學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

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三從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，就是要通過對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的考察，引申出數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)的內(nèi)容和策略。關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，比較新穎的觀點(diǎn)是：“在原有行為結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，或是將環(huán)境對象納入其間（同化），或是因環(huán)境作用而引起原有結(jié)構(gòu)的改變（順應(yīng)），于是形成新的行為結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)，如此不斷往復(fù)，直到達(dá)成相對的適應(yīng)性平衡”。通過對這一認(rèn)識的分析和理解，就數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)而言，可概括出以下3點(diǎn)：

1．行為結(jié)構(gòu)既是學(xué)習(xí)新知的目的和結(jié)果，又是學(xué)習(xí)新知的基礎(chǔ)，因而在數(shù)學(xué)教學(xué)中亦需注重外部行為結(jié)構(gòu)形成的指導(dǎo)。由于這種外部行為主要包括外部實(shí)物操作和外部符號（主要是語言）活動，所以在數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)中，一要重視學(xué)具的操作（可要求學(xué)生盡可能多地制作學(xué)具，操作學(xué)具）；二要重視學(xué)生的言語表達(dá)（給學(xué)生盡可能多地提供言語交流的機(jī)會，可以是教師與學(xué)生間的交流，也可以是學(xué)生與學(xué)生之間的交流）。

2．認(rèn)知結(jié)構(gòu)同樣既是學(xué)習(xí)新知的目的和結(jié)果，也是學(xué)習(xí)新知的基礎(chǔ)，故而數(shù)學(xué)教學(xué)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成的指導(dǎo)。所謂數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是指學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu)按自己的理解深度、廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維等認(rèn)知特點(diǎn)，組合成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。因此，對于學(xué)生形成數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的指導(dǎo)，關(guān)鍵在于不斷地提高所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)化程度。在數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)中，須注意如下幾點(diǎn)：①加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識間聯(lián)系的教學(xué)。無論是新知識的引入和理解，還是鞏固和應(yīng)用，尤其是知識的復(fù)習(xí)和整理，都要從知識間的聯(lián)系出發(fā)。②重視數(shù)學(xué)思想的挖掘和滲透。由于數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識，因而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)建立的基礎(chǔ)。常見的數(shù)學(xué)思想有：符號思想、對應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、歸納思想、公理化思想、模型化思想等等。③注重?cái)?shù)學(xué)方法的明晰教學(xué)。數(shù)學(xué)方法作為解決問題的手段，是建立數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的橋梁。常見的數(shù)學(xué)方法有：化歸法、構(gòu)造法、參數(shù)法、變換法、換元法、配方法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等。

3．在原有行為結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，無論是通過同化，還是通過順應(yīng)來獲得新知，必須是在一種學(xué)習(xí)機(jī)制的作用下方能實(shí)現(xiàn)。而這種學(xué)習(xí)機(jī)制主要就是對學(xué)習(xí)新知過程的監(jiān)控和調(diào)節(jié)，即所謂的元學(xué)習(xí)。實(shí)質(zhì)上，能否會學(xué)，關(guān)鍵就在于這種學(xué)習(xí)是否建立起來。于是，元學(xué)習(xí)的指導(dǎo)又成為數(shù)學(xué)方法指導(dǎo)的重要內(nèi)容。為此，在數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)中，需要注意：①要傳授程序性知識和情境性知識。程序性知識即是對數(shù)學(xué)活動方式的概括，如遇到一個(gè)數(shù)學(xué)證明題該先干什么，后干什么，再干什么，就是所謂的程序性知識。情境性知識即是對具體數(shù)學(xué)理論或技能的應(yīng)用背景和條件的概括，如掌握換元法的具體步驟，獲得換元技能，懂得在什么條件下應(yīng)用換元法更有效，就是一種情境性知識。②盡可能讓學(xué)生了解影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)認(rèn)知）的各種因素。比如，學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式是文字的、字母的，還是圖形的；學(xué)習(xí)任務(wù)是計(jì)算、證明，還是解決問題，等等。這些學(xué)習(xí)材料和學(xué)習(xí)任務(wù)方面的因素，都對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。③要充分揭示數(shù)學(xué)思維的過程。比如，揭示知識的形成過程、思路的產(chǎn)生過程、嘗試探索過程和偏差糾正過程。④幫助學(xué)生進(jìn)行自我診斷，明確其自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特征。比如：有的學(xué)生擅長代數(shù)，而認(rèn)知幾何較差；有的學(xué)生記憶力較強(qiáng)而理解力較弱；還有的學(xué)生口頭表達(dá)不如書面表達(dá)等。⑤指導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)活動進(jìn)行評價(jià)。如評價(jià)問題理解的正確性、學(xué)習(xí)計(jì)劃的可行性、解題程序的簡捷性、解題方法的有效性等諸多方面。⑥幫助學(xué)生形成自我監(jiān)控的意識。如監(jiān)控認(rèn)知方向意識、認(rèn)知過程意識和調(diào)節(jié)認(rèn)知策略意識等等。

