分式方程應(yīng)用題

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分式方程應(yīng)用題范文第1篇

注：在實(shí)際問(wèn)題中往往出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的等量關(guān)系式，其中被選作列方程的等量關(guān)系式叫做基本等量關(guān)系式，其余的稱之為輔助等量關(guān)系式.

例1(2011吉林長(zhǎng)春)小玲每天騎自行車或步行上學(xué)，她上學(xué)的路程為2800米，騎自行車的平均速度是步行平均速度的4倍，騎自行車比步行上學(xué)早到30分鐘，求小玲步行的平均速度.

解析本例是有關(guān)行程的問(wèn)題，此類問(wèn)題中有三個(gè)基本量：路程、速度和時(shí)間，它們之間的基本關(guān)系是：路程=速度×?xí)r間，在這三個(gè)基本量中，知其二可求其一.本題中涉及兩種交通方式，數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，可以制作4行4列表，并把題目中有關(guān)的量填入表格.

速度關(guān)系：騎車速度是步行速度的4倍①，

時(shí)間關(guān)系：騎車時(shí)間比步行時(shí)間少30分鐘②.

方法一以①為基本等量關(guān)系式，需要設(shè)時(shí)間.

設(shè)騎車時(shí)間為x分鐘，則由關(guān)系②得步行時(shí)間為(30+x)分鐘,

騎自行車步行等量關(guān)系路程28002800相等時(shí)間x30+x速度2800x280030+x①由①得

2800x=280030+x×4，

解之得x=10.

所以小玲步行的速度為

280010=280 米/分鐘.

方法二以②為基本等量關(guān)系式，需要設(shè)速度.

設(shè)步行的速度為x米/分鐘，則由關(guān)系①得騎車速度為4x米/分鐘.

騎自行車步行等量關(guān)系路程28002800相等速度4xx時(shí)間28004x2800x②由②得

2800x-28004x=30，

解之得x=280.

答：小玲步行的速度為280米/分鐘

點(diǎn)評(píng)本題的目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用“列表法”整理應(yīng)用問(wèn)題的數(shù)據(jù)，分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系,完成應(yīng)用題建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié).本例的二種解法實(shí)質(zhì)上也是我們通常所講的未知數(shù)的兩種設(shè)法：直接設(shè)未知數(shù)、間接設(shè)未知數(shù).當(dāng)然就這個(gè)題目而言直接設(shè)未知數(shù)簡(jiǎn)單.

例2(2011廣西崇左)今年入春以來(lái)，湖南省大部分地區(qū)發(fā)生了罕見(jiàn)的旱災(zāi)，連續(xù)幾個(gè)月無(wú)有效降水.為抗旱救災(zāi)，駐湘某部計(jì)劃為駐地村民新建水渠3600米，為使水渠能盡快投入使用，實(shí)際工作效率是原計(jì)劃工作效率的1.8倍，結(jié)果提前20天完成修水渠任務(wù).問(wèn)原計(jì)劃每天修水渠多少米？

解析本例是有關(guān)實(shí)際的工程類問(wèn)題，此類問(wèn)題中有三個(gè)基本量：工程總量、單位效率和工作時(shí)間，它們之間的基本關(guān)系同樣是：工程總量=工作效率×工作時(shí)間.在這三個(gè)基本量中，知其二可求其一.本題中涉及兩種情況：一種是原計(jì)劃，一種是實(shí)際；同樣可以制作4行4列表，并把題目中有關(guān)的量填入表格.

工作效率：實(shí)際工作效率是原計(jì)劃工作效率的1.8倍①，

工作時(shí)間：原計(jì)劃時(shí)間比實(shí)際時(shí)間多20天②.

方法一以①為基本等量關(guān)系式，需要設(shè)時(shí)間.

設(shè)原計(jì)劃需要時(shí)間為x天，則由關(guān)系②得實(shí)際所用時(shí)間為(x-20)天.

原計(jì)劃實(shí)際等量關(guān)系工程總量36003600相等工作時(shí)間xx-20工作效率3600x3600x-20①由①得

3600x-20=3600x×1.8，

解之得x=45，

所以原計(jì)劃每天修360045=80米.

方法二以②為基本等量關(guān)系式，需要設(shè)速度.

設(shè)原計(jì)劃每天修x米，則由關(guān)系①得實(shí)際每天修1.8x米.

原計(jì)劃實(shí)際等量關(guān)系工程總量36003600相等工作效率x1.8x工作時(shí)間3600x36001.8x②由②得

3600x-35001.8x=20，

解之得x=80.

