二面角平面角定位

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空間圖形的位置關系是立體幾何的重要內容，解決立體幾何問題的關鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎，而宣則是定位、定性的深化，在面面關系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學中發現，學生往往把握不住其定位的基本思路而導致思維混亂，甚至錯誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點，來談一談平日教學中體會。

一、重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發的兩個平面,O是ι上任意一點,OC

α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取上一點A，作AB⊥OD垂足為B,那么

由特征Ⅱ可知AB⊥β.突出ι、OC、OD、AB，這便是另一特征；

Ⅲ、體現出一完整的垂線定理（或逆定理）的環境背景。

對以上特征進行剖析

由于二面角的平面角是由一點和兩條射線構成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點”或“定線（面）”的問題。

特征Ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點”，耐人尋味的是這一點可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題背景相互溝通，給計算提供方便。

例1已知正三棱錐V—ABC側棱長為a，高為b，求側面與底面所成的角的大小。

由于正三棱錐的頂點V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結CH交AB于O，且OC⊥AB，則∠VOC為側面與底面所成二面角的平面角如圖（2）。正因為正三棱錐的特性，解決此問題，可以取AB的中點O為其平面角的頂點，而且使背景突出在面VOC上，給進一步定量創造得天獨厚的條件。

特征Ⅱ指出，如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ與

α、β的交線，而交線所成的角就是α—ι—β的平面角，如圖。

由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”。

例2矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線BD把△ABD折起，

使點A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。

這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題，解決問題的關鍵在

于搞清折疊前后“變”與“不變”。結果在平面圖形中過A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA、OE與BD的垂直關系不變。但OA與OE此時變成相交兩線段并確定一平面，此平面必與棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設射影落在BC上,所以E點就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了優質服務。事實上，AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5，OA′=OE=BO·tgc∠CBD，而BO=AB2/BD=9/5,tg∠CBD，故OA′=27/20。在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，ty∠AOA′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。

通過對例2的定性分析、定位作圖和定量計算，特征Ⅱ從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構成二面角的兩個半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當的垂線段，即可確定其平面角。“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量。

特征Ⅲ顯示，如果二面角α—ι—β的兩個半平面之一，存在垂線段AB，那么過垂足B作ι的垂線交ι于O，連結AO，由三垂線定理可知OA⊥ι；或者由A作ι的垂線交ι于O，連結OB，由三垂線定理逆定理可知OB⊥ι，此時，∠AOB就是二面角α—ι—β的平面角，如圖。

由此可見，地面角的平面角的定位可以找“垂線段”。

例3在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為2，E為BC的中點。求面B1D1E與面積BB1C1C所成的二面角的大小。

例3的環境背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構成兩個二面角，

由特征Ⅱ可知，這兩個二面角的大小必定互補，下面，如

果思維由特征Ⅲ監控,背景中的線段C1D1會使眼睛一亮,我們只須由C1(或D1)作B1E的垂線交B1E于O,然后連結OD1(或OC1),即得面D1BE與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，如圖，計算可得C1O=4*51/2/5。

在Rt△D1C1O中，tg∠C1OD=D1C1/C1O=51/2/2。

故所求的二面角角為arctg51/2/2或π-arctg=51/2/2

三、三個特征的關系

以上三個特征提供的思路在解決具體總是時各具特色，其標的是

分別找“點”、“垂面”、“垂線段”。事實上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而來。掌握這種關系對提高解題技能和培養空間想象力非常重要。

1、融合三個特征對思維的監控，可有效地克服、抑制思維的

消極作用，培養思維的廣闊性和批判性。

例3將棱長為a的正四面體的一個面與棱長為a的正四棱錐的

一個側面吻合，則吻合后的幾何呈現幾個面？

這是一道競賽題，考生答“7個面”的占99.9%，少數應服從多數嗎？

如圖，過兩個幾何體的高線VP、VQ的垂足P、Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點，OP延長過A，OQ延長交ED于R。由特征Ⅲ，∠AOR為二面角A—BC—R平面角，結合特征Ⅰ、Ⅱ，可得VAOR為平行四邊形，VA//BE，所以V、A、B、E共面，同理V、A、C、D共面，所以這道題的答案應該是5個面！

2、三個特征，雖然客觀存在，互相聯系，但在許多同題中卻

表現得含糊而冷漠——三個“標的”均藏而不露，在這種形勢下，逼你去作，那么作誰？

由特征Ⅲ，有了“垂線段”便可定位。

例4已知Rt△ABC的兩直角邊AC=2，BC=3，P為斜邊上一

點，沿CP將此直角三角形折成直二面角A—CP—B，當AB=71/2時，求二面角P—AC—B的大小。

作法一：∵A—CP—B為直角二面角，

∴過B作BD⊥CP交CP的延長線于D，則BD⊥DMAPC。

∴過D作DE⊥AC，垂足為E，連BE。

∴∠DEB為二面角A—CP—B的平面角。

作法二：過P點作PD′⊥PC交BC于D′，則PD′⊥面APC。

∴過D′作D′E′⊥AC，垂足為E′，邊PE′，

∴∠D′E′P為二面角P—AC—B的平面角。

再說，定位是為了定理，求角的大小往往要化歸到一個三角形中去解，有了“垂線段”就可把它化歸為解一個直角三角形。

由此可見，要作，最好考慮作“垂線段”。

綜上所述，二面角其平面角的正確而合理的定位，要在正確其定義的基礎上，掌握其三個基本特征，并靈活運用它們考察問題的環境背景，建立良好的主觀心理空間和客觀心理空間，以不變應萬變。