四根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的性質(zhì)，數(shù)學(xué)教學(xué)一般可分為概念教學(xué)、命題（主要有定理、公式、法則、性質(zhì)）教學(xué)、例題教學(xué)、習(xí)題教學(xué)、總結(jié)與復(fù)習(xí)等5類。相應(yīng)地，數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)的實(shí)施亦需分別落實(shí)到這5類教學(xué)之中。這里僅就例題教學(xué)中如何實(shí)施數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)談?wù)勛约旱恼J(rèn)識。

1．根據(jù)學(xué)生的學(xué)情安排例題。如前所述，學(xué)習(xí)新知必須建立在已有的基礎(chǔ)之上，從內(nèi)容上講，這個(gè)基礎(chǔ)既包括知識基礎(chǔ)，又包括認(rèn)知水平和認(rèn)知能力，還包括學(xué)習(xí)興趣、認(rèn)知意識，乃至學(xué)習(xí)態(tài)度等有關(guān)學(xué)習(xí)動力系統(tǒng)方面的準(zhǔn)備。因此，無論是選配例題，還是安排例題，都要考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，尤其是要考慮激發(fā)學(xué)生認(rèn)知興趣和認(rèn)知需求的原則（稱之為動機(jī)原則）。在例題選配和安排中，可采取增、刪、調(diào)的策略，力求既突出重點(diǎn)，又符合學(xué)生的學(xué)情。所謂增，即根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知缺陷增補(bǔ)鋪墊性例題，或者為突破某個(gè)難點(diǎn)增加過渡性例題。所謂刪，即根據(jù)學(xué)生情況，刪去比較簡單的例題或要求過高的難題。所謂調(diào)，即根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平，將后面的例題調(diào)至前面先教，或者將前面的例題調(diào)到后面后教。

2．根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)和任務(wù)精選例題。例題的作用是多方面的，最基本的莫過于理解知識，應(yīng)用知識，鞏固知識；莫過于訓(xùn)練數(shù)學(xué)技能，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)觀念。為發(fā)揮例題的這些基本作用，就要根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)和任務(wù)選配例題。具體的策略是：增、刪、并。這里的增，即為突出某個(gè)知識點(diǎn)、某項(xiàng)數(shù)學(xué)技能、某種數(shù)學(xué)能力等重點(diǎn)內(nèi)容而增補(bǔ)強(qiáng)化性例題，或者根據(jù)聯(lián)系社會發(fā)展的需要，增加補(bǔ)充性例題。這里的刪，即指刪去那些作用不大或者過時(shí)的例題。所謂并，即為突出某項(xiàng)內(nèi)容把單元內(nèi)前后的幾個(gè)例題合并為一個(gè)例題，或者為突出知識間的聯(lián)系打破單元界限而把不同內(nèi)容的例題綜合在一起。

