高斯數(shù)值積分應用

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摘要：高斯數(shù)值積分方法應用于非圓弧拱壩多拱梁法程序有一定難度，本文針對不同的非圓弧拱特性提出不同積分變量區(qū)間的處理方法，將3節(jié)點高斯數(shù)值積分方法推廣應用在5種非圓弧拱(五心拱、拋物線拱、對數(shù)螺旋線拱、橢圓拱、雙曲線拱)的拱壩多拱梁法程序中，經(jīng)對比計算，精度較高.

關鍵詞：高斯數(shù)值積分方法；積分變量；積分區(qū)間；非圓弧拱；多拱梁法

1問題的提出

高斯數(shù)值積分方法是一種節(jié)點很少、精確度很高的方法，它的特點是節(jié)點不等距，計算精度很高，一般利用正交多項式的有關關系式來確定其節(jié)點位置和系數(shù).當節(jié)點為n時，其代數(shù)準確度可達2n-1次.如節(jié)點數(shù)為3,則求積公式對于任意5(=2×3-1)次多項式都是準確的，這樣的精度完全可應用于拱壩程序中的拱段及梁段的計算.筆者曾在圓弧拱多拱梁法程序中，廣泛采用3節(jié)點高斯數(shù)值積分，取得成功[1].但將這一方法推廣應用于非圓弧拱多拱梁法程序，卻有一定的難度.

由計算數(shù)學可知[2]，一般定積分式與高斯積分式的變換形式為：

式中:l=(b-a)/2，為積分限變換系數(shù)；n為高斯節(jié)點數(shù)；ξi為高斯積分節(jié)點坐標；gi為與ξi對應的高斯積分系數(shù).

如所周知，拱圈形、載常數(shù)計算公式為：

(1)

(2)

式中:S為弧長.

當采用高斯積分公式且為等截面圓拱時，上式相應改為：

(3)

(4)

式中:φ為與弧長S對應的中心角；r為中心半徑；E為壩體彈模；Ii,MLi為與高斯節(jié)點i對應的截面慣性矩及靜定力矩.從上式可見，由于等截面圓拱r為定值，存在簡單的dS=rdφ,S=rφ的關系，所以積分變量由S變?yōu)棣眨e分區(qū)間由弧段0～S變?yōu)橹行慕?～φ.在等截面圓拱計算中，許多參數(shù)(如坐標及靜定力系等)可直接由中心角用顯式求得.積分變量由S改為φ后，可大大簡化計算.

然而，對于非圓弧拱，問題要復雜得多.因為非圓弧拱的曲率半徑和曲率中心處處都在變化，往往不能用簡單的顯式來表示某一拱段中心角與弧長的關系.并且某些曲線計算弧長也很麻煩，甚至不易用顯式求得.如何采用適宜的積分變量和積分區(qū)間，是迫切需要解決的問題.

2不同曲線積分變量區(qū)間的選取

2.1基本資料5種非圓弧拱示意見圖1.幾種非圓弧拱曲線方程及有關公式見表1.

圖15種非圓弧拱平面示意

表1幾種非圓弧拱曲線公式

類型拋物線對數(shù)螺旋線橢圓雙曲線

曲線方程y=x2/2Rρ=ρ0eaψ

a=cosβ

曲率半徑r=(R2+x2)3/2/R2r=Reaψ

r=a2b2x

[(a-y)2/a4+x2/b4]3/2r=a2b2x

[(a+y)2/a4+x2/b4]3/2

弧長S=1/2{xA/cosψA+RLn[(sinψA+1)/cosψA]}S=R/a(eaψA-1)

dSReaψdψ

備注R為拱冠曲率半徑β為切線角,R為拱冠曲率半徑a為長軸之半,b為短軸之半a為實軸之半,b為虛軸之半

2.2弧的微分公式表1所列弧的微分(dS)算式，除了對數(shù)螺旋線稍簡單外，其余3種曲線的算式都比較復雜.若從曲線的一般性質來看，當曲線方程y=f(x)時，則弧的微分為：