答：原計(jì)劃每天修80米.

點(diǎn)評(píng)本題同樣可以根據(jù)不同的等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)求解，關(guān)鍵是設(shè)的時(shí)候用輔助等量關(guān)系，再利用基本等量關(guān)系來(lái)列方程求解，而且通常情況下根據(jù)問(wèn)題直接設(shè)未知數(shù)比較簡(jiǎn)單.

例3(2011年河北)甲乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實(shí)驗(yàn)器材，若甲單獨(dú)整理需要40分鐘完工；若甲乙共同整理20分鐘后，乙需單獨(dú)整理20分鐘才能完工.問(wèn)乙單獨(dú)整理多少分鐘能完工？

解析本例是有關(guān)虛擬的工程類問(wèn)題，總的工作量為單位1.此類問(wèn)題中有三個(gè)基本量：工作總量、工作效率和工作時(shí)間，它們之間的基本關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間.在這三個(gè)基本量中，知其二可求其一.本題中涉及兩個(gè)人，同樣可以制作4行4列表，并把題目中有關(guān)的量填入表格.

工作總量的關(guān)系：甲的工作總量+乙的工作總量=1.

以工作總量為基本關(guān)系式，設(shè)乙單獨(dú)整理完成需要x分鐘.

甲乙等量關(guān)系工作效率1401x工作時(shí)間2020+20工作總量140×201x×(20+20)甲+乙=1①由題意可得

2040+20+20x=1，

解之得x=80.

分式方程應(yīng)用題范文第2篇

例1解方程=-2 .

錯(cuò)解:方程兩邊同乘以(x-3),

得2-x=-1-2,

解這個(gè)方程,得x=5.

錯(cuò)因分析:解分式方程應(yīng)先去分母,根據(jù)等式的性質(zhì),在方程兩邊同乘以(x-3)時(shí),應(yīng)注意乘以方程的每一項(xiàng).錯(cuò)解在去分母時(shí),常數(shù)項(xiàng)沒(méi)有乘以(x-3),另外求得結(jié)果沒(méi)有代入原方程中檢驗(yàn).

正解:方程兩邊同乘以(x-3),得2-x=-1-2(x-

3),解得x=3.

檢驗(yàn):將x=3代入原方程,可知原方程的分母等于0,所以x=3是原方程的增根,所以原方程無(wú)解.

點(diǎn)撥:解分式方程的基本思路是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.化為整式方程的關(guān)鍵做法是去分母,即方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母,將其化為已學(xué)過(guò)的整式方程來(lái)解.

二、去分母時(shí),分子是多項(xiàng)式未加括號(hào)

例2解方程 -=0.

錯(cuò)解:方程化為 -=0,

方程兩邊同乘以(x+1)(x-1),

得3-x-1=0,解得x=2.

所以方程的解為x=2.

錯(cuò)因分析:當(dāng)分式的分子是一個(gè)多項(xiàng)式,在去掉分母時(shí),應(yīng)將多項(xiàng)式用括號(hào)括起來(lái).錯(cuò)解在沒(méi)有用括號(hào)將(x-1)括起來(lái),出現(xiàn)符號(hào)上的錯(cuò)誤,而且最后沒(méi)有檢驗(yàn).

正解:方程兩邊同乘以(x+1)(x-1),

得3-(x-1)=0,

解這個(gè)方程,得x=4.

檢驗(yàn):當(dāng)x=4時(shí),原方程的分母不等于0,所以x=4是原方程的根.

點(diǎn)撥:方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母化為整式方程時(shí),如果方程中的某一項(xiàng)的分子是多項(xiàng)式的,要及時(shí)添上括號(hào),因?yàn)樵瓉?lái)的分?jǐn)?shù)線具有括號(hào)的作用.

三、方程兩邊同除以可能為零的整式

例3解方程= .

錯(cuò)解:方程兩邊同除以3x-2,

得= ,

去分母得x+3=x-4,所以3=-4,即方程無(wú)解.

錯(cuò)因分析:錯(cuò)解的原因是在沒(méi)有強(qiáng)調(diào)(3x-2)是否等于0的條件下,方程兩邊同除以(3x-2),結(jié)果導(dǎo)致方程無(wú)解.

正解:方程兩邊同乘以(x-4)(x+3),

得(3x-2)(x+3)=(3x-2)(x-4),

所以(3x-2)(x+3)-(3x-2)(x-4)=0.

