數學歸納法
前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇數學歸納法范文，相信會為您的寫作帶來幫助，發現更多的寫作思路和靈感。
數學歸納法范文第1篇
1.知識目標
(2)會用數學歸納法證明等式和不等式。
2.能力目標
通過對數學歸納法的復習、應用,培養學生分析問題的能力和嚴密的邏輯推理能力。
3.情感目標
(1)通過對數學歸納法原理的復習探究,培養學生嚴謹的、實事求是的科學態度和不怕困難、勇于探索的精神。
(2)讓學生通過對數學歸納法原理的理解,感受數學內在美的震憾力,從而使學生喜歡數學。
(3)學生通過質疑與探究,培養學生獨立的人格與敢于創新精神。
教學重難點
1.重 點
(1)理解數學歸納法的原理。
(2)明確用數學歸納法證明命題的三個步驟。
(3)會用數學歸納法證明等式和不等式。
2.難 點
(1)對數學歸納法原理的理解,即理解數學歸納法證題的嚴密性與有效性。
(2)假設的利用,即如何利用假設證明當n=k+1時結論正確。
教學方法:
通過多媒體師生互動討論、探究的方法
教學過程:
一、創設情境,啟動思維
讓學生復習教材,同時探究下面的三道小題,從而達到溫故而知新的目的。
二、討論交流,深化認識
1.用數學歸納法證明“2n>n2+1對n≥n0的正整數n都成立”時,第一步證明中的起始值n0應取 5 。
注意起始值的驗證,因為它是遞推的基礎。
2.用數學歸納法證明“當n為正奇數時,xn+yn能被x+y整除”時,下列過程中正確的個數是 ②③ 。
①驗證n=1時成立,由“n=k(k為正奇數)時命題成立”推出“n=k+1時命題成立”;
②驗證n=1時成立,由“n=k(k為正奇數)時命題成立”推出“n=k+2時命題成立”;
③驗證n=1時成立,由“n=2k-1(k為正整數)時命題成立”推出“n=2k+1時命題成立”;
④驗證n=3時成立,由“n=2k+1(k為正整數)時命題成立”推出“n=2k+3時命題成立”;
3.對于不等式1,n∈N*),某學生用數學歸納法的證明過程如下:
(1)當n=2時,
(2)假設n=k(k>2,k∈N*)時,不等式成立,即
=
故當n=k+1時,不等式成立.上述證法是否正確,若不正確請指出。
Ⅰ歸納假設不能脫離遞推的基礎。
Ⅱ一定要運用歸納假設。
Ⅲ注意證明步驟的完整性。
三、典例解析,鞏固提高
例1.已知n∈N*,用數學歸納法證明:
1-+-+…+-=++…+.
證明:(1)當n=1時,左邊=1-=,右邊,等式成立;
(2)假設當n=k(k≥1,k∈N*)時等式成立,即有:
1-+-+…+-=++…+.
那么當n=k+1時,
左邊=1-+-+…+-+-
=++…++-
=++…+++-
=++…++
=右邊;
所以當n=k+1時等式也成立.
綜合(1)(2)知對一切n∈N*,等式都成立.
思維點撥:仔細觀察欲證等式的結構特征,在第二步證明當n=k+1時向目標式靠攏是關鍵.
例2.用數學歸納法證明:對一切大于1的自然數n,不等式(1+)(1+)…(1+)>成立.
證明:(1)當n=2時,左=1+=,右=,左>右,
不等式成立.
(2)假設n=k(k≥2,且k∈N*)時,不等式成立,即
(1+)(1+)…(1+)>
那么當n=k+1時,
(1+)(1+)…(1+)=1+>•
=
=>
==
n=k+1時,不等式也成立.
由(1)(2)知,對一切大于1的自然數n,不等式都成立.
