數學思維的含義
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數學思維的含義范文第1篇
學生進入高中，學習集合這一基本工具后，就開始了高中函數的學習。用集合的觀點定義了函數，進而開始了對函數的研究。然而，不管是求函數解析式、值域，還是研究其性質，都離不開對定義域的研究。
一、函數關系式與定義域
函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：
例1：用籬笆圍一個矩形菜園，現有籬笆總長度為100m，求矩形菜園的面積S與矩形長x的函數關系式？
解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=（50-x）
故函數關系式為：S=x（50-x） .
如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍： 0
即：函數關系式為：S=x（50-x） （0
這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。這體現了思維的嚴密性，培養學生此項品質是十分必要的。
另外如：y=x和 雖然對應關系相同，但定義域不同，也是不同的函數。
二、函數值域與定義域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：
例2：求函數 的值域.
錯解：令
故所求的函數值域是 .
剖析：經換元后，應有t≥0，而函數 在[0，+∞）上是增函數，
所以當t=0時，ymin=1.
故所求的函數值域是[1， +∞）.
以上例子說明，變量的允許值范圍的重要性，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。
求函數值域，往往也會想到函數最值的求解。這里以二次函數
為例舉例說明。
例3：求函數 在[1，4]上的最值.
解：
當 時，
初看本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到此題定義域不是R，而是[1，4]。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。學生只知道利用對稱軸求二次函數最值。然而，那往往是定義域是R的時候，當條件改變時，需要考慮完善。本題還要繼續做下去：
f（4）=42-4x4-5=-5
函數 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.
這個例子說明，在函數定義域受到限制時，應注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，這說明思維的靈活性很重要。
三、函數單調性與定義域
函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：
例4：求出函數f（x）=1n（4+3x-x2）的單調區間.
解：先求定義域：
函數定義域為（-1，4）.
令 ，知在 上時，u為減函數，
在 上時， u為增函數。
又
即函數 的單調遞增區間 ，單調遞減區間是 。
如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，在做練習或作業時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。此題正解應該是函數 的單調遞增區間 ，單調遞減區間是 。
四、函數奇偶性與定義域
判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：
例5：判斷函數 的奇偶性.
解： 定義域區間 不關于坐標原點對稱
函數 是非奇非偶函數.
若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性
如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性可能得出如下錯誤結論：
函數 是奇函數.
綜上所述，在求解函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生辨析理解能力，有利于培養學生的數學思維品質，激發學生的創造力。
參考文獻：
數學思維的含義范文第2篇
關鍵詞：小學數學；符號；閱讀興趣；方法