即(3x-2)(x+3-x+4)=0.

所以7(3x-2)=0.

解得x=.

檢驗(yàn):當(dāng)x= 時(shí),原方程的左邊=右邊=0,所以x=是原方程的解.

點(diǎn)撥:在解分式方程時(shí),必須將其化為整式方程,這樣就要在分式方程的兩邊同乘(或除)以恰當(dāng)?shù)恼?當(dāng)這個(gè)整式的值為0時(shí),就產(chǎn)生了增根或丟根.

四、解分式方程漏檢驗(yàn)

例4解方程: += .

錯(cuò)解:方程兩邊同乘以(x+1)(x-1)得2(x-

1)+3(x+1)=6,整理得x=1,所以原方程的根為x=1.

錯(cuò)因分析:解分式方程是通過(guò)轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解的,其中有可能產(chǎn)生增根,因此必須檢驗(yàn).

正解:方程兩邊同乘以(x+1)(x-1) 得2(x-1)+3(x+1)=6,整理得x=1.

檢驗(yàn):當(dāng)x=1時(shí),(x+1)(x-1)=0,所以x=1是增根,原方程無(wú)解.

點(diǎn)撥:分式方程化為整式方程的過(guò)程中,兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母,這樣可能擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍,使本不相等的兩邊也相等了,這時(shí)就產(chǎn)生了增根.增根是整式方程的根,但不是原分式方程的根.把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母,看結(jié)果是否為零(即是否符合“分母不為零”的限制),如果分母不為零,則被驗(yàn)的根就是分式方程的根;如果使分母為零,則這個(gè)根就是增根,必須舍去.

五、對(duì)增根概念理解不透

例5如果分式方程-=-出現(xiàn)增根,則增根必為().

A.0B.1C.2D.0 或2

錯(cuò)解:D.

錯(cuò)因分析:錯(cuò)選D的原因是對(duì)分式方程根的概念理解不透,分式方程的根滿足分式方程去分母后的整式方程,同時(shí)該未知數(shù)的值會(huì)使原分式方程的最簡(jiǎn)公分母為零.此題去分母后所得方程為4-x=-a(x-2),當(dāng)x=2時(shí),方程左邊=2,右邊=0,所以x=2不可能為該整式方程的根,從而x=2不可能為原分式方程的根.

正解:A.

點(diǎn)撥:解分式方程有關(guān)根問(wèn)題時(shí),一定首先要弄清根的概念.

六、忽視“雙重”驗(yàn)根

例6某項(xiàng)工程,原計(jì)劃50人在若干天內(nèi)完成,開工時(shí)由于采用新技術(shù),工作效率提高了60%,現(xiàn)只派40人去工作,結(jié)果比原計(jì)劃提前3天完成任務(wù),求原計(jì)劃工作多少天?

解析:解此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用代數(shù)式表示出每人的日工作效率,等量關(guān)系是原來(lái)每人的日工作效率×(1+60%)=現(xiàn)在每人的日工作效率.

錯(cuò)解:設(shè)原計(jì)劃用x天完成,則現(xiàn)在實(shí)際只用了(x-3)天,原來(lái)每人的日工作效率為,現(xiàn)在每人的日工作效率為.依題意列方程得,

×(1+60%)= .

整理,得1.6×40(x-3)=50x.

所以x=.

經(jīng)檢驗(yàn)x=是原方程的解.

答:原計(jì)劃要工作天.

錯(cuò)因分析:以上將原方程解得的根x=代入檢驗(yàn),最簡(jiǎn)公分母不會(huì)為0,可知x=是原方程的解.但原計(jì)劃x=天完成,他們?cè)?0人的工作效率大于后40人的工作效率,與題意矛盾.出現(xiàn)這樣錯(cuò)誤的原因是,x=是原方程的解,但不是本題的解.

正解:設(shè)原計(jì)劃用x天完成,則現(xiàn)在實(shí)際只用了(x-3)天,原來(lái)每人的日工作效率為,現(xiàn)在每人的日工作效率為.依題意列方程得,

×(1+60%)= .

整理,得1.6×40(x-3)=50x.

所以x= .

經(jīng)檢驗(yàn)x=是原方程的解,但不符合題意,故原方程無(wú)解.

點(diǎn)撥:列分式方程解應(yīng)用題的步驟和列整式方程解應(yīng)用題的步驟相同:①弄清題意;②設(shè)定未知數(shù);③根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出分式方程;④解分式方程;⑤檢驗(yàn)并寫出問(wèn)題的答案,檢驗(yàn)時(shí)既要檢驗(yàn)得到的根是不是分式方程的增根,又要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際,即要“雙重”驗(yàn)根.

