二倍角的正弦余弦正切數(shù)學(xué)教案

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（一）教學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀

（二）教學(xué)目標(biāo)

1．應(yīng)用倍角公式解決本章開(kāi)頭的一個(gè)應(yīng)用問(wèn)題．

2．活用倍角公式，推求半角公式．

（三）教學(xué)過(guò)程

1．設(shè)置情境

請(qǐng)同學(xué)看教材第3頁(yè)上的一段文字，它敘述的是一個(gè)生活中的實(shí)際問(wèn)題：

“如圖1，是一塊以點(diǎn)為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上畫(huà)出一個(gè)內(nèi)接矩形辟為綠地，使其一邊落在半圓的直徑上，另兩點(diǎn)、落在半圓的圓周上．已知半圓的半徑為，如何選擇關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、的位置，可以使矩形的面積最大？”根據(jù)教材提示應(yīng)用所學(xué)的倍角公式，同學(xué)們能?chē)L試解答它嗎？

2．探索研究

分析：要使矩形的面積最大，就必須想辦法把面積表示出來(lái)，不妨利用我們所學(xué)的三角知識(shí)，從角的方面進(jìn)行考慮，設(shè)，則，，所以可以用表示．

解：設(shè)則

∵∴

當(dāng)時(shí)，即，

這時(shí)，

答：點(diǎn)、分別位于點(diǎn)的左、右方處時(shí)取得最大值．

變式：把一段半徑為的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大？

生：根據(jù)上題的結(jié)果可知這時(shí)圓內(nèi)接矩形為內(nèi)接正方形時(shí)面積最大．

以上是倍角公式在實(shí)際生活中的運(yùn)用，請(qǐng)同學(xué)們觀察以下例題，并分析、思考后能否得出證明．

3．例題分析

【例1】求證：

（1）；（2）；

（3）．

思考，討論．

我們知道公式中是任意的，所以我們可以用來(lái)替換，這樣就得到

即

上面三式左邊都是平方形式，當(dāng)?shù)闹狄阎堑慕K邊所在象限已知時(shí)，就可以將右邊開(kāi)方，從而求得：

以上兩式相除又得：

這三個(gè)式子稱(chēng)之為半角公式，“±”號(hào)的取舍得由終邊所在象限確定．

【例2】求證：

．

分析：從例1引出例2，，右邊是同一個(gè)三角函數(shù)，并且還要附上正負(fù)號(hào)，而所要證明的式子右邊有兩個(gè)三角函數(shù)，不帶正負(fù)號(hào)．故我們不能利用上法，得另想辦法．

師：（邊敘述邊板書(shū)）

∴

上式不含根號(hào)也不必考慮“±”號(hào)選取，通常用于化簡(jiǎn)或證明三角恒等式，同樣可作半角公式運(yùn)用．

【例3】已知：，求，，．

解：

說(shuō)明：①例1中（1）、（2）兩式使用頻率極高，正、逆使用都非常普遍．習(xí)慣從左到右，常稱(chēng)“擴(kuò)角降冪公式”，從右到左常謂“縮角升冪公式”，

②半角公式是二倍角公式的另一種表達(dá)方式，倍半關(guān)系是相對(duì)的．

練習(xí)（投影）

1．已知：（），

求：（1）；（2）．

2．若，求：的值．

3．求：的值．

參考答案：

解：1．∵

兩邊平方得∴

又∵∴

∴∴

2．∵∴

原式

（3）

另解：設(shè)……………………①

……………………②

①＋②得…………………………③

①－②得……④

③＋④得∴

4．總結(jié)提煉

（1）本節(jié)課我們由倍角公式出發(fā)解決了實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，得出結(jié)論“在一個(gè)圓的所有內(nèi)接矩形中，以?xún)?nèi)接正方形的面積為最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，從而推導(dǎo)出半角公式，公式“±”號(hào)的選取決定于終邊所在的象限，例2的應(yīng)用也很廣泛，大家可根據(jù)題目的條件選擇使用較為方便的形式．

（2）從半角公式可以看出，半角的正弦、余弦、正切公式都可以用單角的余弦來(lái)表示．

（3）若給出的是象限角，則可根據(jù)下表決定符號(hào)．

的終邊

一

二

三

四

的終邊

一或三

一或三

二或四

二或四

若給出的是區(qū)間角，則先求所在區(qū)間再確定符號(hào)．

若沒(méi)有給出確定符號(hào)的條件，則應(yīng)在根號(hào)前保留“±”號(hào)．

（五）板書(shū)設(shè)計(jì)

二倍角的正弦、余弦、正切

1．復(fù)述二倍角公式

2．由，推出半角公式