例3.求證:對一切大于1的自然數n,1+
證明:(1)令f(n)=1+++…+,
當n=2時,原不等式成立;
(2)設n=k(k∈N*)時不等式也成立,
即1+≤1+++…+,
則當n=k+1時,
f(k+1)=1+++…+≥1++++…+>1++=1++=1+
即n=k+1時,命題成立
綜合(1)(2)可得:原命題n∈N*對原不等式成立。
思維點撥:證明當n=k+1時向目標式靠攏時注意增加的項數,同時要注意需要逐項放縮。
四、反思感悟(師生共同完成)
注意“遞推基礎不可少,歸納假設要用到,結論寫明莫忘掉”;
從n=k到n=k+1時,變形方法有因式分解、添拆項、配方、放縮等方法。
五、課后練習
1.設f(n)=1+++…+,是否存在關于正整數n的函數g(n),使等式f(1)+ f(2)+…+f(n-1)=g(n)•f(n)-1對于n≥2的一切自然數都成立?證明你的結論。
2.用數學歸納法證明:
++…+
3.思考:例2能不能利用其他方法去證明。
數學歸納法范文第2篇
一、數學歸納法的結構――演義與歸納的辯證統一
如果把特征的命題簡記為，則數學歸納法證題的一般步驟是：（1）證明：真；（2）證明：S（k）真?圯S（k+1）真；（3）結論：真。
圖示為：S（k）真?圯S（k+1）真
S（1）真?圯S（n）真
縱觀全過程，這是一個“個別―特殊―一般”的推理形式，完全合乎歸納推理程序。從這一層面來講，它是歸納的。
但是，這個“從S（1）真到S（n）真”并不能靠歸納本身完成，否則就會成為“不完全歸納法”。它將經由這樣的程序：假設S（k）真（S（1）真為這個假設奠定了基礎），然后經過合乎邏輯規則的推理，最后得出S（k+1）真，這正是一個確定的結論的演繹的證明。從這一層面來講，它又是演繹的。
所以，把這種證題方法叫做數學歸納法，較能體現歸納中有演繹、演繹中有歸納、歸納與演繹辯證統一的關系。而其中起關鍵作用的是演繹――正是靠了演繹，結論的正確性得到以從自然走向必然。我們認為，數學歸納法的本質是歸納―演繹的，而演繹是其靈魂。數學歸納法是由遞推基礎“S（1）真”和遞推根據“S（k）真?圯S（k+1）真”協同作用實現其證明的美妙而獨特的數學方法。
二、教學中應注意的幾個問題
1.注重不完全歸納法的地位。
數學歸納法有著不同的側面。作為純粹證題方法的“數學歸納法”與作為教學對象的“數學歸納法”，二者并非一回事。一般教法比較失策的一點是：為了引入數學歸納法，不惜犧牲不完全歸納法，只強調不完全歸納法“不可靠”的一面，而忽略它在作出“新發現”中起作用的一面。在教學中我們從不完全歸納法開始，利用“問題―發現”式教學，其程序大致是：
（1）問題：S（n）=1+3+5+…+（2n-1）=?
（2）列表：1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
如果必要尚可多列出一些（或配合以圖形）。
（4）證明：用數學歸納法，示范講解，提出數學歸納法及其解題步驟。
（5）講練：初步入門就迅速轉入練習（包括講解例題），使學生在教師指導下，通過講練達到能懂、會用，明白道理。
2.遞推關系是數學歸納法的靈魂。
在數學歸納法教學與解題過程中，中心而困難的一個環節是：“證明：S（k）真?圯S（k+1）真。”
問題表現在：
（1）不懂得對于每個具體的題目，如何將S（k）、S（k+1）真具體化。這在學習初期表現突出。對此，要耐心地進行“解疑”和“啟蒙教育”。
（2）不懂得經由怎樣的中間步驟實現“S（k）真?圯S（k+1）真”。解決這個問題沒有一成不變的辦法，原則是創造條件，利用歸納假設，針對具體題目（即一湊假設，二湊目的）。有時需要充分利用幾何直觀和試算猜想，其思維特點是直覺的或者歸納的；有時則需要從結論出發進行逆推。而分析法用于數學歸納法證題，亦有講究。3.防止思維混亂，避免“假證明”。
數學歸納法證題訓練中，學生往往不知不覺地認為：（1）假設S（k）真，不也是假設了S（k+1）真嗎？S（k）與S（k+1）只是S（n）中n取k與k+1，它們沒有區別，所以關于“S（k）真?圯S（k+1）真”的證明是走形式。（2）假設S（k）真不就是假設S（n）真嗎？k與n都代表自然數，只是符號有別，命題S（k）就是命題S（n），假設它真還證什么？如上述種種錯誤理解，極易引起學生的思維混亂，甚至導致數學歸納法“可靠性”的懷疑。而另有一些同學則喜不自勝，以為數學歸納法全是走過場，作業中便會自覺或不自覺地出現一些“假證明”。為此，在教學開始時應講清楚數學歸納法的原理，在證題訓練中讓學生完全理解并規范約束學生的證題思路，使他們由不自覺到自覺，真正領會數學歸納法，會用數學歸納法。
數學歸納法范文第3篇
讓我們來做一個游戲，這個游戲曾在中央電視臺演播過，不妨稱為“擺磚游戲”。我們把很多很多磚塊按照“前磚碰倒后磚”的規格來擺放，從教室擺到操場，再擺到公路上，再擺到香港，再擺到外國……，甚至可以沒完沒了的擺下去。那么，我們只要推倒第一塊磚，就能把所有的磚塊全部推倒。這個游戲有兩個條件：第一，要推倒第一塊磚；第二，磚塊必須按照“前磚碰倒后磚”的規格來擺放。顯然，這兩個條件缺一不可。如果缺少第一個條件，就會有磚沒有被推倒(至少第一塊磚沒有推倒)。如果缺少第二個條件，“碰倒過程”就會中斷，就會有很多很多磚塊沒有推倒。
從上面的“思維游戲”啟發我們得出一個處理與自然數有關問題的方法：(1)
處理第一個問題(相當于推倒第一塊磚)；(2)驗證前一號問題與后一號問題有傳遞關系(相關于前磚碰倒后磚)，這時主角亮相了。數學歸納法是可靠正確的推理方法。介紹了數學歸納法之后，師生共同參與，按以下設問進行教學：
1．第一步驟是遞推的基礎，第二步驟是遞推的依據。若二者缺一將會出現什么問題呢?能舉出實例來嗎?
