公路匝道坐標管理
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摘要：本文利用復化辛普森公式導證的計算公路匝道坐標的通用公式。利用fx-4500p計算器編程計算放樣點位坐標。
關鍵詞：復化辛普森公式公路匝道編程坐標計算
一、引言
匝道是組成高等及公路立交的基本單元，其形式千變萬化，就線形而言，也是由直線段、回旋曲線段、圓曲線段組成。但是，組成立交的匝道涉及線形的曲率變化特點，利用復化辛普森公式導證了計算公路匝道點位坐標的通用公式。并利用卡西歐fx-4500p計算器編程計算公路匝道點位坐標。
二、公路匝道點位坐標計算
1.公路匝道中線形式
公路匝道中線是由直線—回旋曲線—圓曲線（r1）—回旋曲線—圓曲線（r2）—回旋曲線—直線的順序組成的，其中r1¹r2。
2.回旋曲線上點位坐標方位角的計算
如圖1，設回旋曲線起點a的曲率為ra，其里程為dka；回旋曲線終點b的曲率為，其里程為dkb，ax¢y¢為以a為坐標原點，以a點切線為x¢軸的局部坐標系；axy為線路坐標系。
由此回旋曲線上各點曲率半徑為ri和該點離曲線起點的距離ﺎi成反比，故此任意點的曲率為
（=r0為常數(shù)）（1）
由式（1）可知，回旋曲線任意點的曲率按線性變化，由此回旋曲線上里程為dki點的曲率為
（2）
當曲線右偏時，取正；當曲線左偏時取負。在圖1中有
（3）
將式（2）代入式（3）得
（4）
若已知回旋曲線起點a在線路坐標系下切線坐標方位角αa，則里程為dki點切線坐標方位角為
（5）
將式(4)代入式(5)得
（6）
對于式(6)，當，時，，則ai=aa，式(6)變成計算直線段上任意點切線坐標方位角計算公式；當，時，，，則式(6)代表圓曲線上任意點切線坐標方位角計算公式。
可見，若已知曲線段起點和終點的曲率及起點的切線坐標方位角，式(6)便能計算任意線型點位切線坐標方位角。
3、回旋曲線點位坐標計算
由圖1可得回旋曲線上點位在坐標系下坐標計算公式：
（7）
（8）
設回旋曲線起點a在線路坐標系下的坐標為將式(6)替代式(8)中的，便得回旋曲線上任意點在線路坐標系下的坐標：
（9）
對于式(9)的解算，由于后半部分是定積分，我們引入復化辛普森公式對其進行解算。
首先將積分區(qū)間[dka，dki]劃分為n等份，步長為h=（dki-dka）/n，分點里程dxk=dka+kh，k=0，1，2，×××，n，記子區(qū)間[dxk，dxk+1]的里程為dxk+1/2，則dxk+1/2=（dxk+dxk+1）/2，k=0，1，2，×××，n-1。
由此式(9)用復化辛普森公式表示為
n-1n-1
x=xa+h/6´（cosaa+4∑cosak+1/2+2∑cosak+cosai）
k=0k=1
n-1n-1
y=ya+h/6´（sinaa+4∑sinak+1/2+2∑sinak+sinai）（10）
k=0k=1
式中：aa為回旋曲線起點a的切線方位角；ak+1/2為里程dxk+1/2點切線方位角；ak為里程dxk點切線方位角；ai為里程dki點切方位角。
對于式(10)，雖然是由回旋曲線導出的，但該式也適用直線段和圓曲線段。
三、復化辛普森公式的使用說明
為滿足點位坐標計算精度，經(jīng)驗算取n=2。無論是直線段、圓曲線段、回旋曲線段，只要將各曲線段中的起點、終點的曲率和里程以及解求點里程dki和各分點里程代入式(2)、(6)、(10)便可獲得待求點dki的坐標。在計算時，要注意曲線的偏向。
四、公路匝道坐標計算源程序
l1lbl0：t“x1”u“y1”c“at”d“pa”e“pb”a“ch0”b“chn”g“x0”i“y0”：m：lbl1：n=0：p=0：o=0：q=0：s=0：{j}：j“chi”
l2lbl2：n=n+1：h=2（j-a）/m：f=nh/2+a：r=c+180/p´（d+（e-d）/2（b-a）´（f-a））（f-a）：int（n/2）=n/2=>o=o+cosr：p=p+sinr：¹>q=q+cosr：s=s+sinrd
l3n=m=>goto3：¹>goto2dlbl3：x=g+h/6´（cosc+4q+2o-cosr：y=i+h/6´（sinc+4s+2p-sinr）：x：“x=”ùy：“y=”ùpol（x-t，y-u：vùw<0=>w=w+360ù¹>wùdgoto1
x1----測站點x坐標
y1----測站點y坐標
at----曲線起點方位角
pa----曲線起點曲率（當曲線右偏時，ρa取正；當曲線左偏時ρa取負。）
pb----曲線終點曲率（當曲線右偏時，ρb取正；當曲線左偏時ρb取負。）
ch0----曲線起點里程
chn----曲線終點里程
x0----曲線起點x坐標
y0----曲線起點y坐標
m----求和累積次數(shù)n的2倍
ch----曲線待測點里程
x----曲線待測點x坐標
y----曲線待測點y坐標
v----測站至待測點間的距離
w----測站至待測點間的方位角
其中r=c+180/p´（d+（e-d）/2（b-a）´（f-a））（f-a）為（2）、（6）式的合并式，計算切線坐標方位角；o=o+cosr、p=p+sinr、q=q+cosr、s=s+sinr、x=g+h/6´（cosc+4q+2o-cosr、y=i+h/6´（sinc+4s+2p-sinr）計算點位坐標。由于累計時o=o+cosr、p=p+sinr分別多累加了一個cosr、sinr，所以在程序中（10）式最后一項前為負號。
五、坐標計算算例
利用萬家寨水利樞紐工程左岸上壩公路一段曲線驗證復化辛普森公式坐標計算程序的正確性。
如圖2：0+488.8~0+552.74為直線段，0+552.74~0+577.74及0+693.17~0+718.17為緩和曲線段，緩和曲線長為l0=25m，0+577.74~0+693.17為圓曲線段，r=85m。
在計算器中找到該程序，先輸入直線段的起算數(shù)據(jù)，以里程0+488.8為起點，求得0+500.0點的坐標，然后分別以里程0+552.74、0+577.74為起點計算驗證緩和曲線及圓曲線上各點的坐標。
與分別運用直線段、緩和曲線段、圓曲線段計算坐標的計算公式所計算的結果完全相同。
六、結論
本文利用的式（10）是計算公路匝道點位坐標的通用公式。當曲線的設計半徑較小時，為保證點位計算精度，n（即程序中m的1/2倍）的取值可適當?shù)拇笮?/p>
利用上例驗算的計算結果可以說明該程序對于公路的直線段、緩和曲線段、圓曲線段均實用。上例在計算圓曲線起點（0+577.74）參數(shù)時，可利用計算緩和曲線終點（0+577.74）坐標后，在計算器中提取x、y的數(shù)值即為圓曲線起點坐標值，提取r加360即為圓曲線起點方位角。且程序中已算出待測點至測站的平距和方位角，可利用全站儀自由設站極坐標法放樣，此方法放樣速度快，準確率高。
參考文獻：
[1]李孟山，李少元.計算公路匝道點位坐標的復化辛普森公式.測繪通報，2000.
[2]卡西歐fx-4500p計算器說明書.
