小學應用題教學改革

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60年代以來應用題教學的地位在德國經歷了一場戲劇性的變化。1970年—1976年由于皮亞杰理論的影響，應用題地位迅速下降，處于從屬地位，而計算題則處于主要地位，這一階段人們稱之謂“小學數學教育起了根本的變化”。1976年開始，由于家長的憤怒與教學實踐中產生的實際情況，迫使他們對數學教育進行新的權衡，天平又回復了。促進思維與技算技能被看得同等重要，應用題又顯得重要了。人們認為，經過改革后的應用題教學既能鍛煉理解數學結構的能力，又能鍛煉計算技能。

經過多年的討論，他們認為應用題教學的目的是：

1．培養兒童從周圍客觀環境事物中抽象出數學結構關系的能力。

2．培養兒童的計算技能，并使他們能正確地運用四則運算解決問題。

3．應用題中涉及的具體知識可以深化學生對某一專門領域的了解，使專業知識得到發展。

4．通過解題可以訓練、培養學生的思維，更重要的是還可以培養學生的創造性思維，達到提高學生解決問題和創造性解決問題的能力。

德國當前的應用題教學（即改革后的應用題教學）強調，所教的內容應該取自于孩子們周圍環境中的實際問題。他們認為：在小學里，兒童學習如何通過數的幫助，來了解周圍世界的真相，是一個很重要的方面。所以培養兒童運用數學方法來掌握某一周圍世界情況的能力是至關重要的?，F實生活中，在對某一問題考慮出一個可能的解決方法之前，很少會有一切必不可少的事項、數據、陳述、關系都已在手頭齊全了，首先必須對之加以搜集、挑選、整理、比較，然后才是提出問題，接著是尋求解決方法，最后是得出答案。而在傳統的數學應用題課里，這些必不可少的數據、信息大多是以文字形式給出的。所以也有人說，這些應用題相對于大家所重視的真正實際問題的解決來說，只是一些“冒牌應用題”。

作為改進，他們對應用題的設計作了帶有方向性的改革：

1．在應用題的設計上留出讓學生自己補充、搜集信息的余地，使學生能夠自己搜集有關的信息并進行選擇。

例如：20馬克可以買多少千克桔子？

這種題按傳統觀點是無法解的，是條件不全的題?，F在學生要完成這個題，首先必須到學?；蚣彝ジ浇纳痰昊虺壥袌鋈ニ鸭圩拥膬r格信息，然后挑選自己喜歡的品種，算出千克數；或挑選價格最便宜的和價格最貴的，再算出可買桔子的千克數范圍。1984年與1989年筆者兩次在德國巴伐利亞州考察進修時，發現師生都對這一類題很感興趣。有關教研機構也覺得這類題很有利于培養學生解決問題的能力。

2．應用題不設問，讓孩子們自己去尋找計算性的設問。

例1烏特買了8只檸檬，她用一枚5馬克的硬幣去付款，找回了3馬克。

例2瑪麗亞在奶酪攤上幫助她的姑姑。上星期她幫了20小時，得到工資140馬克。這個星期她幫了25小時。

教師可以從學生的設問中看出學生對信息的理解程度和處理能力。像例2這種題可以設不止一個問，尤能看出學生對信息搜集和處理能力。

有的題甚至沒有文字說明，只有圖。要求學生從圖中搜集信息，提出問題（如下圖）。

（附圖{圖}）

3．為了培養學生的創造力，設計問題時考慮到讓學生從不同的角度出發進行發散思維，探求不同的答案。

例：父親買玻璃杯（下圖）。他用3張10馬克的紙幣付款，收回了6馬克的找頭。

（附圖{圖}）

這一類題一般有不止一個的答案，要鼓勵學生去尋找不同的答案，答案越多越好?！督虒W參考書》指出，“當然不是要求所有的學生都找出所有的答案，重要的是，學生都要有興趣去尋找多個答案?！苯處熞龑W生通過嘗試制表法來尋求各種答案?，F介紹如下。

分析與解題過程（摘自教師用書）：

從圖片中可以觀察到杯子有三種價格：2馬克、4馬克、8馬克。

先計算父親付了多少錢：30－6＝24（馬克）

（1）當他只買一種杯子時，有下列幾種可能：

每只8馬克的24÷8＝3（只杯子）

每只4馬克的24÷4＝6（只杯子）

每只2馬克的24÷2＝12（只杯子）

（2）當他買了兩種杯子時，就成了丟番圖問題，有三種情況：

①x·8＋y·4＝24

②x·8＋y·2＝24

③x·4＋y·2＝24

當x或y為零時，就是（1）中所述的情況。

小學二年級的學生是通過嘗試法或制表格來尋得下列答案的：

①（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）

②（0，12），（1，8），（2，4），（3，0）

③（0，12），（1，10），（2，8），（3，6），（4，4），（5，2），（6，0）

嘗試或制表格的策略是：第一種杯子的數目從零開始逐次上升，在上升過程中，每當第一種杯子數目被確定，就相應地求出第二種杯子的數目。

（3）當他買三種杯子時，就出現了一個三變量的丟番圖方程：x·8＋y·4＋z·2＝24

可以將x、y、z為零的情況除外，以免重復（1）與（2）。

同樣可通過嘗試或制表格來解決，策略是第一種杯子數目從1開始上升，當第一種杯子數目取定，第二種杯子數目也從1開始上升，這時第三種杯子的數目就能確定了。