2．完成第一步驟后，在第二步驟中，假設n=k時的結論正確，這樣的k值是否存在呢?證明N=K+1時結論也正確，是否起著“傳遞性”的作用?
3．第二步驟中，如果不使用N=K時結論正確這個條件，直接證明N=K+1時結論正確，是否還是數學歸納法呢?或者說比數學歸納法更好呢?
4．第一步驟中，證明N取第一個值結論正確，這第一個值從哪里取起呢?
5．第二步驟中，在使用N=K時結論正確的前提下，可以用哪些方法來突破N=K+I時結論正確這一關呢?(如：演繹法、分析法、反證法等)。
6．數學歸納法是針對n∈N而言的．那么N取非自然數時，是否也可以呢?
針對學生在概念的學習中容易出現的問題：錯誤理解、認識膚淺、似是而非、掌握不牢等現象，教師要精心創設情景，優化教學手段，以達到對概念的理解、認識到位，對概念的掌握準確、牢固、靈活之目的。同時，行之有效地培養了學生思維的批判性和深刻性。
數學歸納法范文第4篇
常見錯誤之一：初始值代入出錯。
例如：用數學歸納法證明， n邊形對角線的條數為■ （n≥3，且n∈N）
證明:（1）當n=1時，一邊形不存在，對角線就不能確定為多少條。此時，將n=1代入對角線的條數表達式中有，對角線的條數為■=-1，至此，數學歸納法的第一步無法完成。
（2）假設當n=k時，命題成立 。如圖，即k邊形 A1A2A3…Ak的對角線的條數是■。
于是當n=k+1時，多邊形為（k+10）邊形A1A2A3…Ak+1，比k邊形多一個頂點Ak+1，圖中畫出了增加的對角線，分析知，增加的對角線的條數是點Ak+1與點A2 A3…Ak-1 的連線（有k-2條連線）和點A1與點Ak的連線。共增加了[（k-2）+1]條。
（k+1）邊形A1A2A3…Ak+1的對角線總條數為■+[（k-2）+1]=■=■。故當n=k+1時，命題成立。
根據數學歸納法原理知命題成立。
以上例題證明的第一步是初始值代入出錯應取n=3時進行驗證:顯然當n=3時，三角形沒有對角線，將n=3代入對角線的條數表達式中有■=0，命題成立。再結合證明的第二步，就是此例的完美的數學歸納法的證明。
上述例題說明，利用數學歸納法證題的第一步n0（初始值）取值未必都是1，即它的取值應是結論有意義的最小正整數。因此，證題前要認真審題，確定是n∈N還是 n≥n0（n∈N）。
常見錯誤之二，不符合數學歸納法證題的原則。
例如，用數學歸納法證明：
3+7+11+……+（4n-1）=n（2n+1） （n∈N）
證明：
（1）當n=1時，左邊=3，右邊=3，所以當n=1時命題成立.