式中:y′=tgφ，為函數(shù)y=f(x)在點x的導數(shù)，φ為過點(x,y)的切線與x軸的交角，不難看出，此角與該點的中心角相等.將y′=tgφ代入上式：

所以dS=dx/cosψ(5)

將式(1)作為拋物線、橢圓、雙曲線3種曲線弧的微分一般公式，比表1中所列dS算式要簡捷得多.式(1)也適用于其他一階導數(shù)存在的任何曲線.

2.3積分變量區(qū)間的選取根據(jù)各類曲線的性質，選取3種積分變量區(qū)間，分述于后.

(1)對于拋物線、橢圓、雙曲線3種曲線，采用式(1)所列弧的微分一般公式.此時積分變量為x，積分區(qū)間為與S相應的x變化區(qū)間.高斯積分時各項均應乘以1/cosφi,φi為與節(jié)點i對應的中心角.如A1算式改為:

(6)

(2)對于對數(shù)螺旋線，采用表1所列算式：dS=Reaφdφ.此時積分變量為φ，積分區(qū)間為與S相應的φ的變化區(qū)間，各高斯積分項i均應乘以Reaφi，如A1算式為：

(7)

上式除了高斯積分項乘以eaφi外，其余與圓弧拱相似.

圖2五心拱平面示意

(3)對于五心拱，其中弧段為圓弧，算法與等截面圓拱相同，當其邊弧段為變截面時，則中心拱弧線為非圓弧曲線，且不便用顯式表達.仔細考察該段曲線，發(fā)現(xiàn)它與以R3=(RM+RD)/2為半徑的圓弧很相近(RM,RD分別為邊弧外、內(nèi)半徑)，此圓弧中心O3在邊弧起始截面外弧中心O1與內(nèi)弧中心O2聯(lián)線中點處，如圖2所示.

邊弧段計算時，積分變量為φ，積分區(qū)間為與邊弧S相應的φ的變化區(qū)間φ3，如A1算式為：

(8)

上式形式上與圓弧拱一樣.

3算例

以上述3種積分變量區(qū)間的選取方式，計算各類曲線的半拱弧長，舉例于下.

設采用3節(jié)點高斯數(shù)值積分方法，節(jié)點坐標及高斯積分系數(shù)列于表2.如以中心角φ為積分變量，以Δφ為積分區(qū)間，則與節(jié)點i相對應的φi=Δφ(1+ξi)/2.又如以水平坐標x為積分變量，以Δx為積分區(qū)間，則與節(jié)點i相對應的xi=Δx(1+ξi)/2.

表2節(jié)點坐標及高斯積分系數(shù)

節(jié)點號i節(jié)點坐標ξi高斯積分系數(shù)gi

1-0.7745966910.555555582

200.888888896

30.745966910.555555582

3.1求拋物線、橢圓、雙曲線拱半拱弧長例1：設拋物線拱拱冠曲率半徑R=140m，拱端中心角φA=45.32°，拱端坐標xA=141.5726m，求半拱弧長S，可以采用兩種方法.一種是按表1所列S的公式直接計算，這是理論積分后的公式，是精確的.另一種是采用高斯數(shù)值積分方法，以x為積分變量，xA為積分區(qū)間.

(1)按理論公式

S=1/2{xA/cosψA+RLn[(sinψ\-A+1)/coxψA]}

算得S=162.921371m.

(2)按高斯數(shù)值積分方法，應有

算得gi/cosφi=2.301610646,S=(141.5726×2.301610646)/2=162.922485m.

該數(shù)值積分值與理論計算值162.921371m相比，僅相差0.001114m，相對誤差僅為6.8×10-6.

