周期函數
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周期函數范文第1篇
關鍵詞：可微；原函數；導函數；周期性
命題：可微分的周期函數，其導函數仍為具有相同周期的周期函數。
我們討論的周期相同，是指二者周期的集合相同（原函數的周期一定是導函數的周期；反之，導函數的周期一定是原函數的周期），或者二者最小正周期相同。
文獻1中給出的“證明”，是由f（x+T）=f（x）得f'（x+T）=f'（x）[1]，這只能說明原函數的最小正周期T是導函數的一個周期，即對導函數的最小正周期T '而言，有T=KT '（K為正整數）.至于T是否為導函數的一個周期，即：是否T=T '，并未得證，尚需證T '一定也是原函數f（x）的一個周期：f（x+T '）=f（x），才有T=T '.許多書上的證明多是如此。
本文將指出：可微周期函數與其導函數最小正周期并非一定相同；同時，給出一個周期相同的一個充分條件。
1 現舉一反例
我們約定J表示整數集合，R表示實數集合，E（x）表示不超過x的最大整數。
例1 設 ，考察定義在D上的函數f（x）=x-E（x） .
與正切函數類似，雖然f（x）在R上有可列間斷點，但f（x）在其定義域D中每點連續可微.
首先，1/2不會是f（x）的周期，這只要取x0=k+1/4，有x0∈D，f（x0）=1/4；
x0+1/2=k+3/4∈D，f（x0+1/2）=3/4，便有f（x0+1/2）≠f（x0）.
f（x）的導函數f '（x）=1，1/2是f '（x）的一個周期.因為，對任意x∈D，x+1/2∈D，f'（x）= f '（x+1/2）=1.
這樣，我們已經得到f（x）與f '（x）周期集合不同，自然，最小正周期就不會相同.當然，我們也可以分別證明，f（x）最小正周期為1，f '（x）最小正周期為1/2.
通過f（x）與f '（x）的圖像來對比，結論也是非常明顯的（如圖1）
圖1
例2設D={x|x∈R-J}.考察定義在D中的函數
同樣，f（x）的導函數f '（x）=2[x-E（x）],x∈D
可以例1一樣，驗證1是f '（x）的周期而不是f（x）的周期，從而二者周期不同.不過，現在我們采用另外的辦法，證明f（x）的最小正周期為2，而f '（x）的一個周期為1，則f '（x）的最小正周期T '≤1，便有T '≤1≤2=T，即T '=T.
對任意x∈D，有x+2∈D，且
可知，2是f（x）的一個周期.再證任何一個小于2的正整數ε不會是f（x）的周期.
若ε=1，對任意x∈D，也有x+1∈D，但
若ε≠1,0
故f（x）的最小正周期T=2.
再看導函數f '（x）=2[x-E（x）] .
對任意x∈D，有x+1∈D，且
于是，若T '為f '（x）的最小正周期，有
T '≤1≤2=T.
圖2
類似的例子還可舉出很多。總之，在定義域內每點可微的周期函數與其導函數的最小正周期并非總是相同。至于周期相同的例子則處處可見，本文不再例舉，現只給出周期相同的一個充分條件。
2 周期相同的一個充分條件
反例給我們提示，在整個R中可微的周期函數與其導函數很可能周期必然相同.
引理1 任意一個非常值連續周期函數必有最小正周期[2].
引理2 對具有最小正周期T 的周期函數f（x），若T '也是f（x）的一個正周期，則T '=KT（K為正整數）[3].
定理 非常值周期函數f（x）在R上有定義且在每點存在連續導函數f '（x）.則f '（x）也為周期函數，并且f（x）與f '（x）周期相同[4].
證明 可微必連續，由引理1，f（x）就有最小正周期，設為T，即對任意x∈R，有
f（x+T）= f（x）
求導
f '（x+T）= f '（x） （1）
可見，f '（x）也是R上的周期函數，又f '（x）已知連續，再由引理1，f '（x）也必有最小正周期T '.由（1）式，T是f '（x）的一個周期，據引理2，T=KT '（K為正整數）.
下面，要證K=1.