著名數學家華羅庚指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之變，生物之迷，日用之繁”無一能離開數學。對數學地位如此精辟的概述，可見數學傳遞給世界的，除了邏輯推理知識以外，也有其獨特的藝術魅力。農村小學生參與到家務工作中去的時間較多，在基礎理論方面的把握和理解上相對薄弱，因此，需要從數學符號本身傳達的實質含義、生活化含義入手，培養學生對數學符號的閱讀興趣，使學生在閱讀數學符號的同時能夠感受到數學邏輯思維帶給他們的愉悅的情感體驗。
一、從數學符號開始閱讀
“×÷■±≠=≮≯∑”是運算符號；“∠⌒≌°|a|∽”是幾何符號；“∪∩∈Φ？埭”是集合符號；“@ # ￥”是特殊符號；“ ”是推理符號。數學符號作為一種語言象征獨立于其他類別的語言符號而存在，它們的出現比數字出現要晚得多，人類創造了數字并付諸實踐，發現單純的數字呈現并不能完整意義地說明數量之間的邏輯關系。因此，在早期貨物交換過程中，為了表達數量之間的邏輯關系，人們不得不再進行口語化解釋。后來口語現場解釋解決不了異地、非面對面的交易問題，因此，數學符號隨著書面文字的發展就應運而生了。如，“+”來源于十六世紀意大利科學家塔塔里亞的數理運算，它用意大利文“plu”的首個字母來表示“加”。隨著時代的遷移最終演變為“+”的形態并沿用至今。
農村小學生基礎數理知識的學習，要從符號抓起。而讓他們愛上數學要從愛上閱讀數學符號開始，而愛上數學符號又要從解讀數學符號的真實含義開始。
二、融入生活中的數學閱讀
數學教師用自己的符號語言在黑板上做了如下表述：2x+3y+z=13，不出現一個漢字。學生問老師：“這些符號是什么意思呢？”學生A回答說：這是個和蘋果有關的故事，甲小孩拿了2個蘋果，乙小孩拿了3個蘋果，丙小孩拿了1個蘋果，一共拿走了13個蘋果。學生B回答說：這是一個三元一次方程式，已知數是“2、3、1和13”，x、y、z是這個不定式方程的求解未知數。學生C回答說：將x乘以2，將y乘以3，將z乘以1，三者相加的結果是13，問x、y、z各是多少？
老師笑了笑說：這些符號語言，就是我們用來進行數學學習的工具――數學符號。里面的2、3、1、+、=都是符號化的數學語言。但是三個學生的理解是有偏差的，A同學看到的是語言情境，B同學看到的是語言形式，只有C同學看到的才是符號本來的含義。從句式結構上講，同學B口中的三元一次方程式既不能是陳述句，又不會是感嘆句，而應該是疑問句。方程式在沒有正式解答之前都是疑問句。
數學符號的實質含義都是一種沒有答案的邏輯推理，將文字語言和數學符號相互轉換能夠最大限度地激發學生對符號的學習積極性，從而提高學生對數學題目的生活化閱讀能力。
三、感受數學符號化語言帶來的閱讀體驗
數學符號就像是積木，每一個小小游樂園里的建筑物都是由不同形狀、不同顏色的積木塊搭建而成，而這些積木構造中又蘊含了建筑知識的所有信息，需要搭建者去認知、領悟、理解和應用。學生除了要知道積木的“形狀、顏色、構造”等本質特征以外，還需要進步掌握A積木與B積木或者C積木之間的建構關系，在積木搭建過程中應用好這些積木之間的邏輯關系，從而搭建出理想中城堡的樣子。
符號串聯融入習題的教學方法給學生帶來了一種不一樣的思維模式，傳統課堂上學生只知道數學符號是解題的線索和答題的工具，并不完全了解數學符號在數學發展史中舉足輕重的地位。而符號融入高中數學教學中，最大限度地將數學符號的原始面貌呈現在學生面前，讓學生“腦洞大開”，思維上受到不一樣的洗禮，長遠來看，是非常具有數學意義的。
數學閱讀能力提升的關鍵在于對數學符號解讀能力的提升，而農村小學生讀懂了加減乘除的本質含義，就能讀懂整個基礎運算中數學學習的深層次魅力。
數學思維的含義范文第3篇
【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A 【文章編號】0450-9889(2012)06A-0085-02
數學語言是數學化了的自然語言，是表達科學思想的通用語言和數學思維的最佳載體。它包含符號語言、文字語言和圖表語言，具有簡練、抽象、清楚以及形式多樣的特點。無論是符號語言還是圖表語言，最終讓學生理解其含義都要通過文字語言的表述，所以，這里重點闡述數學的文字語言。
一、數學文字語言的特點
1.準確性。
自然語言具有多義性，含糊不清，而數學語言必須準確、嚴密、清楚，不存在歧義，它是表達數學概念、判斷、推理、定理的邏輯思維語言，與富有彈性的文學語言相比，數學語言有一副“鐵板的面孔”。它的每個字、詞都有確切的含義，不容混淆。“一元一次方程”與“一元二次方程”、“直線和射線”、“鈍角和銳角”等，一字之差，表示完全不同的兩個概念；詞序顛倒，也會表達兩種不同的意思，如“全不為零”與“不全為零”、“方程解”與“解方程”等。數學語言中，句子的附加成分常常作為條件，如定義“底面是正多邊形的直棱柱”中的定語，定理“平行四邊形中，對角線互相平分”中的狀語，都是不可增刪的條件，這就是數學特有的性質——數學語言的準確性。
