反三角函數

前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇反三角函數范文，相信會為您的寫作帶來幫助，發現更多的寫作思路和靈感。

反三角函數范文第1篇

1. 忽視反三角函數的存在性

例1:求函數y=2sin(2x-■)-3(-■π≤x≤-■x)的反函數.

錯解一:y=2sin(2x-■)-3, sin(2x-■)=■

2x-■=arcsin■,x=■arcsin■+■,則所求的反函數為y=■arcsin■+■.

錯解二:由y=2sin(2x-■)-3解得x=■arcsin■+■,又-1≤■≤1,即-5≤y≤-1,則所求反函數是y=■arcsin■+■(-5≤x≤-1).

分析:錯解一在沒有討論-■≤2x-■≤■是否正確的情況下,就得到2x-■=arcsin■,反映了對于記號“arcsin”的意義,即反正弦函數的定義理解不全面.同時,也沒有求得已知函數的值域,使答案中不具所求反函數的定義域,反映了對于求一個函數就要求出它的三要素,特別是給出解析式和定義域(此時的值域也隨之確定,實際上它就是已知函數的定義域)的概念,解題規格不完全清楚.

錯解二犯有與錯解一同樣的第一個錯誤,雖然注意到并求出已知函數的值域,但運算依據不正確,不知道應該從已知函數的定義域和解析式去確定值域,而是無根據地默認■可以取足區間[-1,1]上的每一個值,與實際情況不相符,即使把解析式的正確結果求出來,整個反函數的答案仍有差錯.

正確答案為:y=-■arcsin■-■π(-2≤x≤-1).

2. 忽視隱含因素

例2:設方程x2+3■x+4=0的兩個實根為x1和x2,記α=arctgx1,β=arctgx2,求α+β.

錯解:x1+x2=-3■,x■x■=4

tg(α+β)=■=■=■

又-■

-π

分析:已知條件中隱含著α

事實上,由x1+x2=-3■0,知x1

-■

-π

正確答案應為:α+β=-■.

3.忽視值域的有界性

例3:已知P(x,y)滿足arcsinx+arccosy=π,求P點的軌跡方程.

錯解:arcsinx=π-arccosy,

x=■≥0,即x2+y2=1(x≥0),

分析:在已知關系式里隱含著重-1≤y≤0,這是因為,若0

x2+y2=1(0≤x≤1,-1≤y≤0).

4.忽視變形的等價性

例4:若arccosx-arcsinx=■,求x.

錯解:對原式兩邊同取余弦可得4·x■=■,兩邊平方得16x4-16x2+3=0,解得x2=■或x2=■,所以x=±■或x=±■.

分析:對已知式兩邊平方或對兩邊同取余弦(或正弦)時,都會擴大解集出現增根,這是因為,兩角相等,這兩角度同名三角函數值必相等,但反過來不成立,比如cos■=cos■=■,顯然由此得不到■=■.

此題若利用arcsinx+arccosx=■(x≤1),則始終為同解變形,可避免增根.

解法如下:arcsinx=■-arccosx,

反三角函數范文第2篇

同時，在研究銳角三角函數的簡單應用時，需要學生對圖形結構相互關系進行觀察和分析，對圖形整體或部分進行必要的變換.有了前面的知識做鋪墊，學生已經建立了各種解直角三角形的知識儲備和一定的推理能力基礎，有能力采用直觀與理性相結合的方式學習本節內容.

一、教學實錄

上課開始，屏幕上以動畫形式播放一個氣球在天空停留，一學生站在A點處觀測氣球，測得仰角為30°，然后他向著氣球的方向前進了100m，此時小明再次觀測氣球，仰角為45°，若小明的眼睛離地面1.6m，小明如何計算氣球的高度呢？（精確到0.1m）

教師與學生一起畫出草圖，將實際問題轉化為數學模型，學生一起看圖，逐一說出問題中的已知量與未知量.

師：要計算CD，可以利用RtCBE和RtCAE，先找出BE、CE與已知量的關系？

生：可以設CE長為xm，則在RtCBE中，由“等角對等邊”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，然后在RtCAE中，利用tan30°=，算出x+1.6的值，即為旗桿的高度.

師：根據上述方程，大家以最快的速度解這個方程，不會的相互幫忙一下.

點評：以上的分析過程簡潔明了，根據30°角的正切值列出方程也很容易理解，但是具體在解這個方程的過程中，學生卻遇到了很大的麻煩。有很多學生不會解決此類方程，因為方程中x的系數帶有根號，而且要先移項，再合并同類項，最后還要經歷分母有理化的過程，分母有理化本身是書本上的選修內容，中間還滲透了平方差公式，對于一些對平方差公式不熟練的學生而言，這是解此類方程的一個難點.