因f '（x）連續，對任意x0∈R，據牛頓-來卜尼茲公式，得
由積分域可加性，有
（2）
運用積分替換t=u+（i-1）T '，并由T '是f '（x）的周期，得：
（2）式變為：
再由牛頓-來卜尼茲公式，
知T '是f（x）的一個周期，由引理2，
T '=mT,T '=m（KT '） （m為正整數）
故mK=1，但m,K均為正整數，故
m=K=1 即得T=T '
f（x）與f '（x）最小正周期相同或周期的集合相等，即f（x）與f '（x）周期相同.
3 結束語
通過以上討論可知可微的周期函數與導函數的周期不盡相同，以后我們研究這方面的問題，不能簡單地對二者周期進行互換。如果直接解決問題有麻煩，就需要換個角度尋求滿足互換的特定條件，問題得以解決。
參考文獻：
[1] 黃定暉，周學圣.數學分析習題集題解[M].山東科學技術出版社.
[2] 于先金.關于原函數與其導函數對稱性的聯系.中學數學研究.
周期函數范文第2篇
【關鍵詞】抽象函數；周期函數；遞推式；對稱性；奇偶性
抽象函數是相對于具體函數而言的，它沒有給出具體的函數解析式，只給出了一些體現函數特征或性質的式子的一類函數.因為抽象，難以理解，它是高中數學函數部分的難點，所以解抽象函數的題目需要有嚴謹的邏輯推理能力、抽象思維能力以及函數基本知識靈活運用的能力.
近幾年高考中也常出現涉及抽象函數的題目，大多考查的是函數的單調性、奇偶性、對稱性和周期性.而在實際教學中學生對于抽象函數周期性的判定和運用比較困難，所以本文嘗試歸結抽象函數的周期性問題的幾個常見的結論并給予簡單的證明，并通過幾個例題說明簡單的應用，供大家參考.
一、三個結論
結論1 （遞推式與周期關系結論）
（1）若f（x+a）=f（x+b），則T=|a-b|；{f[x+（a-b）]=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x）}
（2）若f（x+a）=-1f（x），則T=2|a|；{f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1f（x+a）=f（x）}
（3）若f（x+a）=-f（x），則T=2|a|；{f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=f（x）}
（4）若f（x+a）=1+f（x）1-f（x），則T=4|a|.
{f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1+f（x+a）1-f（x+a）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=1-f（x）+1+f（x）1-f（x）-1-f（x）=2-2f（x）=-1f（x），
f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=-1f（x+2a）=f（x）}
結論2 （對稱性與周期關系結論）
（1）若f（x）關于x=a及x=b對稱，則T=2|b-a|；
證明：f（x）關于直線x=a和x=b對稱，
f（x）=f（2a-x），x∈R，f（x）=f（2b-x），x∈R，f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，
將上式的-x以x代換得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，
f[x+2（b-a）]=f[（x-2a）+2b]=f[（x-2a）+2a]=f（x），x∈R.
f（x）是R上的周期函數，且2a-b是它的一個周期.
（2）f（x）關于x=b及Ma，0對稱，則T=4|b-a|；
證明：f（x）關于點M（a，0）對稱，f（2a-x）=-f（x），x∈R，
f（x）關于直線x=b對稱，f（x）=f（2b-x），x∈R，
f（2b-x）=-f（2a-x），x∈R，
將上式中的-x以x代換，得f（2b+x）=-f（2a+x），x∈R，
f[x+4（b-a）]=f[2b+（x+2b-4a）]=-f[2a+（x+2b-4a）]=-f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.
f（x）是R上的周期函數且4b-a是它的一個周期.
（3）f（x）關于點Ma，0和Nb，0對稱，則T=2|b-a|.
證明：f（x）關于M（a，0），N（b，0）對稱，
f（2a-x）=-f（x），x∈R；且f（2b-x）=-f（x），x∈R.
f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，
將上式中的-x以x代換，得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，
f[x+2（b-a）]=f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.
f（x）是周期函數且2b-a是它的一個周期.
結論3 （奇偶性與周期關系結論）
（1）f（x）是偶函數且關于直線x=a對稱，則T=2|a|；
證明 ：f（x）是偶函數，故f（x）關于x=0對稱，又關于x=a對稱，
由結論2中的（1）可知周期為T=2a-0=2a.
