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    已知三角函數值求角數學教案

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    【教學過程】:

    一.問題的提出:

    在我們的學習中常遇到知三角函數值求角的情況,如果是特殊值,我們可以立即求出所有的角,如果不是特殊值(),我們如何表示呢?相當于中如何用來表示,這是一個反解的過程,由此想到求反函數。但三角函數由于有周期性,它們不存在反函數,這就要求我們把它們的定義域縮小,并且這個區間滿足:

    (1)包含銳角;(2)具有單調性;(3)能取得三角函數值域上的所有值。

    顯然對,這樣的區間是;對,這樣的區間是;對,這樣的區間是;

    二.新課的引入:

    1.反正弦定義:

    反正弦函數:函數,的反函數叫做反正弦函數,記作:.

    對于注意:

    (1)(相當于原來函數的值域);

    (2)(相當于原來函數的定義域);

    (3);

    即:相當于內的一個角,這個角的正弦值為。

    反正弦:符合條件()的角,叫做實數的反正弦,記作:。其中,。

    例如:,,,

    由此可見:書上的反正弦與反正弦函數是一致的,當然理解了反正弦函數,能使大家更加系統地掌握這部分知識。

    2.反余弦定義:

    反余弦函數:函數,的反函數叫做反余弦函數,記作:.

    對于注意:

    (1)(相當于原來函數的值域);

    (2)(相當于原來函數的定義域);

    (3);

    即:相當于內的一個角,這個角的余弦值為。

    反余弦:符合條件()的角,叫做實數的反正弦,記作:。其中,。

    例如:,,由于,故為負值時,表示的是鈍角。

    3.反正切定義:

    反正切函數:函數,的反函數叫做反正弦函數,記作:.

    對于注意:

    (1)(相當于原來函數的值域);

    (2)(相當于原來函數的定義域);

    (3);

    即:相當于內的一個角,這個角的正切值為。

    反正切:符合條件()的角,叫做實數的反正切,記作:。其中,。

    例如:,,,

    對于反三角函數,大家切記:它們不是三角函數的反函數,需要對定義域加以改進后才能出現反函數。反三角函數的性質,有興趣的同學可根據互為反函數的函數的圖象關于對稱這一特性,得到反三角函數的性質。根據新教材的要求,這里就不再講了。

    練習:

    三.課堂練習:

    例1.請說明下列各式的含義:

    (1);(2);(3);(4)。

    解:(1)表示之間的一個角,這個角的正弦值為,這個角是;

    (2)表示之間的一個角,這個角的正弦值為,這個角不存在,即的寫法沒有意義,與,矛盾;

    (3)表示之間的一個角,這個角的余弦值為,這個角是;

    (4)表示之間的一個角,這個角的正切值為。這個角是一個銳角。

    例2.比較大小:(1)與;(2)與。

    解:(1)設:,;,,

    則,,

    ∵在上是增函數,,

    ∴,即。

    (2)中小于零,表示負銳角,

    中雖然小于零,但表示鈍角。

    即:。

    例3.已知:,,求:的值。

    解:正弦值為的角只有一個,即:,

    在中正弦值為的角還有一個,為鈍角,即:,

    所求的集合為:。

    注意:如果題目沒有特別說明,結果應為準確值,而不應是近似值,書上均為近似值。

    例4.已知:,,求:的值。

    解:余弦值為的角只有一個,即:,

    在中余弦值為的角還有一個,為第三象限角,即:,

    所求的集合為:。

    例5.求證:()。

    證明:∵,∴,設,,

    則,即:,即:,

    ∵,∴,

    ∴,∴,即:。

    例6.求證:()。

    證明:∵,∴,設,,

    則,即:,即:(*),

    ∵,∴,

    ∴,∴,即:。

    注意:(*)中不能用來替換,雖然符號相同,但,不能用反余弦表示。

    四.課后作業。

    書上:P76.練習,P77.習題4.11。(均要準確值,劃掉書上的精確到)

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