3．根據(jù)解題的心理過程設(shè)計(jì)例題教學(xué)程序。按照波利亞的解題理論，一般把解題過程分為弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧等4個(gè)階段。這是針對解題過程本身而言的。但就解題教學(xué)來說，還應(yīng)當(dāng)增加一個(gè)步驟，也是首要環(huán)節(jié)，即要使學(xué)生“進(jìn)入問題情境”，讓學(xué)生產(chǎn)生一種認(rèn)知的需要。對于“進(jìn)入問題情境”環(huán)節(jié)，要求教師用簡短的語言，在承上啟下中，提出學(xué)習(xí)目標(biāo)，明確學(xué)習(xí)任務(wù)，激起認(rèn)知沖突。而對其余4個(gè)環(huán)節(jié)，教師的行為可按波利亞的“怎樣解題表”中的要求去構(gòu)思。一般教師和學(xué)生都能夠注意做到做好前3個(gè)環(huán)節(jié)，卻容易忽視“回顧”環(huán)節(jié)。嚴(yán)格說來，回顧環(huán)節(jié)對解題能力的提高，對例題教學(xué)目的的實(shí)現(xiàn)起著不可替代的作用。對回顧環(huán)節(jié)來講，除波利亞提出的幾條以外，更為主要的是對解題方法的概括和反思，并使其能遷移到其它問題的解決之中。

4．根據(jù)數(shù)學(xué)方法指導(dǎo)的目的和內(nèi)容適度調(diào)整例題。通常，人們根據(jù)問題的條件（A）、解決的過程（B）及問題的結(jié)論（C）的情況把數(shù)學(xué)題劃分為標(biāo)準(zhǔn)題和非標(biāo)準(zhǔn)題兩大類：如果條件和結(jié)論都明確，學(xué)生也熟知解題過程（即A、B、C三要素全已知），這種題為標(biāo)準(zhǔn)題（記為ABC）；A、B、C三要素中缺少一個(gè)或兩個(gè)要素的題則為非標(biāo)準(zhǔn)題。如果分別用X、Y、Z表示對應(yīng)于A、B、C的未知成分，則非標(biāo)準(zhǔn)題的題型（計(jì)6種）可表示為：ABZ，AYC，XBC，AYZ，XBZ，XYC。數(shù)學(xué)教材中的例題大多數(shù)是ABC型和ABZ型，有部分的AYC型和極少數(shù)的AYZ型。由于數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)的一項(xiàng)重要任務(wù)是教學(xué)生會抽象、概括、歸納、演繹，會數(shù)學(xué)地思考和交流，會分析問題和解決問題，因而例題教學(xué)要特別注重教材中缺少的幾種類型題的教學(xué)。其中最為重要的是“開放性題”（ABZ型和AYZ型例題中，Z不唯一）和“數(shù)學(xué)問題解決”中所指出的“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”（AYC型及AYZ型中所涉及的主題是數(shù)學(xué)以外的內(nèi)容）。對于“開放性題”，由于它的結(jié)論不唯一，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有著至關(guān)重要的作用。對于“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”，則由于它的解決要用數(shù)學(xué)模型法，因而對培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用分析問題和解決問題的方法是十分重要的。從數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)的角度來說，適度調(diào)整例題很有必要。調(diào)整的策略有二：一是改，即將已有的題型變換為別的題型；二是增，即增加與知識點(diǎn)有關(guān)的“開放性題”和“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”。

5．注重對例題的全方位反思。例題的作用是多方面的，除上文提到的幾點(diǎn)外，例題教學(xué)還具有傳授新知識，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

參考文獻(xiàn)：

1、曲培富《數(shù)學(xué)教學(xué)中“教為主導(dǎo)、學(xué)為主體”的認(rèn)識與實(shí)踐》（《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》1993年第1期）

2、肖柏榮《數(shù)學(xué)教育設(shè)計(jì)的藝術(shù)》（《數(shù)學(xué)通報(bào)》1996年10月）

3、馮克誠《中學(xué)數(shù)學(xué)研究：3+x中學(xué)成功學(xué)法體系》（內(nèi)蒙古出版社，2000年9月）

4、皮連生《學(xué)與教的心理學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社1997年）