七、忽視對(duì)分式方程中字母系數(shù)的討論

例7 若關(guān)于x的方程=3無(wú)解,則a=___.

錯(cuò)解:由=3,得4-ax=3x+6.

(a+3)x=-2,解得x=-.

因原方程無(wú)解,故x+2=0.

即-+2=0,解得a=-2.

當(dāng)a=-2時(shí),原方程無(wú)解.

錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中由(a+3)x=-2直接得到x=

-是不恰當(dāng)?shù)?這樣做相當(dāng)于默認(rèn)了a+3≠0,即a≠-3.

正解:由原方程得4-ax=3x+6,則(a+3)x=-2.

分兩種情況討論:

(1)當(dāng)a+3≠0,即a≠-3時(shí),有x=-.

因原方程無(wú)解,故x+2=0.

-+2=0.解得a=-2.

當(dāng)a=-2時(shí),原方程無(wú)解.

(2)當(dāng)a+3=0時(shí),即a=-3時(shí),方程(a+3)x=-2無(wú)解,則原方程也無(wú)解.

綜上所述,當(dāng)a=-2或a=-3時(shí),原方程無(wú)解.

點(diǎn)撥:理解分式方程有解的含義是解決問(wèn)題的基礎(chǔ),有正數(shù)(或負(fù)數(shù))解是要在分式方程有解的前提下討論,所以在考慮具體解時(shí)一定要注意有解的條件不能忽視.在求出分式方程的解后,如果解中含有參數(shù),就要看看這個(gè)解是否會(huì)使原分式方程的分母為0.這些條件往往是隱蔽的,需要挖掘.

八、列方程組解應(yīng)用題題意理解錯(cuò)誤

例8有一群鴿子,飛過(guò)一顆高高的樹,一部分鴿子落在樹上,其他鴿子落在樹下.一只落在樹上的鴿子對(duì)落在樹下的鴿子說(shuō):“若你們飛上來(lái)一只,你們的數(shù)目就是鴿群的,若我們飛下去一只,我們和你們的數(shù)目恰好相等.”問(wèn)究竟有多少只鴿子在樹上,多少只鴿子在樹下?

錯(cuò)解:設(shè)有x只鴿子在樹上,有y只鴿子在樹下,由題意可知,

y-1= (x+y),①

x-1=y, ②

由①、②解得x=5,y=4.

錯(cuò)因分析:當(dāng)樹上的鴿子飛下去一只后,樹上的鴿子為(x-1)只, 樹下的鴿子應(yīng)為(y+1)只,而不是y只.

正解:設(shè)有x只鴿子在樹上,y只鴿子在樹下,由題意可知,

y-1= (x+y),

x-1=y+1,

解得x=7,y=5.

點(diǎn)撥:列方程組解應(yīng)用題既是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力的具體體現(xiàn),又是中考中的常見(jiàn)題型,如何才能正確地列出方程組是解題的關(guān)鍵,列方程組與列一元一次方程基本相似,基本步驟是審、設(shè)、列、解、答.

注意熟練掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟:

(1)設(shè):弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系,用字母(如x)表示題目中的一個(gè)未知數(shù);

(2)找:找到能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等的關(guān)系;

(3)列:根據(jù)這個(gè)相等的數(shù)量關(guān)系式,列出所需的代數(shù)式,從而列出一元一次方程;

分式方程應(yīng)用題范文第3篇

數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題是指能用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決的社會(huì)生活中有實(shí)際背景的實(shí)際問(wèn)題.這類題目的立意、實(shí)際背景、創(chuàng)設(shè)的情景、設(shè)問(wèn)的角度和方式新穎靈活，對(duì)考生的能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)要求較高，處于考查能力和素質(zhì)的要求，數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題成為近幾年中考的熱點(diǎn)之一.

近幾年全國(guó)各地的中考考題中，應(yīng)用性問(wèn)題的題型有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

（1）數(shù)學(xué)中考應(yīng)用題以函數(shù)、方程、不等式為主流，多以利潤(rùn)、設(shè)計(jì)、生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)等為背景，并呈現(xiàn)與函數(shù)、方程、不等式相結(jié)合的趨勢(shì).

