古琴音樂中分形幾何

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內容摘要：傳統的音樂研究，特別是民族音樂研究，絕大部分都側重于音樂的藝術性角度（音樂的社會屬性），鮮見有從音樂的科學性角度（音樂的自然屬性）進行研究的。但是，近年來隨著科學技術的快速發展，這一狀況正在逐步得到改觀。本文使用分形幾何的方法，對古琴音樂作品進行了分析研究，證明了古琴音樂的旋律是分形的，并且對古琴音樂作品與西方古典音樂作品的異同進行了初步的比較分析，揭示出不同時空、不同歷史文化背景下音樂的共同特征——分形性。

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一、引言

在我國傳統音樂中，古琴是最古老的弦樂器之一。《樂記》有“昔者舜作五弦之琴，以歌南風”之說。清代著名琴家徐祺在《五知齋琴譜》中寫道：“昔者伏曦之王天下也。仰觀俯察，感榮河出圖，以畫八卦，聽八風以制音律，采峰山孤桐，合陰備陽，造為雅樂，名之曰琴。”另外也有人說古琴是神農或堯帝等創制的。這些雖出自傳說，無文字記載或實據可考，但在安陽殷墟墓葬中出土的文物中有兩件像琴的石器，且甲骨文中把音樂的樂字記為“”，這是以絲弦張附在木器上的象形，由此說明在殷商時代（即甲骨文產生之際）就已有了琴這一類樂器，大概是可信的[1]。由此亦可推知古琴應產生于殷商之際甚或在此之前，即古琴已存在三千多年了。

對于這樣一件產生于史前，而且幾乎完整不變地流傳至今的樂器，不僅在中國，即便是在全世界范圍也難以再找到第二個！因此，對古琴尤其是古琴音樂進行詳細的考察與研究，不僅能夠揭示我國古代音樂的發展變化情況，而且亦可從中透視出我國古代社會政治、經濟和科技的發展與變化[2][3][4]。

對音樂進行研究，當今占據主導地位的有三種方法，即歷史的方法、分析的方法和比較的方法[5]。這三種方法在音樂研究中已經取得了輝煌的成就，而且仍還有著非常廣闊的前景。但是，它們各自的研究范圍都比較狹小，或某一作品，或某一人某一派的作品，或某一時期的作品，或某一地域(或西方或東方或非洲或拉美)的作品，而不能從整體上研究范圍更廣的音樂現象。眾所周知，無論古今，不分地域，任何地方只要有人，就會有音樂，這就說明音樂必定有著某種屬性，它是一種與時空無關的非民族性的屬性，即音樂的自然屬性。可這種自然屬性究竟是什么呢？怎樣才能將它表示出來呢？我們認為，分形幾何為這一問題的解答提供了一種可能[6][7]。

二、分形幾何與音樂

分形幾何[8]的概念是由曼得勃羅在上世紀60年代末提出來的。它的主要思想是說，在不規則現象表面所呈現的雜亂無章的背后仍存在著規律，這個規律就是在放大過程中呈現出的自相似性。

在自然界中，分形現象普遍存在，俯拾即得。如：微觀世界中晶體的生長，相變過程和化學反應等；宇觀世界中太陽黑子的活動和星際空間物質的分布等；宏觀世界中河流的走向，樹枝的分叉以及地震震級的分布等；就連我們人體血液循環系統中血管的分支和腦電波分布都是分形的。也就是說，自然界似乎存在著“分形者生存”這一規律。

既然我們賴以生存的這個世界到處都充滿著分形，既然我們的血管分支和腦電波都是分形的，因而想必在我們的潛意識中(或者是本能地)對分形現象定會有著某種默契或產生共鳴，或者說我們人也偏愛分形，正是這種偏愛形成了音樂創作與欣賞在主體心理與對象間的鎖定。沃斯和科拉克[6]等人首先從實驗上證明了這一點，他們發現優美動聽的音樂的音量是分形的，后來許氏父子（許靖華和安得魯·許）[7]又從理論上證明了古典音樂中旋律的進行也是分形的。

三、古琴音樂中的分形幾何

為了研究音樂的分形幾何，首先必須把它加以量化，因此撇開音樂的社會學定義不講，現在我們從數學上給它下一個定義：音樂是具有不同音高（頻率）的音的一種有序排列。既然如此，那么這種有序的數學表達是什么？隨意地敲擊琴鍵不會產生音樂，不同音的有序排列組成了旋律，這種排列是分形的嗎？如果答案是肯定的話，那么在一首音樂作品中兩相鄰音之間的音程i與其出現的幾率F應滿足下述關系：

F=C/iD或logF=C’-Dlogi

即音程i的對數與其出現幾率F的對數之間存在線性關系,也就是說以logF和logi為縱橫坐標作圖,則各點均應在同一直線上。其中D為該作品的分形維數(分維)，C為比例系數，C’=logC。

許氏父子通過分析發現[8]，對于巴赫和莫扎特等古典音樂大師的作品，上述分形關系式均可確立，但對于現代無調性音樂作品，則無此種關系。為了對我國古代音樂進行深入的理解與研究，為了對東西方音樂的異同進行比較，下面我們也將使用這一方案對我國古琴音樂進行分析。

首先選取《古逸叢書》中管平湖打譜的《幽蘭》[9]進行分析。對該曲中音程i及其出現幾率的統計結果如下表：

將音程i及其出現概率F分別取對數對應作圖可以看到（圖1A），在區間2≤i≤11，存在分形關系：

F=3.80/i3.15