教師邊引導學生解方程的一般步驟，邊引導學生找出分母的有理化因式，從而保證結果的最簡，師生一起努力共同完成解答過程.

生：解：設CE長為xm，在RtCBE中，

∠CEB=90°，∠CBE=45°，

∠CBE=∠BCE=45°，

由“等角對等邊”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，

在RtCAE中，∠CEA=90°，tan∠CAE=，

tan30°=，

即=

3x=100+x

（3-）x=100

x===50（+1）

CD=CE+DE=50（+1）+1.6≈138.2m.

教師點評：這一種方案是先在RtCBE中設未知數，再根據“邊角關系”用的代數式表示BE，從而表示AE，最后在RtACE中利用tan30°的函數值列出方程，從而達到解決問題的目的.除了用以上方法解決問題外，同學們觀察一下圖形的特點，能否找出已知線段與未知線段之間存在的相等關系？

生：AE-BE=AB.

師：能否根據這一相等關系列方程呢？大家先獨立研究，然后把自己的研究成果與同組同學交流.

學生開始探究，教師巡視.巡視過程中發現大部分同學能利用第一種方案中的兩個直角三角形展開思維，也有的同學在“AE-BE=AB”的基礎上重新設未知數，結果得出的方程與第一種方案一致.

師：請想出不同方案的同學把你的研究成果寫在黑板上，其他小組進行補充.

全體同學一起努力，最后得到如下結果：

設CE=xm，在RtACE中，∠AEC=90°，

tan30°=，AE==x.

在RtCBE中，∠CEB=90°，tan45°=，BE==x，由AE-BE=AB可知，x-x=100，（-1）x=100，x===50（+1）.

教師總結：以上給出了兩種方案，從解題的技巧和解題方法來看，第一種方案利用小RtBEC的邊角關系設未知數，再由大RtAEC的邊角關系列方程，由內而外地展開大家很容易理解，但是得出方程后解此方程有一定的困難.第二種方案由兩個直角三角形同時進行，利用邊角關系表示AE，BE，再根據“AE-BE=AB”直接列出方程，而且這個方程比第一種方案中的方程容易解，由此評價方案二比較可行，但是方案二中表示AE，BE時必須注意方式方法.

師：將問題中的特殊角改為27°與40°，其他數據不變，求氣球的高度，選擇一種你認為比較合適的方案，自己先試一試.

（在巡視的過程中，選兩位用不同方法解答完成的學生上黑板板演.）

生甲：設CE=xm，

在RtBEC中，∠BEC=90°，tan40°=，BE==.

在RtAEC中，∠AEC=90°，tan27°=，AE==.

AE-BE=100，-=100.

tan40°x-tan27°x=100?tan27°?tan40°.

x=.

生乙：設CE=xm，

在RtBEC中，∠BEC=90°，

tan40°=，BE==.

在RtAEC中，∠AEC=90°，

tan27°=，tan27°=.

100?tan27°+=x.

100?tan27°?tan40°+tan27°?x=tan40°?x.

x=.

教師與學生一起點評，生甲的方案是建立在“AE-BE=100”的基礎上進行的，方程比較簡單，解題的過程簡潔明了.生乙的方案是由內而外展開，由小RtBEC內的邊角關系設未知數，由大RtAEC的邊角關系列方程，所列方程稍微有點復雜，但是只要細心，照樣可以解出答案.

師：大家有沒有發現這兩個直角三角形有著一條公共的邊呢？

生：有，是線段CE.

師：能否根據公共邊相等列方程呢？此時設哪條線段為未知數比較合適呢？

生：設BE=xm，則AE=（100+x）m，在RtBEC中，∠BEC=90°，tan40°=，CE=BE?tan40°=x?tan40°.

在RtAEC中，∠AEC=90°，

tan27°=，

CE=AE?tan27°=（100+x）?tan27°，

x?tan40°=（100+x）?tan27°.

解得x=.

CE=?tan40°=.

最后求出氣球的高度即可.

教師總結：本節課我們主要研究了銳角三角函數的簡單應用，學會了從各種不同的角度分析問題，抓住問題的突破口，步步逼近.今天我們一起探究了解決銳角三角函數的三種方案：方案一，由內而外，利用三角函數列方程求解；方案二，根據兩線段之差等于已知線段列方程求解；方案三，抓住兩個三角形的公共邊列方程.這三種方案各有千秋，平時解題時我們要具體問題具體對待.

