高中數學建模內涵分析

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一、數學建模的過程與例析

嚴格來說，數學建模需要經歷一個嚴密的過程．這個過程往往分為多個步驟，下面結合具體實例來說明．實例：某物體做簡諧振動，點O為其平衡位置，取向右為正方向．已知振幅為5厘米，周期為4秒，從右邊距離平衡位置最大距離處開始計時．

（1）求物體相對于平衡位置的位移與時間的函數關系；

（2）求經過12秒后物體所在的位置及運動方向．（三角函數知識的應用問題）第一步：模型準備．這一步的關鍵在于了解數學問題（應用）的背景，尋找其實際意義及其中的有用信息．該實例中的問題背景是一個簡諧振動，這是學生在物理學習中熟悉的內容（本問題屬于跨學科的數學應用問題）．其中有用的信息可以根據學習經驗去猜想與判斷，像平衡位置、正方向、振幅、周期等、計時位置等，一般都會成為有用信息．第二步：模型假設與建立．根據模型準備經過假設的過程并建立模型，這一步需要用到一些重要的數學工具（公式定理等），最終目標是建立一個合理的數學結構，即數學模型．根據實例中的信息可以發現，簡諧振動可以讓學生生成一個基本的函數關系即簡諧振動方程而這些信息的提取需要學生在物理數學知識的學習中形成良好的記憶，同時又需要將該方程與原來的實例信息進行對應，如振動頻率與實例中的周期對應，初相位與計時位置對應等．這一步是數學建模的核心步驟，在本實例中應當說模型的建立一般不會出現太大的問題，因此在后面的模型檢驗中就不需要花費太多的精力，如果遇到更為復雜的應用問題，不像本實例這樣一目了然，比如說本實例中可以將一些具體的數據省略，或者讓簡諧振動變得更隱蔽一些，那在模型假設與建立時就需要更多的精力與智慧．第三步：模型求解與分析．這一步的關鍵是將實例中的信息（參數）代入模型當中去．關于這一點，上述步驟中已經有所描述，此處不再贅述．第四步：模型檢驗．即將模型的分析結果與實際情形進行比較，以此判斷模型建立的合理性．檢驗的重要途徑是看根據目前建立的模型所得到的結果是否具有實例角度的實際意義，如果吻合度好，則說明模型建立成功，否則失敗，一旦模型建立失敗，就進入循環的階段．如本實例中，由于學生有一定的物理與數學知識基礎，因此在模型假設與建立階段就有較大的信心，畢竟實例說明了是“簡諧振動”，因此基本可以判斷模型是正確的．事實上如果題目不說明是簡諧振動，而說是一個振動且不計能量損耗，那學生的判斷就需要多走幾個步驟了．第五步：模型應用．這是一個與具體實例相關的步驟，一般沒有固定的描述．在本實例中，模型應用主要體現在對第二問的回答上，事實上第二問可以無限延伸，任何一個時刻時物體的位置都可以由建立的數學模型計算出來．以上是數學模型及其建立的一般過程．需要強調的是，數學建模不只是一個利用數學知識生成數學模型的過程，嚴格來說它還是一種數學思想方法，是學生將學得的數學知識學以致用的一個重要的工具．盡管實際數學應用的過程中并不刻意追求以上步驟的完整性，但基于這樣的思路去培養學生的建模能力卻是必要的．另外，需要注意的是，數學模型的建立往往不是一個純粹的數學問題，其與實際生活的關系，與其他學科的關系，都是需要數學教師高度關注的，而關注的具體方式就是充分地了解學生的原有認知基礎．也就是說，數學建模實際上是一個綜合性的過程，不是僅憑數學知識的建立就能完成的，生活應用性、跨學科性是其本質特征．

二、數學建模的教學與反思

在多年的高中數學教學中，筆者發現數學建模的教學有著重要的作用．如上所說，數學建模具有綜合性，因此其能夠促進學生對數學知識的綜合運用能力．但實際教學中的挑戰也是非常明顯的，當下學生的數學學習有一個明顯的不足，那就是學生對知識之間的聯系認識不足，往往滿足于利用剛剛所學的知識解決眼前的問題，這對于數學建模來說提出了很大的挑戰．如何從學生的記憶系統中提取出有效的信息以完成數學模型的建立，是一個很大的問題；此外，強大的應試壓力讓學生更多地滿足于一般的數學習題的解答，對數學建模的積極性有時不太高（當然，其中數學建模的復雜性也影響了學生的興趣）．反思這些現象，筆者以為高中數學教學中的建模工作更加具有重要性與必要性．無論是從應試的角度來看，還是從學生的數學素養提高的角度來看，數學建模本身就是數學綜合能力的體現，也是衡量數學教師教學水平的重要指標．我們認為，只有當自己所教的學生能夠用所學的數學知識有效地解決實際問題時，數學教學才是成功的．因此，無論是數學新知建立的過程，還是數學應用的過程，都需要在原有知識基礎上讓學生生成建模的意識，并在數學知識應用的過程中生成能力．值得一提的是，在數學應用問題的解決過程中，通過一些專題訓練來提高學生的建模能力是值得嘗試的策略．筆者的教學經驗表明，學生在專題訓練的過程中，建模的意識會比較強，建模的目標也比較明確，在緊張的復習時間中抽出時間進行專題訓練，可能是一件事半功倍的事情．

作者：楊利娜 單位：安徽阜陽市城郊中學