（2）三角應(yīng)用題異軍突起，成為應(yīng)用性題目的一個(gè)新的命題熱點(diǎn)，主要考查航行、測(cè)量等實(shí)際生活問(wèn)題，主要體現(xiàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.考查知識(shí)點(diǎn)主要是平面幾何與三角函數(shù)等知識(shí)，難度較低.

（3）概率統(tǒng)計(jì)型應(yīng)用題老生常談，經(jīng)常與圖表結(jié)合.

應(yīng)用題目的命制突出學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題能力的考查，體現(xiàn)“貼近生活、背景公平、控制難度”的命題原則，小題鮮活，大題不難.

二、命題預(yù)測(cè)

隨著新課標(biāo)的實(shí)施和中考改革的不斷深入，對(duì)應(yīng)用性題目的考查越來(lái)越重視.預(yù)計(jì)在今后的考查中，不但會(huì)加大題量，而且還會(huì)從廣度和一定的深度上全方位考查，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

三、破解策略

1.攻略之一―――學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模分析的步驟

應(yīng)用性問(wèn)題解決的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，完成整個(gè)解題過(guò)程大體可以分為四個(gè)步驟：

（1）讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出主要關(guān)系；

（2）建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題；

（3）求解：化歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；

（4）評(píng)價(jià)：對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估，對(duì)錯(cuò)誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，作出解釋或驗(yàn)證.

例1.夏季來(lái)臨，天氣逐漸炎熱起來(lái)，某商店將某種碳酸飲料每瓶的價(jià)格上調(diào)了10%，將某種果汁飲料每瓶的價(jià)格下調(diào)了5%.已知調(diào)價(jià)前買這兩種飲料各一瓶共花費(fèi)7元，調(diào)價(jià)后買上述碳酸飲料3瓶和果汁飲料2瓶共花費(fèi)17.5元，問(wèn)這兩種飲料在調(diào)價(jià)前每瓶各多少元？

分析：先設(shè)這兩種飲料在調(diào)價(jià)前每瓶各x元、y元，根據(jù)調(diào)價(jià)前買這兩種飲料各一瓶共花費(fèi)7元，調(diào)價(jià)后買上述碳酸飲料3瓶和果汁飲料2瓶共花費(fèi)17.5元，列出方程組，求出解即可.

3元，果汁飲料每瓶的價(jià)格為4元.

：此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出之間的等量關(guān)系，列出方程再求解.利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給出兩個(gè)等量關(guān)系，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系并用方程組表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵.

2.攻略之二―――掌握數(shù)學(xué)建模分析的具體方法

注意總結(jié)解初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的基本模式，以便在解題過(guò)程中能盡快找到解題方法，達(dá)到“生中見(jiàn)熟”的效果.如行程、工程、濃度等問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組）的求解問(wèn)題；利潤(rùn)最大、造價(jià)最低、容積（面積）最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)；應(yīng)用題與平面圖形有關(guān)時(shí)，如拱橋設(shè)計(jì)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；航海、測(cè)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題等.一般可采用關(guān)系分析法、列表分析法、圖象分析法等方法，分析題目的層次、領(lǐng)會(huì)關(guān)鍵詞語(yǔ)、弄清題圖關(guān)系、重視條件轉(zhuǎn)譯、準(zhǔn)確建模.

例2.甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包某一城市美化工程，已知甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要30天，若由甲隊(duì)先做10天，剩下的工程由甲、乙兩隊(duì)合作8天完成.問(wèn)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？若設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天.則可列方程為（）

分析：設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，由題意可得等量關(guān)系：甲10天的工作量+甲與乙8天的工作量=1，再根據(jù)等量關(guān)系列方程即可.

解：設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，由題意得：

故選：C

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，關(guān)鍵是弄清題意，找出題目中的等量關(guān)系，再列出方程.此題用到的公式是：工作效率×工作時(shí)間=工作量.

3.攻略之二―――注重?cái)?shù)形結(jié)合逐步翻譯條件

應(yīng)用性問(wèn)題往往有大段的文字描述，在解答過(guò)程中要認(rèn)真讀題、審題.通過(guò)審題領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)的本質(zhì)，并且要養(yǎng)成邊讀題邊畫圖的習(xí)慣，樹立數(shù)形結(jié)合意識(shí)，把抽象繁瑣的文字?jǐn)⑹觯鸩椒g為具體直觀的圖形關(guān)系.

例3.吉首城區(qū)某中學(xué)組織學(xué)生到距學(xué)校20km的德夯苗寨參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，一部分學(xué)生沿“谷韻綠道”騎自行車先走.半小時(shí)后，其余學(xué)生沿319國(guó)道乘汽車前往，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)（兩條道路路程相同），已知汽車速度是自行車速度的2倍，求騎自行車學(xué)生的速度.