二、總評

反三角函數范文第3篇

【關鍵詞】基本初等函數；乘積；不定積分；初等函數

【課題論文】湖北省教育科學“十二五”規劃2011年立項課題（項目編號2011B266）

一、冪函數與指數函數乘積的不定積分

1。∫xnaxdx=ax∑ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。

二、冪函數與對數函數乘積的不定積分

2。∫xnlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。

三、冪函數與三角函數乘積的不定積分

3。∫xncosxdx=∑ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。

4。∫xnsinxdx=-∑ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。

四、冪函數與反三角函數乘積的不定積分

5。∫xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx-∫xn+11-x2dx。

6。∫xnarccosxdx=1n+1xn+1arccosx+∫xn+11-x2dx。

其中：In+1=∫xn+11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n+1+nn+1In-1,…,

五、指數函數與對數函數乘積的不定積分

7。∫axlogbxdx=1lnbax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。

六、指數函數與三角函數乘積的不定積分

8。∫eaxcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。

9。∫eaxsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。

七、指數函數與反三角函數乘積的不定積分

10。∫axarcsinbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。

11。∫axarccosbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。

八、對數函數與三角函數乘積的不定積分

12。∫cosbxlnxdx=∑∞i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。

13。∫sinbxlnxdx=-∑∞i=01bi+1(cosbx)(i)(lnx)(i)+C。

九、對數函數與反三角函數乘積的不定積分

14。∫arcsinxlnxdx=(lnx-1)(xarcsinx+1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2+C。

15。∫arccosxlnxdx=(lnx-1)(xarccosx-1-x2)+ln1-1-x2x+1-x2+C。

十、三角函數與反三角函數乘積的不定積分

16。∫sinxarcsinxdx=-cosxarcsinx+∫cosx1-x2+C。

17。∫sinxarccosxdx=-cosxarccosx-∫cosx1-x2+C。

18。∫cosxarcsinxdx=sinxarcsinx-∫sinx1-x2+C。

19。∫cosxarccosxdx=sinxarccosx+∫sinx1-x2+C。

十一、冪函數與冪函數乘積的不定積分

20。∫xmxndx=1m+nxm+n+c(m+n≠-1),∫xmxndx=ln|x|+c(m+n=-1)。

十二、指數函數與指數函數乘積的不定積分

21。∫axbxdx=axbxlna+lnb+C。

十三、對數函數與對數函數乘積的不定積分

22。∫logaxlogbx=1lnalnb∫ln2xdx,

∫ln2xdx=xln2x-2∫lnxdx=xln2x-2xlnx+2x+C。

十四、三角函數與三角函數乘積的不定積分

23。∫sinxsinxdx=12∫（1-cos2x)dx=12x-14sin2x+C。

24。∫sinxcosxdx=12sin22x+c。

25。∫cosxcosxdx=12∫(1+cos2x)dx=12x+14sin2x+C。

十五、反三角函數與反三角函數乘積的不定積分

26。∫(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-2∫xarcsinx1-x2dx=x(arcsinx)2+2∫arcsinxd1-x2=x(arcsinx)2+21-x2?arcsinx-2x+C。

27。∫arcsinxarccosxdx=∫arccosxd(xarcsinx+1-x2)=arccosx(xarcsinx+1-x2)-∫xarcsinx+1-x21-x2dx=arccosx(xarcsinx+1-x2)-x+∫arcsinxd 1-x2=arccosx(xarcsinx+1-x2)+1-x2arcsinx-2x+C。

28。∫(arccosx)2dx=x(arccosx)2+2∫xarccosx1-x2dx=x(arccosx)2-2∫arccosxd1-x2=x(arccosx)2-21-x2arccosx+2x+C。

上面15種情況中：有11種情況（一、二、三、四、六、九、十一、十二、十三、十四、十五）的積分結果可以用初等函數表示出來，有4種情況（五、七、八、十）的積分結果不能用初等函數表示出來。

例 求∫x3(e-x+lnx+cosx)dx。

解 ∫x3(e-x+lnx+cosx)dx=e-x∑3i=0(-1)i(x3)(i)(-1)i+1+x44lnx-14+∑3i=0(x3)(i)(sinx)(i)=-e-x(x3+3x2+6x+6)+x44lnx-14+(x3-6x)sinx+(3x2-6)cosx+c。

