非參數(shù)統(tǒng)計(jì)量下多元控制圖探究

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摘要:多元控制圖是現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中常用的質(zhì)量控制方法。傳統(tǒng)控制圖需要假定數(shù)據(jù)的分布情況，常為多元正態(tài)分布，但在實(shí)際生產(chǎn)過程中過程數(shù)據(jù)的分布情況難以作出簡單假定。針對這一情況，需要采用非參數(shù)(Nonparametric)控制圖，即不依賴數(shù)據(jù)分布就可以對分布的參數(shù)作出判斷。提出結(jié)合Wilcoxon秩和檢驗(yàn)和Ansari-Bradley檢驗(yàn)的非參數(shù)控制圖(WAB控制圖)，同時(shí)監(jiān)控分布的位置和尺度參數(shù)，放大監(jiān)控效果。通過蒙特卡洛(MonteCarlo)模擬法分析了WAB控制圖在過程失控時(shí)的性能表現(xiàn)，并與T2控制圖進(jìn)行比較。結(jié)果表明WAB控制圖具有良好的穩(wěn)定性和靈敏性。

關(guān)鍵詞:多元控制圖;非參數(shù)檢驗(yàn);HotellingT2控制圖;非參數(shù)方法

0引言

統(tǒng)計(jì)過程控制(StatisticalProcessControl，SPC)作為經(jīng)典質(zhì)量控制方法，可以有效地提升產(chǎn)品質(zhì)量，保障生產(chǎn)過程。但其針對于單變量的局限性，對現(xiàn)代復(fù)雜工藝生產(chǎn)過程的應(yīng)用效果不佳，生產(chǎn)過程中，常常存在多個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的質(zhì)量特性和過程參數(shù)，例如零件加工的長度和直徑、化工過程的溫度、壓力等。只對單個(gè)變量監(jiān)控而不考慮變量之間的相關(guān)性會導(dǎo)致誤報(bào)警率顯著增加，因此需要用多元控制圖進(jìn)行過程監(jiān)控。Hotel-ling在1947年首先提出了基于T2統(tǒng)計(jì)量的多元控制圖，用于對包含多個(gè)質(zhì)量特性的生產(chǎn)過程實(shí)施統(tǒng)計(jì)監(jiān)控，由此有了多變量統(tǒng)計(jì)控制過程(MultivariateStatisti-calProcessControl，MSPC)的研究。相繼有了多元累積和(MultivariateCumulativeSum，MCUSUM)控制圖以及多元指數(shù)加權(quán)移動平均(MultivariateExponentiallyWeightedMovingAverage，MEWMA)控制圖等。傳統(tǒng)的控制圖可以稱為參數(shù)控制圖，即需要對總體分布有簡單假定，例如正態(tài)分布。但實(shí)際所采集到的信息，可能無法對總體分布作出簡單的假設(shè)，例如單邊尺寸線跳動，呈現(xiàn)為指數(shù)分布或者Weibull分布［1］。當(dāng)實(shí)際分布與假定分布有較大偏差時(shí)，基于分布的參數(shù)監(jiān)控會受到很大影響，監(jiān)控效果大大下降。針對上述缺陷的解決方法有數(shù)據(jù)變換方法和使用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)量兩種思路，即將過程數(shù)據(jù)通過映射函數(shù)轉(zhuǎn)換成符合正態(tài)分布的形式，或使用不依賴于分布的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行監(jiān)控。用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)量構(gòu)建的控制圖稱為非參數(shù)控制圖。在過去幾年里，非參數(shù)控制圖已經(jīng)引起了很多關(guān)注，文獻(xiàn)［2］針對再制造過程的復(fù)雜特性，提出基于Wilcoxon統(tǒng)計(jì)量的EWMA控制圖;文獻(xiàn)［3-4］提出次序秩的非參數(shù)EWMA聯(lián)合控制圖和基于馬爾可夫均值估計(jì)量的自適應(yīng)CUSUM控制圖;文獻(xiàn)［5］采用基于在Logistic分布下尺度參數(shù)的漸近局部最優(yōu)勢檢驗(yàn)作為統(tǒng)計(jì)量，構(gòu)建了LOG控制圖;文獻(xiàn)［6］考慮同時(shí)對分布均值和標(biāo)準(zhǔn)差的監(jiān)控，提出結(jié)合Wilcoxon秩和檢驗(yàn)和Ansari-Bradley檢驗(yàn)的非參數(shù)控制圖;文獻(xiàn)［7］使用最小二乘支持向量機(jī)(LeastSquaresSupportVectorMa-chine，LSSVM)所得到的概率值作為統(tǒng)計(jì)量，提出基于LSSVM的多元非參數(shù)控制圖;文獻(xiàn)［8］結(jié)合漢密爾頓路徑和游程檢驗(yàn)，提出了基于游程檢驗(yàn)的多元非參數(shù)控制圖;文獻(xiàn)［9］結(jié)合多元符號檢驗(yàn)，提出了非參數(shù)EWMA控制圖;文獻(xiàn)［10］將多元擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與最小生成樹結(jié)合，設(shè)計(jì)了SMMST控制圖。本文提出了一種結(jié)合Wilcoxon秩和檢驗(yàn)和Ansa-ri-Bradley檢驗(yàn)的非參數(shù)控制圖，使用協(xié)方差矩陣構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量，實(shí)現(xiàn)對多變量過程的監(jiān)控。