（2）f（x）是奇函數且關于直線x=a對稱，則T=4|a|；
證明：f（x）是奇函數，
f（x）關于點（0，0）對稱，又f（x）關于x=a對稱，
由結論2中的（2）可知周期為T=4a-0=4a.
二、應用舉例
例1 （2001年高考數學（文科）第22題）設f（x）是定義在R上的偶函數，其圖像關于直線x=1對稱.對任意x1，x2∈[0，12]都有f（x1+x2）=f（x1）?f（x2）.
（Ⅰ）設f（1）=2，求f12，f14；
（Ⅱ）證明f（x）是周期函數.
分析 f（x）是偶函數的實質是f（x）的圖像關于直線x=0對稱，又f（x）的圖像關于x=1對稱，由結論2中的（1）可得f（x）是周期函數.
解析 （Ⅰ）解略.
（Ⅱ）證明：依題設y=f（x）關于直線x=1對稱，故f（x）=f（2-x），x∈R，
又由f（x）是偶函數知f（-x）=f（x）.
f（-x）=f（2-x），x∈R.
將上式中-x以x代換，得f（x）=f（x+2），x∈R.
這表明f（x）是R上的周期函數，且2是它的一個周期.
例2 （求值）（1）已知f（x）是定義在R上的函數，且滿足f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=2008，求f（2009）的值.
（2）已知函數f（x）=f（x+2）+f（x-2）對于x∈R恒成立，且f（1）=5，求f（2005）的值.
解析 （1）由題可知f（x）≠1，則有f（x+2）=1+f（x）1-f（x），由結論1（4）得T=2×4=8，
f（2009）=f（8×251+1）=f（1）=2008.
（2）由f（x）=f（x+2）+f（x-2）①
得f（x+2）=f（x+4）+f（x）②
由①+②得f（x+4）=-f（x-2）.即f（x+6）=-f（x）.
由結論1（3）知T=12，故有f（2005）=f（1+12×167）=f（1）=5.
例3 （判斷奇偶性）若函數f（x）對于x∈R滿足f（x+1004）=-1f（x），f（1004+x）=f（1004-x），則f（x）（ ）.
A.是奇函數而不是偶函數B.是偶函數而不是奇函數
C.是奇函數又是偶函數D.不是奇函數也不是偶函數
解析 由f（x+1004）=-1f（x），結合結論1（2）知f（x）是周期函數且T=2008，
f（x）=f（2008+x）=f[1004+（1004+x）]=f[1004-（1004+x）]=f（-x）.
即f（-x）=f（x），又顯然f（x）≠0，y=f（x）是偶函數，故選B.
例4 （求解析式）已知偶函數f（x）的圖像關于直線x=1對稱，且x∈[3，4]時f（x）=2x-1，求當x∈[14，15]時，f（x）的解析式.
解析 由條件及結論3（1），知f（x）是周期函數且T=2，由f（x）是偶函數，知f（-x）=f（x）.
設14≤x≤15，則-15≤-x≤-14，即3≤18-x≤4.
有f（x）=f（-x）=f（-x+9×2）=f（18-x）=2×（18-x）-1=-2x+35.
即當x∈[14，15]時，f（x）=-2x+35.
例5 已知定義在R上的函數f（x），對任意實數x，y，有f（x+y）+f（x-y）=
2f（x）f（y），若存在實數c>0，使fc2=0.
（1）求證：對任意x∈R，有f（x+c）=-f（x）成立.
（2）試問函數f（x）是不是周期函數，如果是，找出它的一個周期；如果不是，請說明理由.
解析 （1）證明：分別用x+c2，c2代替x，y，有
f（x+c）+f（x）=2fx+c2fc2.
fc2=0，
f（x+c）=-f（x）.
（2）解：由f（x+c）=-f（x），得f（x+2c）=f[（x+c）+c]=-f（x+c）=f（x），
即f（x+2c）=f（x）.
f（x）是周期函數，2c是它的一個周期.
從以上例題可以發現，抽象函數周期性的考查往往與函數的奇偶性、對稱性等聯系在一起，范圍較廣，能力要求較高.但只要對函數基本性質熟練，并掌握上述有關的結論和類型題目的相應解法，則會得心應手，事半功倍.