經(jīng)檢驗(yàn)：x=20是原分式方程的解.

分式方程應(yīng)用題范文第4篇

考點(diǎn)一、分式方程的解

例 1(1)分式方程 =的解是( ).

A.-3B.2C.3D.-2

(2)分式方程= 的解是( ).

A.x=1 B.x=-1C.x=3 D.x=-3

解析:根據(jù)方程解的意義,將各選項(xiàng)逐一代入方程進(jìn)行檢驗(yàn),利用排除法,滿足方程的即為方程的解,不滿足的即不是方程的解,故(1)C; (2) D.

點(diǎn)撥: 在代入檢驗(yàn)時(shí),應(yīng)注意不能使分式方程的分母為0.

考點(diǎn)二、列分式方程

例 2(1)貨車行駛25千米與小車行駛35千米所用時(shí)間相同,已知小車每小時(shí)比貨車多行駛20千米,求兩車的速度各為多少?設(shè)貨車的速度為

x千米/小時(shí),依題意列方程正確的是().

A. = B. =

C.=D. =

(2)某施工隊(duì)挖掘一條長(zhǎng)90米的隧道,開工后每天比原計(jì)劃多挖1米,結(jié)果提前3天完成任務(wù),原計(jì)劃每天挖多少米?若設(shè)原計(jì)劃每天挖x米,則依題意列出正確方程的是( ).

A. -=3B.- =3

C.-=3 D. - =3

解析:(1)設(shè)貨車的速度為x千米/小時(shí),則設(shè)小車的速度為(x+20)千米/小時(shí),貨車行駛25千米所需時(shí)間為小時(shí),小車行駛35千米所需時(shí)間為小時(shí),根據(jù)等量關(guān)系:貨車行駛25千米所用的時(shí)間=小車行駛35千米所用的時(shí)間,易列出分式方程.

(2)若設(shè)原計(jì)劃每天挖x米,則開工后每天挖(x+1)米,那么原計(jì)劃用的時(shí)間為天,開工后用的時(shí)間為天,因?yàn)樘崆?天完成任務(wù),所以得-=3,故(1)C; (2)C.

點(diǎn)撥:列分式方程與列整式方程一樣,關(guān)鍵是要找出題中的等量關(guān)系.對(duì)于行程問(wèn)題、工程問(wèn)題,要理清速度、時(shí)間和路程以及工作效率、工作時(shí)間、工作總量之間的關(guān)系.

考點(diǎn)三、解分式方程

例 3(1)解方程: -1=.

(2)解方程: =.

解析:先確定最簡(jiǎn)公分母,各項(xiàng)同乘最簡(jiǎn)公分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,解這個(gè)整式方程,將解得的根代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn).

(1)去分母得,x(x+2)-(x-1)(x+2) =3 .

化簡(jiǎn)得,x+2=3 .

移項(xiàng)合并得,x=1 .

經(jīng)檢驗(yàn)x=1不是原方程的解,所以原方程無(wú)解.

(2)原方程變形為= .

方程兩邊同乘以x(x-1)2去分母得,x-1=2x .

解這個(gè)整式方程得,x=-1 .

經(jīng)檢驗(yàn) x=-1是原方程的根.

點(diǎn)撥:解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,去分母是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的關(guān)鍵.如果分母是多項(xiàng)式,能因式分解的一定先因式分解,再找最簡(jiǎn)公分母;去分母時(shí),要找準(zhǔn)最簡(jiǎn)公分母,并用它乘以方程的每一項(xiàng),不要漏乘不含分母的項(xiàng).需要特別強(qiáng)調(diào)的是分式方程必須檢驗(yàn).

考點(diǎn)四、參數(shù)的取值范圍

例4(1)已知關(guān)于x的方程=3的解是正數(shù),則m的取值范圍為___________ .

(2)已知關(guān)于x的分式方程=1的解是非正數(shù),則a的取值范圍是___________.

解析: (1)去分母得2x+m=3(x-2),解得x=m+6, 因?yàn)閤為正數(shù),故m+6>0,所以m>-6,當(dāng)m=-4時(shí),x=2,此時(shí)分式方程無(wú)解,故m的取值范圍為m>-6 且m≠-4.