（2）假設當n=k時命題成立，即
3+7+……+（4k-1）=k（2k+1）
當n=k+1時， 3+7+……+（4k-1）+（4k+3）=■（k+1）（4k+3+3）=（k+1）（2k+3）=（k+1）[2（k+1）+1]
所以當n=k+1時命題成立。
根據（1）、（2）可知，等式對一切n∈N成立。
上述利用數學歸納法證題的第二步沒有用到歸納假設，其推理過程不是在歸納假設的基礎上實現的，第二步的正確證明方法是：
假設n=k時命題成立，即
3+7+……+（4k-1） = k（2k+1）。
則當n=k+1時，3+7+……+（4k-1）+ （4k+3）=k（2k+1）+4k+3=2k2+5k+3=（k+1）（2k+3）=（k+1）[2（k+1）+1]
即當n=k+1時命題也成立。
這里指出：用數學歸納法證題的兩個步驟缺一不可，盡管有的與正整數有關的命題用其他方法也可以觖決，但題目若要求用數學歸納法證明，則必須依題目的要求嚴格按照數學歸納法的步驟進行證明，特別是在第二步證明中對歸納假設“設而不用”，那就不正確。
不符合用數學歸納法證題的原則要求，因而證明不算數學歸納法。
常見錯誤之三：沒有嚴格的邏輯推證。
例如，用數學歸納法證明：
■+■+……+■=■（n∈N）
證明：（1）當n=1時，左端■=■=右端，等式成立。
（2）假設n=K時，原等式成立，即：■+■+……+■=■，于是當n=k+1時，有■+■+……+■=■，故n=k+1時，原等式成立。
根據數學歸納法原理知等式對一切n∈N均成立。
上述證明從表面上看與數學歸納法相符合。而數學歸納法原理的第2步是保證一系列命題——“傳遞性”成立的關鍵，必須給予嚴格的證明。但此例證明過程中的第2步形式套用數學歸納法原理的第2步，沒有給予嚴格的邏輯推證，因此不符合數學歸納法原理的要求。
常見錯誤之四：錯誤理解歸納假設。
例如，已知n個正數a1、a2，……，an且a1·a2，……，an =1，試證：a1+a2+……+an≥n。
證明：（1）n=1時，顯然有a1≥1。
（2）假設n=k時，命題成立，則n=k+1時， a1·a2……ak ak+1=1， a1，a2……ak+1中必有一個不小于1，不妨設ak+1≥1，于是 a1+a2+……+ak+ak+1=a1+a2+……+ak+1，由歸納假設 a1+a2+……+ak≥k， a1+a2+……+ak+ak+1≥k+1，故當n= k+1時，命題成立。
根據數學歸納法原理知，對一切n∈N原命題成立。
上述證明過程表面上看起來沒有什么問題，但是第2步的證明過程中所用歸納假設的結論a1+a2+……+an≥k是有條件的，必須 a1·a2……ak=1，而 a1·a2……ak ak+1=1及ak+1≥1并不能保證a1·a2……ak=1，從而未必有結果a1+a2+……+an≥k成立，而此題的第2步在推理過程中正應用了這個不可靠的結果，因而證明錯誤。
常見錯誤之五：由n= k表達n= k+1時表達式之間關系出錯。
例如，用數學歸納法證明：
■+■+■+……+■＞■（n≥2）
在數學歸納法的第2步的證明中，若設f（n）=■+■+■+……+■，則f（k+1） =■+■+■+……+■= f（k）+■，從而正確地證明結論。產生以上錯誤的原因是未能把握f（n）右式中各項間規律，右式是一個數列若干項的和，每項的分子均為1，分母是以2為首項，1為公差的等差數列。
數學歸納法范文第5篇
關鍵詞： 拉姆塞定理；歸納法公理；演繹法
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2012）02-0160-02
數學歸納法是一種十分重要的數學方法，應用此法可以解決很多難題，下題是圖論中著名的拉姆塞定理的特殊情形。
給出平面上n個點，每兩點連接一條邊，得到C2n 條邊；這n個點和C2n條邊構成n階完全圖kn，把kn的邊染色使得每條邊都要染色，而且只能染紅色或藍色，對于如何異于1的自然數p,q,無論kn的邊怎樣染色，n至少應該多大，才能使染色的結果必有一個全部邊都是紅色的Kp或者有一個全部邊都是藍色Kq？如果這個最小數存在，就記為R(p,q). R(p,q)叫拉姆塞數。
這個著名定理的證明用的就是數學歸納法。
