征，說明利用后驗均值對模型參數(shù)進(jìn)行估計的誤差是非常小的.因此，綜合對厚尾SV模型參數(shù)的樣本軌跡圖以及后驗分布密度圖的分析可知：對厚尾SV模型參數(shù)進(jìn)行貝葉斯估計是合理的，并且估計結(jié)果是有效的.

結(jié)合模型參數(shù)的貝葉斯估計情況，首先可以看出SVT模型參數(shù)的估計結(jié)果是比較精確的，各參數(shù)的MCMC誤差相對于標(biāo)準(zhǔn)差都要小很多，再一次驗證了對厚尾SV模型參數(shù)進(jìn)行貝葉斯估計的合理性.并且在程序運行的時間也較短，表明算法的精確度和效率是比較好的.同時可以得到以下結(jié)論：厚尾SV模型的厚尾成分參數(shù)ω估計值為16.1，且MC誤差為0.239 7，表明上證綜指的收益率不服從正態(tài)分布，具有明顯的厚尾特征，此結(jié)論與前面對QQ圖的分析結(jié)果是一致的；厚尾SV模型的波動持續(xù)性值φ為0.860 4，這說明上證指數(shù)具有較為明顯的波動持續(xù)性，這也與在實際生活中的感受相吻合：樣本數(shù)據(jù)涵蓋了2013年～2016年的上證指數(shù)收益率，期間整個資本市場經(jīng)歷了多輪較大起伏的波動，且一個大的波動之后往往跟著另一個波動.SVT模型在模擬波動持續(xù)性這一波動特點上的具有良好的擬合效果.

5總結(jié)

本文針對厚尾SV模型進(jìn)行了貝葉斯分析，分析了模型的結(jié)構(gòu)特征，對模型的參數(shù)進(jìn)行了貝葉斯統(tǒng)計推斷，設(shè)計了模型參數(shù)估計的Gibbs的抽樣算法.在對中國股市的波動性進(jìn)行實證研究時，選取了近一輪股市波動前中后三個不同階段的數(shù)據(jù)，以更加全面地了解我國股市的波動特征，并以此為例來檢驗厚尾SV模型在新興資本市場當(dāng)中的擬合效果.結(jié)合對上證指數(shù)的統(tǒng)計分析以及MCMC抽樣方法中參數(shù)的樣本軌跡收斂性，本文認(rèn)為，在股市經(jīng)歷較大幅度波動時，厚尾SV模型仍然能夠比較準(zhǔn)確地描述中國股市的波動性特征.

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