例2：設橢圓拱拱冠曲率半徑R=164.51m，拱端中心角φA=51°，坐標xA=141.5843m，長軸之半236.9m，短軸之半197.42m，求半拱弧長.例3：設雙曲線拱拱冠曲率半徑R=152.71m，拱端中心角φA=41°，坐標xA=141.58421m，實軸之半954.41m，虛軸之半381.77m，求半拱弧長.

上兩例因兩種曲線無理論積分公式直接用顯式計算弧長S，只能與表1中dS算式的高斯數(shù)值積分值相比.用dS算式直接數(shù)值積分時，積分變量、積分區(qū)間與前述方法一樣，仍為x及xA，但每一高斯積分項不用除以cosφi，而是乘以dx前的算式等，可見后一算法較繁.兩例成果S及比較見表3.

表3橢圓拱、雙曲線拱計算成果比較

類別例2橢圓拱例3雙曲線拱

原dS算式成果164.143661158.610046

dS=dx/cosψ成果164.143737158.610031

兩種算法差值/m0.0000760.000015

相對誤差4.63×10-79.457×10-8

由表3可見兩種算法成果非常接近.

3.2求對數(shù)螺旋線拱半拱弧長例4：設對數(shù)螺旋線拱拱冠曲率半徑R=154m，拱端中心角φA=46°，切線角β=52°，a=ctgβ=0.781285626,以中心角φ為積分變量，積分區(qū)間為拱端中心角φA，求半拱弧長S.

(1)按理論公式計算

S=R/a(eaψA-1)=171.9726625m

(2)按高斯數(shù)值積分計算

兩種算法成果差值為0.0000061m，相對誤差僅為3.547×10-8.

3.3用近似方法求五心拱邊例5：設五心拱半拱邊弧夾角10°，外半徑RM=290m，內(nèi)半徑RD=193.514m，邊弧起點拱厚6.466m，拱端厚度8.466m，求半拱邊弧長S.

(1)用較精確的計算公式S=φ3×(RA+2×R3)/3.式中3=(RM+RD)/2;φ3為以O3為近似中心的邊弧夾角，以弧度計；RA為邊弧拱端點與O3聯(lián)線的長度，見圖2.算得RA=241.56728m，φ3=0.206893551弧度，R3=241.757m，從而算出S=50.00488034m.

(2)用近似計算公式S＝φ3×R3=50.01796429m.

兩種算法所得的差值為0.013m，相對誤差為2.6×10-4.

由以上成果可知，以R3為半徑，以φ3為中心角所得的圓弧與邊弧的中心弧很近似，因此在高斯數(shù)值積分計算時，可以采用較簡單的積分變量φ及積分區(qū)間φ3.

4結語

綜上可知，高斯數(shù)值積分應用于非圓弧拱時，需針對非圓弧拱曲線的性質和特點，選取適宜的積分變量與相應的積分區(qū)間，這樣常可收到事半功倍之效.如對于拋物線拱、橢圓拱、雙曲線拱，采用dS=dx/cosφ的通式，既避免了各種曲線的繁復計算，也便于程序規(guī)格化.對于對數(shù)螺旋線拱，則利用對數(shù)函數(shù)微分、積分都簡單以及極坐標方程弧的微分的特點，積分變量選取φ而不選取x，既大大簡化了計算，也很容易利用圓弧拱的算法稍加變換.對于五心拱，在控制誤差足夠小的前提下，邊弧線采用近似圓弧，大大簡化了計算.

將3節(jié)點高斯數(shù)值積分方法推廣應用于各種非圓弧拱壩多拱梁法程序，對于提高拱壩程序的計算速度和精度，有很大價值；對于將來推廣應用高斯數(shù)值積分于各類復雜結構的分析、計算，也有一定的啟發(fā)和借鑒作用.

參考文獻

[1]黎展眉.高斯數(shù)值積分方法在多拱梁法程序中的應用[J].砌石壩技術，1986(2).

[2]北京大學，等.計算方法[M].北京：人民教育出版社，1962.