2.嚴謹性。
數學還有一副鋼制的骨架——嚴謹的邏輯。特殊不能代替一般，部分不能代替整體，不能臆斷、不能循環論證等。這些特點決定數學概念要表述準確，判斷和推理要嚴密，敘述要合乎邏輯。所以，教學中教師要做到：講概念，抓住實質，準確無誤；做推理，步步有據，完整周詳；得規律，字斟句酌，無懈可擊。不僅如此，還要對概念的定義進行解剖，對定理、法則中的關鍵詞語下一番咬文嚼字的功夫，并適當輔以反例，以明確概念的內涵。如，一位教師在教學分數的初步認識時，指著一張紙的四分之一處說：這是四分之一。這句話準確嗎?是不是缺少一些修飾語呢?數字只是一種“表示”符號。注意我這里強調的是一種“表示”，決不能說它“是”什么。如不能指著你的手說這是“5”，而應說這是5個手指頭，再如有3棵樹，不能指著樹說：這是3，而應說這是3棵樹。所以，剛才提到的分數初步認識的四分之一正確的說法是：可以用四分之一來表示，或者占這張紙的四分之一，是這張紙的四分之一等。這樣的數學語言才準確、嚴謹、規范。再如，分數的基本性質，分數的分子和分母同乘或除以一個相同的數(零除外)，分數的大小不變。這句話里的“同時”、“相同”、“零除外”這些詞概括得非常準確、嚴謹，缺一不可，如果沒有這些詞分數的基本性質就不成立了。
3.簡潔性。
數學的邏輯嚴謹、高度抽象必然帶來數學語言的精練。用數學語言表達數學事實，要特別注意詳略得當，簡潔明了，凡重復的或多余的敘述應力求避免，而必須交代的事項則一定要闡述清楚，不可省略。例如加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置和不變。簡短的一句話包含了三層意思：研究范圍是兩個加數，交換加數的位置，和不變。應該說不能再少一個字了。再如三角形的定義，由三條線段圍成的圖形。只有10個字，“三條”、“線段”、“圍成”、“圖形”再加上連接詞“由”和“的”，概括得嚴密準確，惜字如金，沒有任何多余成份。
二、如何教學數學的文字語言
1.找準每節課的核心數學語言或關鍵詞。
數學內容是由數學語言構成的，數學教學就是數學語言的教學。教師根據教學內容，在教學時要盡量把每一節課的數學知識提煉成一兩句數學語言或一兩個關鍵詞，緊扣數學語言或關鍵詞展開教學。這樣，學生不僅能理解數學知識，更能夠發展思維，增長智慧。
如，教學長、正方形的周長，關于周長的描述，“圍成物體一周的總長，叫做這個物體的周長”，“圍成圖形一周的總長，就是這個圖形的周長”，這里要凸顯“一周”、“總長”。
又如，教學“面積”時，“物體表面的大小或封閉圖形的大小叫做面積”。這里要突出“表面”和“封閉圖形”，教師在教學時表述要準確、清楚，如黑板面的大小、課桌面的大小、數學書封面的大小、墻壁面的大小等。
再如，在“分數的初步認識”一課中，把一個物體平均分成(
)份，其中的一份是這個物體的(
)，這句話要讓學生結合具體物體才能夠完整地表述出來，就是說，不要求學生用語言概括出分數的意義，但要能夠結合具體物體把某一具體分數的含義表述完整，這樣才能說明學生真正理解了某一分數表示的含義，否則就是一本糊涂賬。通過這種數學語言的教學，學生才能真正理解數學知識的含義，發展思維，增長智慧。
2.數學語言的抽象過程要清晰。
數學語言的抽象就是從眾多的生活事實中舍棄非數學的，提取出共性的、共同的、數學特有的東西。提取的時候要分成兩步，首先，相關的生活事實要豐富，其次，進行去粗取精，去偽存真，提煉出數學本質的東西。如教學長方形、正方形的周長，教師可以先用鏡框的邊線進行引入：“圍成這個鏡框一周木線條的總長，就叫做這個鏡框的周長。”教師一邊說一邊用手比劃，接著問：“什么是黑板的周長?”同樣讓學生一邊用手比劃，一邊用語言描述。再接著讓學生描述什么是講桌的周長、教室里墻壁上畫框的周長、窗戶玻璃的周長等。最后讓學生撇開這些具體的實物，用一句話來概括到底什么叫物體的周長?引導學生總結出：圍成物體一周的總長度，叫做物體的周長。即先結合具體實物用數學語言進行描述，接著再引導學生撇開具體實物概括出純數學語言。
3.概括時要突凸顯數學語言的核心詞。
語文教學中要抓住關鍵詞、關鍵句進行教學，同樣數學教學中也要抓住關鍵詞、句進行教學。如上述的物體的周長描述中的“圍成”、“一周”、“總長”，就是周長定義的關鍵詞，學生進行總結的時候，教師要引導學生把這些關鍵性的詞語凸顯處理。那么，如何才能凸顯這些關鍵詞呢?