【參考文獻】

反三角函數范文第4篇

2014年11月26—27日，我校成功舉辦了省“教學新時空·名校課程”現場推進會暨江蘇省海門中學第30屆教學“百花獎”全國展示活動（江蘇教育網進行了網絡直播）。筆者有幸執教《三角函數的周期性》一課。三角函數的周期性作為三角函數的圖像與性質的起始課，概念性強，本節課是筆者基于“給學生需要的數學概念課堂”的需求進行的一次實踐和嘗試。

一、課堂實錄

1.創設情境

同學們，作為一個海門人，我們身處長江邊，你有沒有在長江邊看過日出，今天老師請大家看一段長江邊日出的視頻。

下面是兩個同學看完視頻后的對話

甲：日出美嗎？

乙：美。

甲：那我們去長江邊看日出去？

乙：明天不行，我要上學。

甲：后天？

乙：不行，我要上學。

甲：沒關系，日出天天可以看，等你放假后一起去？

乙：好的。

師：從兩同學的對話中，你認為日出這一自然現象具有什么規律？

生：過了一定時間現象重復出現（定期重現），可用成語“周而復始”。

師：自然界和生活有許多“周而復始”的現象，我們的課前音樂《花心》的歌詞中也有類似周而復始現象的描述，你發現了嗎？

生：“春去春回來”“花謝花會再開”“黑夜又白晝”“潮起又潮落”。

師：很好，那我們最近研究的三角函數中有沒有這種“周而復始”的現象？

生：有，三角函數線。

2.概念生成

那我們一起研究一下三角函數線的變化，以正弦線為例，利用幾何畫板演示正弦線的變化(如圖1)。

師：正弦線的變化有什么特征？

圖1每轉過一圈，函數值就重復出現。

師：很好，如果用代數式表示？

生：sinx=sin(x+2π)=sin(x+4π)=。。。

師：上述等式成立與x的取值有關系嗎？

生：沒有。

師：如果我們記f(x)=sinx，那么上式就可以表示成f(x)=f(x+2π)=f(x+4π)=。。。

那么自變量x的取值范圍是什么？

生：任意角。

師：很好，那么你能用語言表述一下嗎？

生：自變量每增加2π，函數值不斷重復出現。

師：非常棒，這是不是和我們剛才研究的“日出”的周而復始現象很像，那么是不是只有正弦函數具有這一特征？如果還有其他函數，那么它增加的量是多少？

生：余弦函數也有這一特征，也是自變量每增加2π，函數值不斷重復出現。

師：還有么？

生：正切函數也有這一特征，不過增量為π。

師：三角函數具有的這種自變量每增加一定的量，函數值重復出現的性質稱為三角函數的周期性。

板書課題：三角函數的周期性。

師：如果有一個函數，自變量每增加1，函數值就重復出現，你認為它是否具有周期性？

生：有周期性。

師：也就是說，定量并不一定是“2π,π”，那么對于這些一般函數的周期性我們如何用數學符號語言刻畫？

沉默

師：大家可以討論一下？

學生討論，約2分鐘后。

師：你們有結論么？

生：我們組的結論是“對于函數f(x)，如果存在常數T，使f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)叫做周期函數，常數T叫做周期函數的周期”。

師：很好，對這一小組的結論，大伙還有沒有補充？

生：我們認為，應當是非零常數T。

師：理由？

生：若T為0，則自變量就沒有增量。

師：非常好。還有么？

生：自變量x應為定義域內的任意值。

師：太棒了，這樣我們就得到了周期函數的定義：“一般地，對于函數f(x)，如果存在非零常數T，使定義域內的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期”。