【參考文獻】
[1]祁正紅.抽象函數的周期[J].中學數學教學，2005（05）.
周期函數范文第3篇
1.f(x)=f(x+T)型
若f（x+a）=f(x+T)，則f(x)的周期為T。若對于x取定義域內的任意一個值，都有f(x)=f(x+T)，則f(x)是周期函數，T為函數f(x)的周期。這是函數具有周期性的定義。
2.f(x+a)=－f(x)型
若f（x+a）=-f（x），則f(x)為周期函數，且周期為2a。證明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=－f(x+a)=－［－f(x)］=f(x)。
3.f(x+a)=f(x+b)型
若f（x+a）=f（x+b），則f(x)為周期函數，且周期為|b－a|。證明：f(x)=f［(x－a)+a］=f［(x－a)+b］=f［x+(b－a)］。
4、f(x+a)=－1f(x)型
若f(x+a)=－1f(x)，則 f(x)為周期函數，且周期為2a。證明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=－1f(x+a)
=－1－1f(x)=f(x)。
5.f(x+a)=1f(x)型
若f(x+a)=1f(x)，則f(x)為周期函數，且周期為2a。
證明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=1f(x+a)
=11f(x)=f(x)。
6.f(x+a)=1+f(x)1－f(x)型
若f(x+a)=1+f(x)1－f(x)，則f(x)的周期為4a。
證明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=1+f(x+a)1－f(x+a)
=1+1+f(x)1－f(x)1－1+f(x)1－f(x)=－1f(x)，
f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］=－1f(x+2a)
=－1－1f(x)=f(x)。
7.關于兩線對稱型
若函數f(x)關于直線x=a,x=b對稱，則函數f(x)為周期函數，且周期是2|a－b|。
證明：由f(x)關于x=a對稱，則f(2a－x)=f(x),由f(x)關于x=b對稱，則f(2b－x)=f(x),
f(x)=f(2a－x)=f［2b－(2a－x)］=f［(2b－2a)+x］。
8.關于一點一線對稱型
若函數f(x)關于直線x=a及點(b,0)對稱，則函數f(x)為周期函數，且周期是4|a－b|。
證明：由f(x)關于x=a對稱，則f(2a－x)=f(x),由f(x)關于點(b，0）對稱，則f(2b－x)=－f(x),
f(x)=f(2a－x)=－f［2b－(2a－x)］,
即f［(2b－2a)+x］=－f(x)。
由f(x+a)=－f(x)型的證明過程可知，函數f(x)的周期是4|a－b|。
9.關于兩點對稱型
若函數f(x)關于點(a,0)及點(b,0)對稱，則函數f(x)為周期函數，且周期是2|a－b|。
證明：由f(x)關于點(a，0）對稱，
則f(2a－x)=－f(x),
由f(x)關于點(b，0）對稱，
則f(2b－x)=－f(x),
周期函數范文第4篇
一、函數圖象的對稱性
函數圖象的對稱性的本質仍然是點與點之間的對稱關系，包括點與點關于電對稱，點與點關于直線對稱。函數的奇偶性只不過是對稱性的特例而已。函數的對稱性有以下結論：
結論1：函數f（x）的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是f（x）=f（2a-x）或者函數f（x）的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x）