1多元非參數(shù)控制圖

常用的參數(shù)檢驗(yàn)需要對總體分布有一定的估計(jì)，在對分布有假設(shè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行檢驗(yàn)分析。但在實(shí)際數(shù)據(jù)分析過程中，可能無法對總體分布作簡單假定，非參數(shù)檢驗(yàn)是不涉及總體分布的參數(shù)的檢驗(yàn)方法，常用秩和作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。通過檢驗(yàn)可以判斷兩分布的參數(shù)是否相同，用于描述分布的參數(shù)有位置參數(shù)、尺度參數(shù)、形狀參數(shù)等。位置參數(shù)是描述分布集中趨勢的度量，例如均值和中位數(shù)。常用的對位置參數(shù)的非參數(shù)檢驗(yàn)有Wilc-oxon秩和檢驗(yàn)、游程檢驗(yàn)等。尺度參數(shù)是描述分布分散程度的參數(shù)。常用的對尺度參數(shù)的非參數(shù)檢驗(yàn)有Ansari-Bradley檢驗(yàn)、Levene檢驗(yàn)等。

1．1Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

假設(shè)有樣本集X:X=［X1，X2，…，Xi，…，Xn］將X排序后得到Xr:Xr=［X(1)，X(2)，…，X(k)，…，X(n)］其中，下標(biāo)(k)表示Xi在X中的次序秩，即Ri=k，Ri為樣本X的秩統(tǒng)計(jì)量。Wilcoxon秩和檢驗(yàn)是基于秩統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)方法，其構(gòu)建過程如下:假設(shè)有樣本集X和Y:X=［X1，X2，…，Xm］Y=［Ym+1，Ym+2，…，Ym+n{］(1)其中，X服從分布F1(μ1，σ1)，Y服從分布F2(μ2，σ2)。原假設(shè)為H0:μ1=μ2，備擇假設(shè)為H1:μ1≠μ2，定義Wilcoxon秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量［2］為:Z=∑Ni=m+1Ri(2)其中，N=m+n。統(tǒng)計(jì)量Z的均值和方差［2］為:E(Z)=m(N+1)2Var(Z)=mn(N+1)12

1．2Ansari-Bradley檢驗(yàn)

假設(shè)有樣本集X和Y，如式(1)所示。原假設(shè)為H0:σ1=σ2，備擇假設(shè)為H1:σ1≠σ2，定義Ansari-Bradley檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量［6］為:T=nN+12－∑Ni=m+1Ri－N+12(3)其中，N=m+n。統(tǒng)計(jì)量T的均值和方差［6］為:E(T)=m(N+2)4，N為偶數(shù)m(N+1)24N，N{為奇數(shù)Var(T)=mn(N2－4)48(N－1)，N為偶數(shù)mn(N+1)(N2+3)48N2，N{為奇數(shù)

1．3設(shè)計(jì)WAB控制圖

假設(shè)有受控?cái)?shù)據(jù)樣本集X0和質(zhì)量樣本XX0=［X1，X2，…，Xm］TX=［Xm+1，Xm+2，…，Xm+n］{T(4)其中，X0～F1(μ1，σ1)，X～F2(μ2，σ2)，Xi是d維向量。對質(zhì)量樣本X增加擾動δ，觀察統(tǒng)計(jì)量Z和T的變化情況。取d=2，δ～N(0，1)，混合樣本集的統(tǒng)計(jì)量Z和統(tǒng)計(jì)量T的變化情況如圖1、圖2所示。觀察圖1、圖2可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)X存在擾動時(shí)，統(tǒng)計(jì)量Z和統(tǒng)計(jì)量T的值都有或大或小的漂移。使用樣本協(xié)方差矩陣將統(tǒng)計(jì)量Z和統(tǒng)計(jì)量T結(jié)合，使d維向量轉(zhuǎn)換為單個(gè)值［11］，將其作為統(tǒng)計(jì)量構(gòu)建多元非參數(shù)控制圖，即定義統(tǒng)計(jì)量P為:P=(Z－E(Z)Var(Z槡))S(T－E(T)Var(T槡))T(5)其中，Z是Wilcoxon秩和統(tǒng)計(jì)量向量，S是協(xié)方差矩陣，T是Ansari-Bradley統(tǒng)計(jì)量向量。使用統(tǒng)計(jì)量P構(gòu)建非參數(shù)控制圖，記為WAB控制圖。WAB控制圖同時(shí)使用了標(biāo)準(zhǔn)化后的Z統(tǒng)計(jì)量和T統(tǒng)計(jì)量，放大了漂移，實(shí)現(xiàn)對過程的監(jiān)控。設(shè)置控制限h，當(dāng)P＞h時(shí)，說明質(zhì)量樣本的分布發(fā)生改變，即生產(chǎn)過程失控，發(fā)出報(bào)警。控制限h的詳情將在下面部分給出。