3.概念理解

師：請看問題

問題1填空：對于函數f(x)，如果定義域內的每一個x值，都滿足，那么函數f(x)為函數。

生：我認為可以填 “f(x+T)=f(x)（T≠0）”；周期。

師：很好。還有其他答案么？

沉默，突然某學生提出。

生：我認為，根據以前學的奇偶性的定義，可以填“f(－x)=f(x)”；偶。

師：很好，函數的奇偶性和函數的周期性有些條件完全一樣，我們可以類比學習。研究奇偶性時，我們要求函數的定義域關于原點對稱，你知道為什么嗎？

生：這是因為要使得x在定義域的同時，-x也要在定義域內。

師：非常好。那么你認為周期函數對定義域有什么要求？

生：x在定義域的同時，x+T也要在定義域內。

師：正確。

請看下一問題：

問題2函數y=sinx(0≤x≤10π)是不是周期函數？

生：不是，當x=10π時，10π+2π不在定義域內。

師：很好。看下一問題：

問題3判斷下列說法是否正確，并簡述理由。

（1）x=π3時，sin(x+2π3)≠sinx，則2π3一定不是函數y=sinx的周期；

（2）x=7π6時，sin(x+2π3)=sinx，則2π3一定是函數y=sinx的周期。

生：第一個正確，第二個不正確。判定一個常數不是周期函數的周期，舉一個反例即可。

判定一個常數是周期函數的周期，要使定義域內的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)。

師：回答的很好，理由總結的不錯。這兩個問題主要是考察大家對定義中每一個值的理解。再看下一問題：

問題4判斷下列函數是否為周期函數？

（1）f(x)=cos2x;（2）f(x)=x;（3）f(x)=1。

生：第一個是周期函數，2π是它的周期；

師：f(x)=x是不是周期函數？

生：我找不到它的周期，不知道是不是？

師：f(x)=x的圖像是遞增的一直線，自變量增加一定量，函數值也在增加。所以不是周期函數。由此可見：單調函數不是周期函數。

生：f(x)=1應該是的，但我發現有很多數都可以作為它的周期。

師：能不能說的更具體點？

生：所有非零常數都是它的周期。

師：很不錯，常數函數是周期函數，且周期為非零常數。你認為正弦函數y=sinx的周期為多少？

生：2π,4π,。。。都是它的周期，應該是k·2π(k∈Z,k≠0)。

師：余弦函數y=cosx呢？正切函數呢？周期函數的周期是否唯一？

生：余弦函數周期k·2π(k∈Z,k≠0)，正切函數為kπ(k∈Z,k≠0)。周期函數的周期不唯一。

師：已知定義在R上周期函數f(x)的周期為T，則2T是f(x)的一個周期嗎？你能推廣么？

生：是，f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x)， kT(k∈Z,k≠0)也是它的周期。

師：由于周期函數有無數個周期，對我們的進一步研究帶來不便，你能否選擇一個最具有代表性的來表述？

生：正周期，最小的。

師：那我們統一一下，規定：“最小正周期：對于周期函數f(x)，如果在它的所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做函數f(x)的最小正周期”。

師：你知道：正弦函數的最小正周期為多少？余弦函數呢？ 正切函數呢？

生：2π，2π，π。

師：周期函數的最小正周期一定存在么？理由？

沉默

師：那大家討論一下。

生：我們組認為，最小正周期不一定存在，如y=sinx(x≤0)沒有正周期，當然也就沒有最小正周期。

師：很好，這是從有沒有正周期的角度進行否定。那如果一個周期函數有正周期，是不是有最小正周期？

生：我們認為，還是不一定存在，反例是常數函數f(x)=1，就沒有最小正周期。

師：非常棒。周期函數的最小正周期不一定存在，我們的定義“如果……，那么……”

從現在開始，我們研究的周期沒有特別說明就是指函數的最小正周期。

4.概念運用

師：請看問題：求函數f(x)=cos2x的周期。

師：你認為我們可以用什么知識求函數周期？

生：周期函數的定義。

板演：解：設f(x)的周期為T，則f(x+T)=f(x)，即cos2(x+T)=cos2x對任意實數x都成立。

cos(2x+2T)=cos2x對任意實數x都成立。

師：下面怎么辦？還能用什么知識？

生：y=cosx最小正周期為2π這一結論。

師：怎么用？

生：把2x看成一個整體，

令u=2x，cos(u+2T)=cosu對任意實數u都成立。

又y=cosu的周期為2π，

所以使得cos(u+2T)=cosu對任意實數u都成立的最小正值為2π,

所以2T=2π,即T=π。

所以函數f(x)=cos2x的周期為π。

師：利用了周期函數的定義，結合y=cosx最小正周期為2π這一結論，采用整體的觀點研究，非常棒。

師：你能快速的求出下列函數的周期么？（1）f(x)=2cos2x;（2）f(x)=cos(2x+π3)。

生：它們的周期為π。

師：你認為函數f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ為常數，A≠0,ω>0)的周期和哪些元素有關？

