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小學生形成與掌握數學概念的心理過程大體可分為四個階段,一是對形成概念有關的材料進行感知并形成表象;二是分出概念的本質特征;三是用語言表達和固定概念的本質特征;四是把概念具體化。下面就以上各個階段的教學,簡要闡述如下。
一、感知與形成概念有關的材料,建立表象階段
在數學概念的教學活動中,首先要通過學生的視、聽、觸等感覺器官,對事物的個別屬性以及他們的聯系,在頭腦中反映出來。在感知的基礎上,建立起某一事物的感性形象(表象),這是學生形成數學概念的基礎。如果沒有這些感性認識作基礎,學生所記憶的概念條文將是僵死的。因此,進行數學概念教學時,采用教具演示,讓學生動手操作,引導學生觀察,使其占有一定數量的感性材料,是不可忽視的一環。例如,教學長方形概念時,通過讓學生觀察黑板面、課桌面、書本面、……從而了解他們的形狀都是方的;通過數它們邊的條數和角的個數,得知都有四條邊和四個角;通過動手量他們對邊的長度,得知對邊相等;通過三角板的直角與它們的角相比,得知四個角都是直角。借助實物,通過這些觀察和操作,學生對長方形進行了感知,形成了它的表象,這樣就為建立它的概念奠定了基礎。數學概念形成的初期,除了給學生提供直觀材料讓他們進行感知外,已有的知識和經驗也起著重要的作用。所以,還要把已有的知識和經驗作為材料,去形成新的概念。例如,質數與合數的概念就是依賴于因數的概念而建立的。教學時,首先要讓學生再現因數的概念,然后再比較因數個數的情況,從而建立起質數與合數的概念。所以,在數學概念教學時,應當適時而恰當地利用學生已獲得的知識和經驗。
二、分出概念的本質特征階段
學生對形成數學概念有關的材料進行了感知并形成表象后,接下來的心理活動就是思維。即通過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維活動,分出概念的本質特征。這個過程是由外部活動向內部活動轉化的過程,即“內化”過程。因為小學生的內部語言還不夠發達,思維的目的性、方向性、確定性水平還比較低,思維的自覺程度也比較差,所以在這個過程中需要教師很好地教育和引導。這個階段的教學,常常采用以下方法。
1.在直觀過程中,引導學生概括本質特征。例如,教學圓周率的概念時,教師和學生分別用幾個大小不同的圓滾動一周,并通過量、算,求得每個圓的周長分別是它的直徑的三倍多一些,接著,就應當及時地引導學生進行抽象概括,得出“任何圓的周長都是直徑的三倍多一些”,從而初步建立圓周率的概念。
2.通過分析、綜合,弄清概念的內涵,突出其本質特征,分化其非本質特征。例如,教學循環小數時,通過分析73÷3=24.33……和9.4÷11=0.85454……小數部分數字的特點,并把二者進行綜合,突出循環小數的本質特征。同時,還要分化出它的非本質特征。
3.通過比較,突出概念本質特征,弄清概念的異同。例如,對奇數和質數進行比較,奇數和質數指的分別都是一個自然數,但奇數指的是不能被2整除的自然數,質數是只有兩個因數的自然數,因而1是奇數而不是質數,2是質數而不是奇數,3既是奇數又是質數。
4.通過變式,從不同的方面解釋概念的本質特征。例如,在加法應用題中出現“剩下”、在乘法應用題中出現“平均”等詞,以防止學生把某些詞與某種運算建立起固定的聯系。
5.從反面揭示概念,加深對其本質特征的認識。例如,講12時,把一個物體分成懸殊特別大的兩部分,讓學生明確認識每一份不能用12表示,從反面加深對分數概念中“平均分”這一本質特征的認識。
6.通過分類,弄清概念的外延。例如,把三角形按邊分為等腰(含等邊)、不等邊三角形,按角分為銳角、直角、鈍角三角形,從而使學生明白三角形所反映的對象,即三角形的外延。
三、用語言表達和固定概念的本質特征階段
概念總是與詞語聯系著,并用詞語(或符號)表述出來。根據形成數學概念的材料,經過思維得出它的本質特征以后,還要用語言表達和固定它的本質特征,即給概念做解釋或下定義。由于小學生在概括概念的本質特征時,自覺性、邏輯性、系統性都比較差,同時也不能很好地用準確的詞語進行表達,所以,教學中常采用在教師引導和幫助下,先讓學生試著下定義,教師再給以糾正或肯定并進行準確表述,然后再讓學生記憶的方法。這個階段的教學,應注意以下幾點。
1.給數學概念下定義,要注意詞語完整、準確,其內涵應包括它的每一個本質特征。例如,乘法的概念如果定義為“求幾個加數和的運算”、“求幾個加數和的簡便運算”、“求幾個相同加數和的運算”則都是因語言不準確、不完整而造成錯誤。如把乘法的概念定義為“求幾個相同加數的和”,則因遺漏了它的另一個本質特征(簡便運算)而造成錯誤。
2.給數學概念下定義,要注意時機恰當。一般來說,當學生形成了表象,對本質特征有了認識時,給數學概念下定義最為適宜。如果下定義過早,學生對概念就不易理解,容易造成死記硬背;如果時機成熟還不下定義,將影響學生認識的升華,也影響知識的應用和解決問題能力的培養。
3.給數學概念下定義,要注意根據學生年級的差別,作出不同層次的定義,使之不斷深化。一般來說,低年級只給概念作出解釋,隨著年級的增加,知識的增長,抽象概括能力的提高,才逐步對數學概念作出規定。例如,關于角的概念,在低年級,通過讓學生觀察有關角的實物,形成角的表象,再根據表象抽象出角的幾何圖形,只讓學生指出實物和幾何圖形的角。到了高年級,在學生形成了點和射線的概念后,才給出了角的描述性定義。
四、把概念具體化階段
學生形成和掌握數學概念,是一個從個別到一般,又從一般到個別的認識活動過程。在這個階段,學生的思維活動由一般又回到特殊的事物上去。這樣,不僅可以應用數學概念去進一步了解有關事物,而且還可以使抽象的理論不脫離具體直觀,從而進一步實現對數學概念的理解。在教學中,把數學概念具體化主要有兩種方式。
1.應用已獲得的數學概念去解答口頭或書面作業。例如,在學生獲得“季度”這一概念后,讓學生解答“今年的第一季度有多少天?”解答時,學生的思維首先要把“第一季度”具體化為“一月、二月、三月這三個月”,從而進一步實現對“季度”的理解和掌握。小學生把數學概念具體化主要靠這種方式。
2.應用已獲得的數學概念去進行實際操作或作業。例如,學習線段的概念后,讓學生畫一條5厘米長的線段。這時學生的思維,要由線段的概念再回到他的表象,并用概念指導動作來完成這一做圖,從而又加深了線段這一概念的理解和掌握。再如,在學生建立梯形面積的概念后,讓學生測量一個梯形面積所需數據,從而算出梯形的面積。完成這一實際作業的過程,是學生把數學概念具體化的過程,也是學生進一步理解、掌握和應用數學概念的過程。采用這種方式把數學概念具體化有一定難度,教學中應結合教材內容和學生的實際情況適當采用,否則會增加學生學習的困難。
總之,在數學概念教學中,只有自覺地按照兒童的認知規律進行教學,才能克服死記硬背的做法,實現對學生能力的培養和智力的開發,從而有助于我們提高教育教學質量。