1．4控制限判定

評價(jià)控制圖的指標(biāo)常用平均運(yùn)行長度(AverageRunLength，ARL)，ARL分為受控ARL(ARL0)和失控ARL(ARL1)［12］。ARL0指受控狀態(tài)下控制圖第一個(gè)虛報(bào)樣本之前的平均樣本數(shù);ARL1指失控狀態(tài)下控制圖發(fā)現(xiàn)第一個(gè)失控樣本之前的平均樣本數(shù)。本文用蒙特卡羅模擬方法［13］獲取控制限h的值，在確定h值時(shí)，一般設(shè)ARL0=200，計(jì)算步驟為:(1)選取1組受控?cái)?shù)據(jù)樣本集X0。(2)給定控制限h的初始值。(3)生成1000組與X0同分布的樣本集X。(4)計(jì)算運(yùn)行鏈長RL(從第一個(gè)移動窗口到控制圖首次報(bào)警的移動窗口個(gè)數(shù))(5)重復(fù)過程(3)～(5)K次。(6)計(jì)算K個(gè)RL值的均值。(7)如果ARL0接近設(shè)定值，則h即為選定的控制限。反之則增大或減小h值并重復(fù)上述過程。

2性能分析

使用本文提出的WAB控制圖與T2控制圖進(jìn)行過程失控狀態(tài)下的性能比較，性能指標(biāo)使用ARL1。樣本數(shù)據(jù)為:X=x11x12xn1xn2，n=1000(6)其中，x·1服從正態(tài)分布，x·2服從Weibull分布。模擬真實(shí)生產(chǎn)過程先受控后失控的情況，在Xi，i＞500處開始加入擾動δ，δ～N(0，1)。依據(jù)上文的方法確定控制限h=0．824，選取(m，n)組合為(50，10)。對不同程度的漂移的ARL1如表1所示。控制圖的虛報(bào)情況如表2所示。從表1可以看出，WAB控制圖有比T2控制圖更高的敏感度，能更快的發(fā)現(xiàn)失控情況。在小漂移的情況有明顯有優(yōu)勢，隨著漂移量的增大，逐漸與T2控制圖性能持平。

3應(yīng)用實(shí)例

以某工廠汽車發(fā)動機(jī)缸蓋生產(chǎn)線為例，對提出的WAB控制圖進(jìn)行應(yīng)用和驗(yàn)證。選取6個(gè)質(zhì)量參數(shù)進(jìn)行監(jiān)控，采取共100組樣本。其樣本數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)特征，如表3所示。部分質(zhì)量參數(shù)的直方圖如圖3所示，可以看到存在明顯不符合正態(tài)分布的參數(shù)。根據(jù)前文論述的方法，采用WAB控制圖對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)控，結(jié)果如圖4所示，在第60個(gè)樣本處統(tǒng)計(jì)量超出控制限，觸發(fā)報(bào)警，而樣本實(shí)際在57處存在失控。由此可以表明WAB控制圖的有效性。

4結(jié)論

為解決現(xiàn)有圖像處理算法在PCB工業(yè)應(yīng)用存在的實(shí)施過于復(fù)雜、缺陷檢測單一、訓(xùn)練樣本大、檢測精度低和時(shí)間長成本高等問題。提出一種基于彩色圖像快速模板匹配的PCB多缺陷集中檢測方法，該方法基于計(jì)算源對目標(biāo)集合中的點(diǎn)對進(jìn)行最佳伙伴的配對，根據(jù)模板點(diǎn)的最佳伙伴對尋找模板補(bǔ)丁，實(shí)現(xiàn)了同時(shí)一次性完成PCB各類缺陷的檢測。試驗(yàn)表明，該方法可以快速準(zhǔn)確的完成PCB缺陷板的識別，比目前流行的深度學(xué)習(xí)方法等，操作方便、耗時(shí)短、精度高等優(yōu)勢，在PCB工業(yè)生產(chǎn)中取得了成功應(yīng)用，更適用于目前企業(yè)的需求。

作者:郭佳晟 劉以建 單位:上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院