生：只和ω有關，和A,φ都沒有關系。

師：不錯，那函數f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ為常數，A≠0,ω>0)的周期是。

生：2πω。

師：那函數f(x)=Asin(ωx+φ) (其中A,ω,φ為常數，A≠0,ω>0)的周期是多少？

生：也是2πω。

師：那如果函數f(x)=Asin(ωx+φ)的ω<0呢？

生：2π－ω。

師：函數f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數，A≠0,ω≠0)的周期為2π|ω|。

這可以作為公式用來求正余弦函數的周期。

師：我們再拓展一下：若函數y=f(x)的周期為T，則函數y=Af(ωx+φ)（A≠0,ω≠0）的周期為多少？

生：T|ω|。

師：求三角函數的周期有哪些方法？

生：利用定義求解，也可以用公式求解。

5.概念拓展

師：很好，從數的角度我們有兩種策略，那么形的角度呢？你認為周期函數的圖像具有什么特征？

生：應該也不斷重復。

師：非常好。你能不能根據圖2中函數f(x)=cos2x的圖像求出它的周期？

圖2

生：只需看間隔多久即可，應該是π。

師：太棒了，這說明我們還可以利用圖像求出函數的周期。

6.課堂小結

師：請你用幾個關鍵詞談談本節課的收獲？

生1：周期函數、最小正周期。

生2：如何求函數的周期。

師：大家說的都非常好，老師也總結了幾個關鍵詞概括“定義、公式、思想、方法”，請大家認真體會。

下課。

二、執教感悟

筆者認為我們教學的對象是學生，因此數學概念課應從學生的需要出發，創設學生需要的概念課堂。

1.給學生需要的概念引入

概念引入的目的是讓學生覺得數學概念不是憑空產生的，它來源于現實生活，具有廣泛性，我們有研究概念的必要性。因此在教學設計時，要從學生的實際出發，選擇符合學生熟悉的實例（或舊知）引入，從實例中提煉概念，讓學生自然的接受概念，意識到研究概念的必要性。本節課選擇日出引入，其實也可以選擇課程表、鐘表等其他實例引入，給學生需要的概念引入。

2.給學生需要的概念生成

學生需要什么樣的概念生成？這就回歸到另一個問題，我們的概念課為什么需要概念生成這一環節？概念生成的目的是通過概念生成過程培養學生能力的發展。因此筆者認為概念生成應由學生自主完成，如果是自然式生成，需要大量的時間投入，這是我們課堂不允許的，那么我們可以通過教學設計，讓學生在我們預設下自主生成、發展。我們在教學設計中要依據認知的需要，從特殊到一般，從具體到抽象，層層深入，設計問題。通過問題串逐步推進學生思維的發展，讓學生在自然而然學習中完成概念生成。

3.給學生需要的概念理解過程

數學概念是高度概括的，往往具有一定的抽象性。因此數學概念課應給學生需要的概念理解過程。那么學生需要什么樣的概念理解過程？筆者認為采用什么方式很重要，這一環節我們可以設計一些小題，用小題帶概念，強化概念。我們的小題應基于概念，可以是概念辨析，也可以概念運用，通過小題逐字逐句敲打概念，讓學生自然而然的理解概念。

4.給學生需要的概念學習方法及數學思想

與知識相比，概念學習的方法更重要。因此數學概念課堂還因給學生需要的概念學習方法。讓學生領悟從特殊到一般的歸納推理、特殊到特殊的類比推理、從一般到特殊的演繹推理；掌握獨立思考、自主探究，不斷反思、歸納、概括，大膽表述的學習方式；同伴互助、小組交流的合作研究模式。本課中對函數奇偶性的回顧，目的就是讓學生將奇偶性和周期性類比學習，加深對概念的理解。數學概念的學習要注重方法的養成，數學思想的滲透。

5.給學生需要的數學知識

我們的數學課堂時間有限，學生的認知水平，決定了對某些數學知識只能擱置，而給學生需要的數學知識。鑒于高中數學對函數周期性的要求，主要圍繞三角函數的周期性展開，因此本節課中對周期函數的定義的拓展，周期函數的某些性質沒有過多深入。

總之，我們的概念課堂要從學生的實際需要出發，給學生于自然的概念引入，自由的概念生成，自主的概念探究，自在的學習過程，這正是李善良老師所強調的“教自然的數學，建自由的課堂”。

三、名師觀察

在評課過程中，省數學教研員李善良博士及特級教師石鑫等作了點評，現摘錄部分如下：

1.概念的引入自然

一節課的引入做的好不好，往往決定一節課的成敗。作為是概念課的引入應當解決幾個問題，學什么？為什么學？怎么讓學生自然的學？本節課利用日出這一自然現象引入，貼近學生的生活實際，結合兩學生的對話，引導學生對日出這一自然現象的規律的探究，結合課前音樂《花心》，進一步讓學生感受周期現象的廣泛性，激發學生研究周期的欲望，比較完善解決了概念引入的三個問題。

