靜定梁內(nèi)力圖

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摘要：正確計算截面內(nèi)力，快速繪制靜定梁內(nèi)力圖十分重要，闡述了用簡捷法作單跨靜定梁的內(nèi)力圖的基本條件，并舉例說明了內(nèi)力圖在集中力、集中力偶處的特點和規(guī)律，還強調(diào)了彎矩圖中拋物線的開口方向以及控制截面的選擇方法。

關(guān)鍵詞：簡捷法；剪力；剪力圖；彎矩；彎矩圖

梁的內(nèi)力圖繪制的目的是用圖示方法形象地表示出剪力Q、彎矩M沿梁長變化的情況，繪制梁的內(nèi)力圖是材料力學(xué)教材中的一個重點和難點內(nèi)容，熟練、正確地繪制內(nèi)力圖是材料力學(xué)的一項基本功，也是后續(xù)課程結(jié)構(gòu)力學(xué)的基礎(chǔ)。繪制梁內(nèi)力圖的方法有靜力法、簡捷法和疊加法，其中簡捷法是利用剪力、彎矩和荷載集度之間的微分關(guān)系作圖的一種簡便方法，通常是用來確定梁的危險截面作為強度計算的依據(jù)，因此熟練掌握簡捷法作梁的內(nèi)力圖是十分必要的。

1簡捷法繪制單跨靜定梁的內(nèi)力圖的基本要求

（1）能快速準確地計算單跨梁的支座反力（懸臂梁除外）

支座反力的正確與否直接影響內(nèi)力的計算，因此在靜力學(xué)的學(xué)習(xí)過程中要打好基礎(chǔ)。

（2）能用簡便方法求解指定截面的內(nèi)力

1．1求剪力的簡便方法

某截面的剪力等于該截面一側(cè)所有外力在截面上投影的代數(shù)和，即Q=Y左側(cè)外力（或）Y右側(cè)外力

代數(shù)和中的符號為截面左側(cè)向上的外力（或右側(cè)向下的外力）使截面產(chǎn)生正的剪力，反之產(chǎn)生負剪力。（即外力左上右下為正）

1．2求彎矩的簡便方法

某截面的彎矩等于該截面一側(cè)所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和，即M=Mc左側(cè)外力（或Mc右側(cè)外力）

代數(shù)和中的符號為截面的左邊繞截面順時針轉(zhuǎn)的力矩或力偶矩（或右邊繞截面逆時針轉(zhuǎn)的力矩或力偶矩）使截面產(chǎn)生正的彎矩，反之產(chǎn)生負彎矩。（即外力矩或力偶矩左順右逆為正）

1．3舉例說明：求圖1中1-1截面的剪力和彎矩

解：取左側(cè)為研究對象，根據(jù)簡便方法有：

Q1=25-5×4=5kNM1=25×2-5×4×2=10kN•m

驗證：取右側(cè)為研究對象，根據(jù)簡便方法有：

Q=15-10=5kNM1=10×4-15×2=10kN•m

1.4能將梁正確分段，根據(jù)各段梁上的荷載情況，判斷剪力圖和彎矩圖的形狀，尋找控制面，算出各控制面的Q和M彎矩、剪力與荷載集度之間的微分關(guān)系如下：

dM(x)dx=Q(x)

dQ(x)dx=q(x)

d2M(x)dx2=q(x)

利用彎矩、剪力與荷載集度之間的微分關(guān)系及其幾何意義，可總結(jié)出下列一些規(guī)律，用來校核或繪制梁的剪力圖和彎矩圖，其規(guī)律如下表所示：

注意：根據(jù)函數(shù)圖線的幾何意義，當q＞0（向上）時，彎矩圖為開口向下的二次拋物線；反之q＜0（向下）一時，彎矩圖為開口向上的二次拋物線，即拋物線的凹性和凸性和均布荷載的方向保持一致。

1.5能根據(jù)計算的各控制面的Q和M作圖

作圖時要求基線長度和梁的軸線等長，截面對應(yīng)，縱標值、正負號、圖名和單位缺一不可。

2應(yīng)用舉例

2.1用簡捷法作圖示梁的內(nèi)力圖(特點:無彎矩極值,有剪力突變)

RA=11kN（↑）RB=7kN（↑）

(2)根據(jù)梁上的荷載情況，將梁分為AC和BC兩段

(3)計算控制截面的Q值

AC為均布荷載段，剪力圖為斜直線，其控制截面剪力為

QA右=RA=11kNQc左=10-7=3kN

BC段為無荷載區(qū)段，剪力圖為水平線，其控制截面剪力為

Qc右=RB=-7kN

畫出剪力圖如圖2(b)所示

（4）計算控制截面彎矩，畫彎矩圖

AC為均布荷載段，由于q向下，彎矩圖為凸向下的二次拋物線，該段中Q≠0,因此沒有M極,其控制截面彎矩為

MA右=0MC左=RB×2=14kN•m

BC段為無荷載區(qū)段，彎矩圖為斜直線，其控制截面彎矩為

MC右=RB×2=14kN•mMB左=0

畫出彎矩圖如圖2(c)所示。

2.2用簡捷法作圖示梁的內(nèi)力圖(特點:有彎矩極值,有彎矩突變)

【解】（1）求支座反力

RA=6kN（↑）Rc=18kN（↑）

（2）根據(jù)梁上的荷載情況，將梁分為AB和BC兩段

（3）計算控制截面剪力，畫剪力圖

AB段為無荷載區(qū)段，剪力圖為水平線，其控制截面剪力為

QA右=RA=6kN

BC為均布荷載段，剪力圖為斜直線，其控制截面剪力為

QB右=RA=6kN

QC左=-RC=-18kN

畫出剪力圖如圖3(b)所示。

（4）計算控制截面彎矩，畫彎矩圖

AB段為無荷載區(qū)段，彎矩圖為斜直線，其控制截面彎矩為

MA右=0

MB左=RA×2=12kN•m

BC為均布荷載段，由于q向下，彎矩圖為凸向下的二次拋物線，其控制截面彎矩為

MB右=RA×2+Me=6×2=12=24kN•m

MC左=0

從剪力圖可知，此段彎矩圖中存在著極值，應(yīng)該求出極值所在的截面位置及其大小。

設(shè)彎矩具有極值的截面距右端的距離為a，由該截面上剪力等于零的條件可求得a值，即

Q(x)=-Rc+qa=0

a=Rcq=186=3m

彎矩的極值為

Mmax=Rc•a-12qa2=18×3-6×322=27kN•m

畫出彎矩圖如圖3(c)所示。

3結(jié)語

由以上兩題可知：

（1）在集中力作用截面處，剪力圖發(fā)生突變，突變的大小等于集中力的大小；

（2）在集中力偶作用處，剪力圖無變化，彎矩圖將發(fā)生突變，突變的大小等于集中力偶矩的大小；（3）若在梁的某一截面上剪力為零，即彎矩圖在該點的斜率為零，則在該截面處彎矩存在極值。

參考文獻

［1］沈養(yǎng)中,董平.材料力學(xué)［M］.北京:科教出版社,2002.

［2］孔七一.工程力學(xué)［M］.北京:人民交通出版社,2005.