數學歸納法是一種十分重要的數學方法，它的根據使歸納法公理，若數集N包含1，而且若自然數k∈ N,則必定有k+1∈ N,那么N就是自然數集。數學歸納法的實質是演繹法，而不是歸納法。
應用數學歸納法證明某一命題P，第一步，檢驗初值，n=1時，P成立。第二步，提出歸納法假設，設對于某個n值，P成立，證明n+1時P亦成立，通過兩次證明，就證明了不論n為任何自然數，P成立。
例1：對怎樣的自然數n，以下不等式成立:
(A)2n2n+1 (1)
(B)2nn2 (2)
解：（A）若n=1，2
若n=2，4
若n=3，8>7，（1）成立。（初值為3，不是1）
假設有某個整數n≥3，使（1）成立。（歸納法假設，往證2n+1>2(n+1)+1）
2n+1=2×2n=2n+2n>2n=2n+2n+1=2n-2+2(n+1)+1，
當n≥3時，2n-2>0，2n+1>2(n+1)+1
即n+1時，（1）亦成立 （第二步證明）
依數學歸納法，當n≥3時，（1）式成立
（B）令n=1，代入（2）知（2）成立。
分別令n=2,3,4，代入（2）知（2）不成立。
令n=5，代入（2）知（2）成立。（5為初值）
假設有某個整數n≥5，使（2）成立，（歸納法假設，往證2n+1>（n+1）2）
2n+1=2×2n=2n+2n>n2+2n>n2+2n+1 （依（1））
故2n+1>(n+1)2，即n+1時，（2）亦成立，依數學歸納法，n≥5時 ,(2)成立，故知使（2）成立的n值為1和大于或等于5的一切整數值。
數學歸納法的第二步假設有某個命題成立，論證n+1亦使命題成立，這是基本形式。可以把假設改為：有某個n∈ N，使對于一切小于或等于n的自然數，命題成立，如下例：
例2：設S=x+1x ，求證xn+1xn 必可表為S的多項式（n為任何自然數）
證明：若n=1，1x=s，命題成立。
假設有某個n∈ N，使對于≤n的一切自然數，命題成立，（這是歸納假設，即假設1x ，x2+1x2 ,…，xn+1xn 等式都可以表示為S的多項式，論證xn+1+1xn+1 也可以表示為S的多項式）因為，xn+1+1xn+1 =（xn+1xn）（x+1x ）－（xn-1+1xn-1 ）,依歸納法假設，xn+1xn ,x+1x ,xn-1+1xn-1 都可以表示為S的多項式，故 xn+1+1xn+1也可以表示為S的多項式。依數學歸納法，證得不論n為任何自然數，xn+1xn 必可表為S的多項式。上面證法的推導過程可用圖表示如下：
1(1 2)(1,23)(1,2,34)(1,2,3,45)… … …
圖上顯示可以得到任何自然數。
從上例，可見題目求證的公式或有確定的表達形式，應用數學歸納法解決問題的困難不是很大。否則，既要找到表示形式，又要用數學歸納法證明結論，那就困難的多了，而且主要的困難在于前者，即探索結論的表示形式，如下例：
例3：設平面上有n條直線，每2條直線必相交，而且無3條直線共點（簡稱為在一般位置）分平面為a2(n)個部分，求a2(n)。
探索：若平面上沒有直線，只有整個平面a2(0)=1，若平面上有一條直線，分平面為兩部分，a2(1)=2，若平面上有兩條直線相交，分平面為4個部分，a2(2)=4，若平面上3直線在一般位置，分平面為7部分，a2(3)=7，考慮到7=C03 +C13 +C23 （Crn 表n物取r的組合數，且有補充定義 C03=1，C00 =1，以及 Crn=0，若r>n），而且1,2,4分別表示為：
a2(0)=1=C00 +C10 +C20
a2(1)=2=C01 +C11 +C21
a2(2)=4=C02 +C12 +C22
因而可以猜想，
a2(n)=C0n +C1n +C2n （1）
以下用數學歸納法證明（1）
證：若n=0，（1）成立。
假設有某個非負數n使（1）成立（這是歸納法假設）往證：
a2(n+1)=C0n+1 +C1n+1 +C2n+1 （2）
平面上在一般位置的n條直線分平面為a2(n)個部分，添加第n+1條直線，構成在一般位置的n+1條直線。這條第n+1條直線與原n條直線有n個交點；這第n+1條直線被分為n+1段，每一段把原來n條直線所分出的一部分分為2部分，既增加一個部分，故第n+1條直線使原來a2(n)個部分添加n+1個部分，因此：