2.概念生成過程自然

概念生成過程是學生能力提升的過程，也是培養學生學習興趣的過程。這一過程要舍得，要流暢。本節課在這塊做足文章，通過問題鏈，從三角函數線到正弦函數的周期，拓展到三角函數的周期，再延伸到一般函數的周期定義，再從周期函數的定義到最小正周期的概念，層層深入，逐步推進學生思維的發展，學生在不知不覺中完成了概念生成，過程自然流暢。

3.概念理解過程自然

概念理解過程是進一步認識概念的環節，可以采用讓學生研讀概念和做題兩種方式，本節課處理這一問題的方式是小題強化。通過幾個小題，辨析、強化周期函數的定義中“非零常數T”“定義域內的每一個自變量x”“ 恒等式f(x+T)=f(x)”。最小正周期概念“如果…,那么…”。逐字逐句敲打概念，讓學生自然的理解概念，起到很好的效果。

反三角函數范文第5篇

關鍵詞：聯系；新課；舊課

在以往的高中數學教學中我們發現，常常學生獲得的知識不容易得到鞏固，到了高三年級的時候，學生一方面要學習新的內容，一方面還要系統地復習舊知識，因此很是困難. 鑒于這樣的情況，高中數學教師應該采取怎樣的教學方式呢？在授予新課的同時應該怎樣復習舊的知識點呢？本文就高三數學新課中對舊課的復習，提出幾點合理化的建議.

找出本課或本單元與后面教材的聯系

教師在講課時，要善于找出本課或者本單元的教學內容與后面教材之間的聯系，為以后的新課打下基礎，使以后的新課易于進行. 例如，在立體幾何中講三面角時，布置“從三面角中相等的面角所夾的二面角的棱上一點向相對的面作垂線，則垂足必定在第三個面角的平分線上”的例題或者作業，使得以后棱錐的計算易于進行；在講到棱錐、棱臺的概念時，指出棱錐中的三個直角三角形、棱臺中的三個直角梯形，為以后的計算打下基礎；講圓柱、圓錐側面積定義時，突出圓柱側面積定義，則圓錐側面積定義、圓柱圓錐體積的定義、球和它的部分的面積與體積的定義就不難理解了，突出了大圓定理，還可以為將來在大學學球面三角及航海術、天文學打下基礎.其例子很多，不必一一列舉. 總之，如果在講授舊課時突出重點，那么以后進行的新課復習就能順利進行，但是突出重點不能堆砌教材，超出大綱的規定要求，以免給學生造成一定的負擔.

找出新課與舊課之間的聯系

復習舊課也可以在講了新課之后進行，找到新課與哪些舊課有相類似的地方，引導學生作出對比與類比，使新知識得到鞏固，并且系統化，學生容易掌握. 如立體幾何中，“三面角的任意兩個面角的和大于第三個面角”可與三角形中“任意兩邊之和大于第三邊”進行對比；三面角的相等與三角形的全等進行對比，因為兩個三面角中對應兩個面角；“同他們所夾的二面角相等，則兩個三面角相等”，等同于“兩個三角形中對應的兩邊和一個夾角相等，則兩個三角形全等”，但是必須指出次序的關系；長方體體積的求法可與矩形面積的求法對比，因為都是以整數的乘積作為基礎，推廣到分數的乘積、無理數的乘積；棱柱、圓柱求側面積、求體積的公式可以類比，因為前者是底面周長與高的乘積，后者是底面積與高的乘積；棱錐、圓錐求體積的公式可以類比，因為都是底面積與高相乘積的三分之一；棱臺、球臺求體積的公式可以類比，因為都是三個椎體體積的和. 在三角形中，解斜三角形的討論可與平面幾何已知兩邊一對角作三角形的討論對比；三角方程的增根問題可以與代數方程的增根問題對比. 在代數中，排列與組合可以進行對比；復數除法與有理化分母類比；解不等式與解方程對比；不等式的證明與恒等式的證明對比. 這樣做了之后，學生對新學的知識認識就比較深刻，也易于識記. 但是要注意共性與特性，要分出相似與相同的地方，不能混淆.

在復習課上總結新舊知識的聯系

高中數學是一門比較系統的學科，每學完一個單元之后教師一定要進行單元總結，整理所學的知識，分析特點和概括方法，以達到提高的作用. 如果方法不止一種，可以在講了幾個方法之后復習這些方法的特點，告之學生哪類問題應該用哪種方法解答，然后再進行新的方法的講解. 這樣一來，學生就不會學得多而不知如何用. 當學生學習較難的單元時，可以在告一段落的地方進行復習，發現問題，及時解決.