(2)解關(guān)于x的分式方程,去分母,得a+2=x+1,得到x=a+1,

因?yàn)榉匠痰慕鉃榉钦龜?shù),所以x≤0,即a+1≤0,解得a≤-1,

又當(dāng) a= -2時(shí),x= -1,此時(shí)分式方程無(wú)解,所以a 的取值范圍是a≤-1且a≠-2.

故 (1)m>-6 且m≠-4;(2)a≤-1且a≠-2.

點(diǎn)撥: 解關(guān)于x的分式方程得到方程的解,再根據(jù)解所滿足的條件得到不等式,通過(guò)解不等式求得參數(shù)的取值范圍.但應(yīng)特別注意參數(shù)的取值不能使分式方程無(wú)解.

考點(diǎn)五、分式方程的應(yīng)用

例 5(1)小明到距家2.4千米的體育館看球賽,進(jìn)場(chǎng)時(shí),發(fā)現(xiàn)門票落在家中,此時(shí)距離開賽還有45分鐘,于是他立即步行(勻速)回家取票,在家取票用時(shí)2分鐘,取到票后,他馬上騎自行車(勻速)趕往體育館.已知小明騎自行車從家趕往體育館比從體育館步行回家所用時(shí)間少20分鐘,騎自行車的速度是步行速度的3倍.

①小明步行的速度(單位:米/分鐘)是多少?

②小明能否在球賽開始前趕到體育館?

(2)我市某縣為創(chuàng)建省文明衛(wèi)生城市,計(jì)劃將城市道路兩旁的人行道進(jìn)行改造,經(jīng)調(diào)查可知,若該工程由甲工程隊(duì)單獨(dú)來(lái)做恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成;若該工程由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成,則需要的天數(shù)是規(guī)定時(shí)間的2倍,若甲、乙兩工程隊(duì)合作6天后,余下的工程由甲工程隊(duì)單獨(dú)來(lái)做還需3天完成.

①問(wèn)該縣要求完成這項(xiàng)工程規(guī)定的時(shí)間是多少天?

②已知甲工程隊(duì)做一天需付工資5萬(wàn)元,乙工程隊(duì)做一天需付工資3萬(wàn)元.現(xiàn)該工程由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作完成,該縣準(zhǔn)備了工程工資款65萬(wàn)元,請(qǐng)問(wèn)該縣準(zhǔn)備的工程工資款是否夠用?

解析:(1)①2.4千米=2 400米的路程步行時(shí)間比騎自行車的時(shí)間多用20分鐘,這是本題列方程的等量關(guān)系;②只要算出了步行和騎車的時(shí)間,那么來(lái)回的時(shí)間加上在家取票的時(shí)間如果小于45分鐘,則能趕到,否則不能趕到;(2)①根據(jù)題意,規(guī)定時(shí)間就是甲單獨(dú)完成所需要的時(shí)間,設(shè)規(guī)定時(shí)間是x天,那么甲單獨(dú)完成的時(shí)間就是x天,乙單獨(dú)完成的時(shí)間為2x天,總工作量為1,則甲、乙的工作效率分別為 ,,甲、乙兩工程隊(duì)合作6天的工作量表示為6(+),甲又單獨(dú)干了3天的工作量為,所以列方程 6(+)+=1;②由①可知甲乙分別單獨(dú)完成所需要的時(shí)間,則兩隊(duì)合作所用的時(shí)間可求,從而可進(jìn)一步求出所需的工程工資款,通過(guò)比較,作出判斷.

(1)①設(shè)步行的速度為x米/分鐘,則騎自行車的速度為3x米/分鐘.

依題意得-=20,解得x=80.

答:小明步行的速度是80米/分鐘.

②來(lái)回取票總時(shí)間為:++2=

42

故能在球賽開始前趕到體育館.

(2)①設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天;根據(jù)題意可得,

6(+)+=1,解這個(gè)方程得x=12,

經(jīng)檢驗(yàn) x=12是原方程的解.