一般的，若函數f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則f（x）關于直線對稱
結論2：函數f（x）的圖像關于直線x=0對稱的充要條件是f（x）=f（-x）
即函數f（x）為偶函數充要條件是f（x）=f（-x）
結論3：函數f（x）的圖像關于點（a，b）對稱的充要條件是f（x）=2b-f（2a-x）
結論4：函數f（x）的圖像關于點（0，0）對稱的充要條件是f（x）=-f（-x）
即函數f（x）為奇函數的充要條件是f（x）=-f（-x）
結論5：函數y=f（x）與函數y=f（2a-x）關于直線x=a對稱
結論6：函數y=f（a+x）與函數y=f（a-x）關于y軸對稱
結論7：函數y=f（x）與函數y=f（-x）關于y軸對稱
結論8：函數y=f（x）與函數y=-f（-x）關于原點對稱
結論9：函數y=f（x）與函數y=2b-f（2a-x）關于點（a，b）對稱
其中結論1，2，3，4反映一個函數自身的對稱性，結論5，6，7，8，9反映兩個函數圖象的對稱性
二、函數的周期性
如果函數f（x）對于定義域內的每一個x，存在一個非零的常數T，都有f（x）=f（x+T）成立，就稱函數f（x）是一個周期函數，其中T叫做周期函數的一個周期。如果在函數f（x）的所有周期中，存在一個最小的正數，就稱之為函數f（x）的最小正周期.對函數的周期性定義解讀如下：
（1）周期函數的定義域是一個無限區間
（2）f（x）=f（x+T）是一個恒等式，對于定義域內的每一個x恒成立
（3）若T是函數f（x）的一個周期，則kT（k∈Z，k≠0）也是函數的周期
（4）周期函數未必就一定有最小正周期
（5）函數的周期性不是三角函數所專有的特殊性質。有些函數通過遞推關系也能夠推導出周期性。比如f（x+1）=-f（x）可以得出f（x）是周期為2的周期函數。
三、對稱性與周期性之間的關系
具有對稱性的函數往往具有周期性，有以下結論成立：
結論1：如果函數f（x）關于兩條直線x=a，x=b對稱，則函數f（x）是周期函數，周期T=2（b-a）
f（x）關于直線x=a對稱，f（x）=f（2a-x）
f（x）關于直線x=b對稱，f（x）=f（2a-x）
f[2（b-a）+x]=f[2b-（2a-x）]=f（2a-x）=f（x）
結論2：偶函數f（x）關于直線x=a（a≠0）對稱，那么f（x）是周期為2a的周期函數.（這就是結論1中b=0時的特例）
結論3：函數f（x）關于點（a，0）對稱，且函數f（x）關于直線x=b（b≠a）對稱，那么f（x）是周期為4（b-a）的周期函數；
證明：f（x）關于點（a，0）對稱，f（x）=-f（2a-x）
又f（x）關于直線x=b對稱，f（x）=f（2b-x）
f[4（b-a）+x]=f[2b-（4a-2b-x）]=f（4a-2b-x）
=f[2a-（2b+x-2a）]=-f（2b+x-2a）=-f[2b-（2a-x）]
=-f（2a-x）=f（x）
結論4：奇函數f（x）關于直線x=b對稱，那么f（x）是周期為4b的周期函數；（這就是結論3中a=0的特殊情況）
結論5：若函數f（x）關于兩點（a，0），（b，0）對稱，那么f（x）就是周期為2（b-a）的周期函數
f（x）關于點（a，0）對稱，f（x）=-f（2a-x）
又f（x）關于點（b，0）對稱，f（x）=-f（2a-x）
H！f[2（b-a）+x]=f[2b-（2a-x）]=-f（2a-x）=f（x）
從而結論得證
結論6：奇函數f（x）關于點（a，0），（a≠0）對稱，那么f（x）就是周期為2a的周期函數。（這就是結論5中b=0的特殊情況）
結論7：偶函數若具有周期性，則必有與y軸平行的對稱軸.