例如，講了排列組合之后，可以進行復習；講了二項式定理之后，除了復項式定理之外，還要復習排列與組合. 由于不斷的復習加強了學生的理解與記憶，使得知識得到了鞏固. 在復習時，還應該有計劃地布置作業，使其逐漸深入，起到層層加深的作用.

遵循大綱，鉆研教材

在授予新課之前，教師應該鉆研教材，找出新課與舊課的聯系，在復習舊知識的時候，逐漸加入新課的因素，用化整為零的方法來分散本課的難點. 這樣一來，教師在講的時候不會感覺到費力，學生在聽的時候也不會感覺到難懂.

例如，在講立體幾何棱臺體積的求法時，不要先講定理，只說出本課的目的要求即可. 教師可以先拿出一個棱臺的模型，問學生：“棱臺的定義是什么？”學生回答：“棱錐被平行于地面的平面所截，截面同原棱錐地面之間的多面體就叫做棱臺.” 教師再問：“延長棱臺的所有側棱會有什么樣的結果呢？”“他們會相交于一點，然后變成兩個棱錐”，緊接著教師提問：“棱錐的體積怎么計算？”棱錐是大家熟悉的，棱錐的體積等于其底面積與高相乘的三分之一. 求出棱錐的體積之后，此時教師才發問：“那么，棱臺的體積能否由棱錐的體積求得呢？”顯然，此時棱臺的體積是等于兩個棱錐的體積之差，這樣就可以順其自然的引入新課：棱臺體積的求法.

在高中數學教學中我們發現：講三角形的邊角關系補助定理時，復習平面幾何的“同弧內的弓角相等”；在講“圓內接四邊形的對角互補”時，可以復習直角三角形的解法；講到“余弦定理”時，可以復習平面幾何的勾股定理的推斷；講到反三角函數之前，教師可以系統地復習“角的概念、三角函數的概念、任意角的三角函數化成銳角的三角函數的求法”，使學生能夠理解反三角函數的均值性，并掌握反三角函數主值的求法；在講三角方程之前，可以復習“三角函數與反三角函數的關系”，使學生對已知的三角函數值求角的普遍值的方法能透徹理解并且牢固地掌握.

此外，在代數中，講到復數的幾何表示法時，教師可以復習“各個象限的角的三角函數的性質”同“三角函數的周期性”；講二次三項式之前，系統地復習“二次三項式因式分解”，“二次函數的圖象及其性質”. 總之，只要我們在備課時注意到教材的系統性，每一節課都可以找到復習舊課的機會.

在新課中復習舊課，復習的方法應有所不同. 若新課與舊知識聯系的地方不太多，就可以在進行新課講解時復習與新課有聯系的各部分. 若新課所需要的舊知識較多，講過的時間相隔又是比較久的，就可以在講新課以前用幾個課時來進行復習.

例如，講反三角函數之前，用幾節課對角的概念和三角函數的概念進行系統復習；講二次三項式之前，用幾節課對二次三項式的因式分解同二次函數的圖形進行系統復習. 系統復習時，首先對關鍵問題重點講解；然后布置復習提綱，指定復習順序與范圍，使學生在復習時能抓住重點；最后進行依次提問，分段作出結論，使學生對舊知識能深刻地理解，系統地掌握；再布置作業，進行知識點的鞏固. 這樣做了之后，學生不再感覺學習新課有困難，因而增加了學習的興趣.

這樣做的目的，不僅僅能使舊知識屢次重復出現，起到鞏固的作用，而且能使學生知道新知識從何而來，對新知識也比較容易理解，也能逐漸培養學生的理解能力. 因此，在復習舊知識時，必須與本單元或者本章節有所關聯，才不會打亂學科的系統性.

了解學生知識掌握情況

要復習的好，教師還必須了解學生的情況，如對舊知識的掌握情況、學習態度、學習方法是否正確等等. 至于了解學生的途徑，教師可以從課外作業、復習提問、課代表的反映、個別詢問、課外輔導作業等多方面進行. 遇到有不重視復習舊課、學習態度不端正的學生，必須進行教育，使其在思想上得到糾正，才能收到復習的效果.

總之，復習舊課是保證牢固掌握知識的最好方法之一，因為經常使舊知識在學生記憶中重復出現，不但可以使得舊知識得到鞏固，還可以使它得到發展.同時，把已經獲得的知識整理成為一個系統，這些知識就猶如釘的牢牢的釘子，永遠不會消失，運用起來也靈活自如. 要做到這一點也不是非常困難，只要教師是有意識地、有計劃地處理教材，在高中三年級的教學中，進行新課的同時，就可以使舊知識得到全部的復習.