②由①可知,由甲工程隊(duì)單獨(dú)做需12天,乙工程隊(duì)單獨(dú)做需24天,

所以甲乙兩工程隊(duì)合作需要的天數(shù)是:

1÷(+)=8天,

則所需工程工資款為(5+3)×8=64萬(wàn)

分式方程應(yīng)用題范文第5篇

一、良好的知識(shí)歸納推理能力

初一學(xué)生剛?cè)雽W(xué)，能力只限于小學(xué)的運(yùn)算和公式，思維方面的訓(xùn)練也是一點(diǎn)點(diǎn)，而中學(xué)面臨強(qiáng)大的中考?jí)毫Γ沟梦覀儾坏貌贿M(jìn)行系統(tǒng)的能力訓(xùn)練，而基礎(chǔ)的歸納推理能力首當(dāng)其沖。比如，初一教學(xué)有理數(shù)時(shí)，對(duì)于有理數(shù)的四則運(yùn)算，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)問(wèn)題還不大，但是涉及邏輯推理能力的問(wèn)題就容易丟分。所以，我們要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生邏輯推理能力的訓(xùn)練。

比如，在教學(xué)函數(shù)的知識(shí)時(shí)，我們把每一函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)都?xì)w納起來(lái)形成一定的文字，反復(fù)強(qiáng)化，讓在學(xué)生在腦海里形成一定的文字，不愁學(xué)不會(huì)函數(shù)。如果我們這三年每教一部分新東西都這樣訓(xùn)練，那么三年下來(lái)，學(xué)生的思維能力如何不提高？如何還拿不到基礎(chǔ)分以上的能力題的分值？

二、完善的數(shù)學(xué)建模能力

學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)（式）運(yùn)算、分式運(yùn)算、解方程等只要用心學(xué)，還是有章可循的，不至于束手無(wú)策，可有些學(xué)生只要碰到函數(shù)和方程應(yīng)用題，一分也拿不到，只好忍痛割“分”，讓許多女孩梨花帶露；一些男孩憤然離席。難，難在哪里？難在建模上。數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)具體問(wèn)題，找出解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)框架，求出答案，并驗(yàn)證。常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型有幾何圖形模型、方程及不等式（組）模型、三角函數(shù)模型、函數(shù)模型，這里重點(diǎn)說(shuō)說(shuō)方程和函數(shù)的應(yīng)用，因?yàn)樗鼈冊(cè)诔踔姓紦?jù)很大分量，如，一次方程、二次方程、分式方程，函數(shù)中的一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)，而且影響以后高中的學(xué)習(xí)。方程應(yīng)用題的處理就在于等量關(guān)系的確立，題中有明顯的等量關(guān)系（簡(jiǎn)單題）或隱含的等量關(guān)系（拔高題）。不建立“已知與未知的同等對(duì)待”這一模型，就很難學(xué)會(huì)初中整式方程、分式方程的應(yīng)用。

又如，行程問(wèn)題，這一類應(yīng)用題類型的基本等量關(guān)系式是時(shí)間×速度=路程。如果用含時(shí)間和速度的整式表示路程則為整式方程；如果用路程和未知數(shù)時(shí)間的式子表示速度或如果用路程和未知數(shù)速度的式子表示時(shí)間則為分式方程，這一結(jié)論也可應(yīng)用到工程問(wèn)題中。

再如，函數(shù)，一部分學(xué)生一看到函數(shù)題目就選擇放棄，因?yàn)榭床欢鋵?shí)函數(shù)入門并不難。

第一步：就從幾個(gè)最典型的圖例入手，一天中氣溫隨時(shí)間的變化而變化圖，身高隨年齡的變化而變化圖等都可作為圖例，了解兩個(gè)變量之間的關(guān)系，建立腦中函數(shù)反映的是兩個(gè)變量之間的關(guān)系，就建立了初步的函數(shù)概念。

第二步：雖然函數(shù)有列表、解析、圖像三種表現(xiàn)形式，但函數(shù)圖像尤為重要，其實(shí)函數(shù)圖像并不難理解，就是把反映函數(shù)的兩個(gè)變量中自變量當(dāng)橫標(biāo)，另一變量當(dāng)縱標(biāo)，把它們放在笛卡兒坐標(biāo)系中，就建立了函數(shù)圖像模型。弄懂函數(shù)圖像中自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，提煉圖像中的信息。如，同樣是一次函數(shù)的圖像，有的反映的是路程與時(shí)間的關(guān)系；有的反映的是路程與速度的關(guān)系；有的反映的是時(shí)間與速度的關(guān)系，圖像一樣，但意義不同。一定要弄清函數(shù)圖像中是哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

舉例說(shuō)明：某公司專銷產(chǎn)品A，第一批產(chǎn)品A上市40天全部售完。該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中圖1中的折線表示的是市場(chǎng)日銷量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖2中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系。

1.試寫出第一批產(chǎn)品A的市場(chǎng)日銷量y與上市時(shí)間t的關(guān)系式；

2.第一批產(chǎn)品上市A后，哪一天這家公司市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？