首先，舉反例引出關鍵詞，如孩子在概括周長的時候，如果沒有加上“圍成”這個詞，教師可以在黑板上隨手畫上一片樹葉，并用紅筆描出大半個周長，質疑學生這是這片樹葉的周長嗎?引出“圍成”這個詞，說明“圍成”是要首尾相連和封閉的。
其次，教師表述時語調要加重，以便引起學生注意。如上述周長的描述，教師在讀圍成物體一周的總長，叫做這個物體的周長的時候，特意把“圍成”、“一周”、“總長”詞語加重，便于引起學生注意。這樣，物體的周長含義在學生頭腦中才會印象深刻，而且清晰、明了。這既培養了學生的語言概括能力，又發展了學生的數學思維。
數學思維的含義范文第4篇
一、由于數學語言的高度抽象性，數學閱讀需要較強的邏輯思維能力
在閱讀過程中，讀者必須認讀感知閱讀材料中有關的數學術語和符號，理解每個術語和符號，并能正確依據數學原理分析它們之間的邏輯關系，最后達到對材料的本真理解，形成知識結構，這中間用到的邏輯推理思維特別多。而一般閱讀“理解和感知好像融合為一體，因為這種情況下的閱讀，主要的是運用已有的知識，把它與新的印象聯系起來，從而掌握閱讀的對象”，較少運用邏輯推理思維。
二、數學語言的特點也在于它的精確性
每個數學概念、符號、術語都有其精確的含義，沒有含糊不清或易產生歧義的詞匯，數學中的結論錯對分明，不存在似是而非模棱兩可的斷言，當一個學生試圖閱讀、理解一段數學材料或一個概念、定理或其證明時，他必須了解其中出現的每個數學術語和每個數學符號的精確含義，不能忽視或略去任何一個不理解的詞匯。因此，瀏覽、快速閱讀等閱讀方式不太適合數學閱讀學習。
三、數學閱讀要求認真細致
閱讀一本小說或故事書時，可以不注意細節，進行跳閱或瀏覽無趣味的段落，但數學閱讀由于數學教科書編寫的邏輯嚴謹性及數學 “言必有據”的特點，要求對每個句子、每個名詞術語、每個圖表都應細致地閱讀分析，領會其內容、含義。對新出現的數學定義、定理一般不能一遍過，要反復仔細閱讀，并進行認真分析直至弄懂含義。數學閱讀常出現這種情況，認識一段數學材料中每一個字、詞或句子，卻不能理解其中的推理和數學含義，更難體會到其中的數學思想方法。數學語言形式表述與數學內容之間的這一矛盾決定了數學閱讀必須勤思多想。
四、數學閱讀過程往往是讀寫結合過程
一方面，數學閱讀要求記憶重要概念、原理、公式，而書寫可以加快、加強記憶，數學閱讀時，對重要的內容常通過書寫或作筆記來加強記憶；另一方面，教材編寫為了簡約，數學推理的理由常省略，運算證明過程也常簡略，閱讀時，如果從上一步到下一步跨度較大，常需紙筆演算推理來“架橋鋪路”，以便順利閱讀；還有，數學閱讀時常要求從課文中概括歸納出一些東西，如解題格式、證明思想、知識結構框圖，或舉一些反例、變式來加深理解，這些往往要求讀者以注腳的形式寫在頁邊上，以便以后復習鞏固。
五、數學閱讀過程中語意轉換頻繁，要求思維靈活
數學思維的含義范文第5篇
一、 加強數學概念、術語的教學，奠定數學語言表達的基礎
要求學生能用準確、簡潔、規范的數學語言表達思維活動的過程，這是培養學生數學語言表達的目的之一。要想達到這一目的，就必須在課堂教學中突出數學語言的訓練。