略證：f（x）是偶函數，且周期為T
H！f（x）=f（-x），f（x+T）=f（x）H！f（x+T）=f（x）=f（-x）
H！f（x）關于x=對稱。
結論8：奇函數若具有對稱性，則不一定有對稱軸。比如函數y=tanx
結論9具有周期性和x=a（a≠0）對稱軸的函數，不一定具有奇偶性。
例如函數y=sin（x+）。就不具有奇偶性
四、應用舉例
例1：設f（x）是R上的奇函數，且f（x+2）=-f（x），當0≤x≤1時，f（x）=x，則f（7.5）= ；
解：f（x+2）=-f（x）H！f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）
H！f（x）是周期為4的周期函數
f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5
例2：已知定義域為R的函數f（x）是奇函數，且滿足f（x+2）=-f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=2x-1
（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；
（2）求f（log24）
解：（1）設x[-1，0]。則-x∈[0，1]
f（x）是上的奇函數，
f（x）=-f（-x）=-（2-x-1）=1-2-x，x∈[-1，0]
（2）由f（x+2）=-f（x）
H！f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）
即f（x）是周期為4的周期函數。
周期函數范文第5篇
關鍵字：余弦函數 倍周期分支 混沌
中圖分類號：O174 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）11（c）-0188-01
從任何初始值出發迭代時，一般有個暫態過程，但當迭代次數很大，即當n∞時，演化會導致一個確定的終態。終態可取無窮多種值，對初值極為敏感，成為不可預測，開始出現混沌現象。在此前終態都是周期的、可預測的，并與初值無關。
混沌（Chaos）是指發生在確定性系統中的貌似隨機的不規則運動。一個確定性理論描述的系統，其行為卻表現為不確定性、不可重復、不可預測，這就是混沌現象。混沌是非線性系統的固有特性，是非線性系統普遍存在的現象。混沌運動的動力學特性已經被證明在描述和量化大量的復雜現象中非常有用，但是，由于混沌系統所固有的系統輸出對狀態初值的敏感性以及混沌系統和混沌現象的復雜性和奇異性，使得混沌控制理論的研究更具有挑戰性。
這里我們主要考慮一類關于余弦函數迭代映射的模型
（1）
的倍周期分支問題，其中，均為參數。首先作變換，則可有：。（2）
1 倍周期分支
倍周期分支是指在某個特定的參數值的一側有穩定的不動點，但當參數經過這個特定的參數值變化到另一側時，穩定的不動點變成不穩定的，并同時產生了周期2軌道。在給出我們的倍周期分支結果之前，我們先給出關于倍周期分支存在的判別法：
引理：[1]設是充分光滑的函數，記，如果下列條件成立：（1）；（2）；
（3）；
（4）；那么在處發生倍周期分支。更為詳細的是，在附近存在一個不動的曲線，在一邊是穩定的不動點，而過了以后成為不穩定的不動點；并且存在一條光滑的曲線在點與直線相切，而是關于的函數的圖像。當時，新生成的周期2軌道是穩定的，反之則是不穩定的。
引理給出了函數關于參數在特定參數值處發生倍周期分支的充分條件。下面討論模型（1）也就是模型（2）關于參數發生倍周期分支的條件。
定理1：若模型（2）的固定參數滿足，參數是變化的，則在區間上，一定存在參數，模型的不動點在處存在倍周期分支，而且產生的周期2軌道是穩定的。
證明：定義函數，則有
.當時，由于，從而，所以在區間上是嚴格單調遞增函數。又對任意的，都有
所以存在唯一的，滿足。于是對于每一個，都有唯一一個零點與之對應，且關于是連續的。這是因為對于任何，一定有。如果不然，則存在，也就有
。
于是我們根據倍周期分支引理，我們可以知道模型（2）在參數經過時發生了倍周期分支，而且由可知所產生的周期2軌道是穩定的。
若固定參數，，，不變，模型（2）對參數也會發生倍周期分支。
定理2：若模型（2）的固定參數滿足，參數是變化的，則在區間上，一定存在參數，模型的不動點在處存在倍周期分支，而且產生的周期2軌道是穩定的。
證明：定義函數.
因為
所以存在，滿足。定義一個關于k的函數.由于從而有，所以至少存在一個，使得，得出于是我們根據鞍-結點分支引理，我們可以知道模型在參數經過時發生了倍周期分支，而且由可知所產生的周期2軌道是穩定的。
2 結論
根據倍周期分支的判別法，該文分別給出了一類余弦函數迭代映射后關于參數和關于參數發生倍周期分支的充分條件，深刻討論了一類簡單的余弦函數發生倍周期分支的這種復雜動力學行為。而倍周期分支是典型的一條通過混沌道路的途徑。這說明這類余弦函數經過迭代也必然會發生復雜的混沌動力學行為。混沌是非線性科學中十分活躍、應用前景極為廣闊的領域。混沌是比有序（此處指經典意義下的有序━━對稱、周期性）更為普遍的現象。它向我們揭示出一個形態和結構的嶄新世界。這個看似簡單但又充滿神秘，激勵人們不斷地去探究。
參考文獻