a2(n+1)=a2(n)+n+1
因為n+1=1+n=C0n +C1n
且依（1）
a2(n+1)= C0n +C1n + C2n+C0n +C1n
=C0n+(C1n +C0n)+(C2n +C1n )
=C0n+1 +C1n+1+C2n+1
這就是(2)，故依數學歸納法，不論n為任何非負整數，（1）恒成立。
以上兩個例子使用第一歸納法證明的；還有一種證明方法叫第二數學歸納法：如果關于自然數n的某個命題P(n)具備如下條件：
(1)P(1)真；
(2)k∈ N,n
在數學歸納法證明中，試驗P(1)成立是歸納法的基礎，第二步P(k)P(k+1)是前一個命題真得出后繼命題真的依據，這兩步缺一不可，只有在這兩步都完成后，才能根據第一、第二歸納法得出n ∈N，P(n)真的結論。
以上介紹的是數學歸納法在初等數學中的應用，其實數學歸納法作為一種嚴格的推理方法，也廣泛應用于高等數學的證題中。
如引入中有關圖論問題的拉姆賽定理的證明。
證明：因為紅藍兩色可以對換，故若R(p,q)存在，則必有R（p,q）=R(q,p) （1）
若p=2，k2就是一條邊，這就是紅k2，否則，如果沒有紅邊，既全部邊都是藍色的，kq就藍kq，
故R(2,q)=q （2）
圖（1）
依(1)可知
R(p,2)=p （3）
考慮p=3，q=3的情況，可以證明k3的邊染色，不能保證必有一個紅k3（三角形），或者必有一個藍k3，如圖（1）（紅邊為實邊，藍邊為虛邊）所示，染色的結果既沒有一個紅三角形，也沒有一個藍三角形。但可以證明k6的染色，一定會有一個紅三角形，或者有一個藍三角形，如圖（2），設P為頂點，P與另外5個頂點連接為5邊，染色之后，（A）可能至少有3條紅邊，即至多有2條藍邊，（B）也可能至少有3條藍邊，即至多有2條紅邊，對于（A），設PA，PB，PC三邊都是紅邊，若ABC有紅邊，設為AB，則PAB為紅三角形；若ABC無紅邊，它就是藍三角形，對于（B）只需把（A）的證明中紅藍兩色對換，便得出了必有紅三角形或必有藍三角形的結論。總之不論k6的邊怎么染色，必有一個紅三角形或必有藍三角形，故R(3,3)=6。
這是數學歸納法用于圖論中的例子。
圖（2）
下面再看數學歸納法用于高代的例子。
例4：設V1，V2，V3，…，Vs是線性空間V的s個非平凡的子空間，證明：V中至少有一個向量不屬于V1，V2，…，Vs中的任何一個。
證明：對s用數學歸納法。
當s=2時，因為V1是非平凡子空間，故存在α V1，如果α V2，結論成立；如果α ∈V2，則由V2也是非平凡子空間，故存在β V2，若β V1，則結論已成立；若β V1，則
α V1，β∈ V2，α∈ V2，β V2 ①
于是用反證法可證α+β V1，α+β V2，事實上，若α+β∈ V1，又β∈ V1，這與①矛盾，
故α+β V1，同理證明α+β V2。
故當s=2時，結論成立。
假定對s-1個非平凡的子空間結論成立，即在v中存在向量α，使α Vi，i=1，2，…，s-1，對第s個子空間Vs，若α Vs，結論成立；若α ∈Vs，則由于Vs為非平凡子空間，故存在β Vs，于是對任意數k，向量k*α+β Vs（如果kα+β∈ Vs，β=（kα+β）-kα∈ Vs與β V1中s矛盾），且對于不同的數k1，k2，向量k1α+β，k2α+β不屬于同一個Vi（1≤i≤s-1）（如果k1α+β，k2α+β屬于同一個Vi，則（k1α+β）-（k2α+β）=（k1-k2）α∈ Vi，得α∈ Vi與α Vi矛盾）。
令取s個互不相同的數k1，k2，…，ks，則s個向量
k1α+β，k2α+β，…ki-1α+β，ksα+9β
至少有一個不屬于V1，V2，…，Vs-1，這樣的向量即滿足要求。
綜上所述，數學歸納法是十分重要的數學證明方法，仔細體會本文中例題，熟悉數學歸納法的用法和證明技巧。要抓住數學歸納法中關鍵步驟：（1）驗證n=1時結論正確；（2）假設當n=k時結論正確，證明當n=k+1時結論也正確，兩個步驟缺一不可。
參考文獻：
[1] 《中學數學研究》華南師大數學系《中學數學研究》編輯部 2001.1.10出版 總第229期