概念是思維的基礎，思維是語言的先導。語言只是思維活動的外顯表現形式。因此在數學語言的訓練中，教師必須加強數學概念和術語的教學。
在教學中，教者首先要用準確、規范、簡潔的數學語言來講課，以體現數學語言表達的示范、引導作用。常常可以要求學生跟著教者一起表述數學問題。讓學生從中得到模仿，學會表述。其次，要促使學生掌握常用的數學術語“和”“差”“積”“商”…的含義，并能正確地使用。第三要求學生對數學概念不但要了解其含義，而且要能知道它的內涵和外延，真正地得到理解。第四在教學中，除了通過直觀、演示等手段，讓學生理解數學問題中的有關詞語的含義外，還要對一些詞語進行替換，省略或換位的訓練。教會學生會把“節省”“增加”，換成“比…少…”，“比…多…”字句；把“比”字句變成“是”字句；將逆向結構句轉化成順向結構句。通過訓練，讓學生掌握語言的轉化方法，思路就會開闊、思維就靈活，數學語言的表達就會更加清晰、簡明。
二、重視操作、演示過程的敘述訓練，培養學生有序思維
九年制義務教育教材中，加強了學生的操作訓練，對培養學生初步的邏輯思維能力很有益處。教學時，人們常常采用直觀演示、動手操作等方法，為學生形成概念提供大量的、豐富的感性材料，但教學效果往往不理想。究其原因，是直觀之后缺乏表象加工，把實際操作與抽象概括割裂開來。
教學中應注意引導學生對實際操作和直觀演示的過程進行整理、復述。通過語言表達來對表象進行加工，這樣，就符合了學生的認知規律：具體——表象——抽象——概括，將所學知識牢固地加以掌握。
例如，在教學長方形面積的計算時，先引導學生觀察：教師在投影上是怎樣求長方形上擺邊長是1厘米的正方形的。使學生清楚地看到：在長方形上，沿著長方形的長，正好擺了5個正方形，而正方形的個數與長方形的厘米數相同。沿著長方形的寬，可以擺3個邊長1厘米的正方形，也就是說可以擺3排，這恰好與長方形寬的厘米數相同。由此，引導學生得出長方形的面積與長和寬的關系：長方形的面積等于長乘以寬。一般教學到此為止。但如果在此基礎上，再讓學生說說操作演示的過程，及時通過語言進行歸納、整理。這樣學生通過操作、觀察，建立表象，經過思考，語言概括表述：長方形面積與長方形長和寬之間的關系，進行抽象概括。使學生的思維有序，促進學生邏輯思維的發展。 轉貼于
三、注重思維過程的表述訓練，培養學生思維有據
準確、流暢、完整的語言表述，既可以衡量學生的理解程度，又能促進學生掌握數學知識。學生在進行語言表述時，必然要對自己的思維進行一番“去粗取精、去偽去真”，然后才能用語言有條有理地表達出來。因此，注重思維過程的表述訓練，有利于培養學生思維有據。
例如，必須讓學生說出思維的過程①23×4想：因為20×4=80，3×4=12，80+12=92，所以23×4=92；②口算：230×4，想法一：因為200×4=800，30×4=120，800+120=920，所以230×4=920；想法二：因為23×4=92，所以230×4=920。
四、突出思維方法的表述訓練，培養學生思維有路
