不等式證明數學教案

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教學目標

（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式；

（3）能靈活根據題目選擇適當地證明方法來證不等式；

（4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養學生分析問題、解決問題的能力；

（6）通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；

（7）通過組織學生對不等式證明方法的意義和應用的參與，培養學生勤于思考、善于思考的良好學習習慣．

教學建議

（一）教材分析

1．知識結構

2．重點、難點分析

重點：不等式證明的主要方法的意義和應用；

難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

②綜合性問題選擇適當的證明方法．

（1）不等式證明的意義

不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數值去驗證式子是否成立．

（2）比較法證明不等式的分析

①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

由于，因此，證明，可轉化為證明與之等價的．這種證法就是求差比較法．

由于當時，，因此，證明可以轉化為證明與之等價的．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式時，一定要注意的前提條件．

③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”．

其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的．

變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少．

變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個數的平方和的形式．或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等．總之．能夠判斷出差的符號是正或負即可．

④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側的式子同號的不等式的證明．

（3）綜合法證明不等式的分析

①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式．

③綜合法證明不等式的邏輯關系是：

…．

（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）

④利用綜合法由因導果證明不等式，就要揭示出條件與結論之間的因果關系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯系、不等式左右兩端的差異和聯系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換是證明不等式的關鍵．

（4）分析法證明不等式的分析

①從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據．

②分析法的思路是“執果導因”：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統一的兩種方法．

③用分析法證明不等式的邏輯關系是：

…．

（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）

④分析法是教學中的一個難點，一是難在初學時不易理解它的本質是從結論分析出使結論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關（分析推理）步驟的關鍵詞．如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等．

⑤分析法是證明不等式時一種常用的基本方法．當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效．

（5）關于分析法與綜合法

①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

②在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件．即推理方向是：結論已知．

綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題．即：已知結論．

③分析法的特點是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件．

綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件．

④各有其優缺點：

從尋求解題思路來看：分析法是執果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因導果，往往枝節橫生，不容易達到所要證明的結論．

從書寫表達過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰．

也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達．

⑤一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的．

（二）教法建議

①選擇例題和習題要注意層次性．

不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的．教師在教學中要注意例題安排要由易到難，由簡單到綜合，層層深入，啟發學生理解各種證法的意義和邏輯關系．教師選擇的訓練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當．

要堅持精講精練的原則．通過一題多法和多變挖掘各種方法的內在聯系，對知識進行拓展、延伸，使學生溝通知識，有效地提高解題能力．

②在教學過程中，應通過精心設置的一個個問題，激發學生的求知欲，調動學生在課堂活動中積極參與．

通過學生參與教學活動，理解不等式證明方法的實質和幾種證明方法的意義，通過訓練積累經驗，能夠總結出比較法的實質是把實數的大小順序通過實數運算變成一個數與0(或1)比較大小；復雜的習題能夠利用綜合法發展條件向結論方向轉化，利用分析法能夠把結論向條件靠攏，最終達到結合點，從而解決問題．

③學生素質較好的，教師可在教學中適當增加反證法和用函數單調性來證明不等式的內容，但內容不易過多過難．

第一課時

教學目標

1．掌握證明不等式的方法——比較法；

2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟．

教學重點比較法的意義和基本步驟.

教學難點常見的變形技巧.

教學方法啟發引導式.

教學過程

（－）導入新課

（教師活動）教師提問：根據前一節學過的知識，我們如何用實數運算來比較兩個實數與的大小？．

（學生活動）學生思考問題，找學生甲口答問題．

（學生甲回答：，，，）

［點評］（待學生回答問題后）要比較兩個實數與的大小，只要考察與的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現在我們就來學習：用比較法證明不等式．（板書課題）

設計意圖：通過教師設置問題，引導學生回憶所學的知識，引出用比較法證明不等式，導入本節課學習的知識．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目

[問題]求證

教師引導學生分析、思考，研究不等式的證明．

（學生活動）學生研究證明不等式，嘗試完成問題．

（得出證明過程后）

［點評］

①通過確定差的符號，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個實數的大小、比較式子的大小、證明不等式性質就已經用過．

②通過求差將不等問題轉化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化．

③理論依據是：

④由，，知：要證明只要證；要證明這種證明不等式的方法通常叫做比較法．

設計意圖：幫助學生構建用比較法證明不等式的知識體系，培養學生化歸的數學思想．

【例題示范，學會應用】

（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評．

例1求證

（學生活動）學生在教師引導下，研究問題．與教師一道完成問題的論證．

［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得，將此式看作關于的二次函數，由配方法易知函數的最小值大干零，從而使問題獲證．

證明：∵

＝

＝，

∴．

［點評］

①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號．

②作差后，式于符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，使差式的符號易于確定．

③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質經過變形后，才能判斷．

變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少．至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法．

例2已知都是正數，并且，求證：

［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證．

證明：

＝

＝．

因為都是正數，且，所以

．

∴．

即：

[點評]

①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號．

②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法．

③例2的結論反映了分式的一個性質（若都是正數．

1．當時，

2．當時，．以后要記住．

設計意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識，學會在用比較法證明不等式中，對差式變形的常用方法——配方法、通分法．

【課堂練習】

（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考．完成練習；請甲、乙兩學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習中存在的問題．

[字幕]

練習：1．求證

2．已知，，，d都是正數，且，求證

（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演．

設計意圖，掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號．反饋課堂教學效果，調節課堂教學．

【分析歸納、小結解法】

（教學活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結用比較法證明不等式的解題方法．

（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記．

比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法．用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號．要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形．

設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法．

（三）小結

（教師活動）教師小結本節課所學的知識．

（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記．

本節課學習了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的．掌握求差后對差式變形的常用方法：配方法和通分法．并在下節課繼續學習對差式變形的常用方法．

設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．

（四）布置作業

1．課本作業：P16．1，2，3．

2．思考題：已知，求證：

3．研究性題：設，，都是正數，且，求證：

設計意圖，課本作業供學生鞏固基礎知識；思考題供學有余力的學生完成，培養其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養學生創新意識．

（五）課后點評

1．本節課是用比較法證明不等式的第一節課，在導入新課時，教師提出問題，讓學生回憶所學知識中，是如何比較兩個實數大小的，從而引入用比較法證明不等式．這樣處理合情合理，順理成章．

2．在建立新知過程中，教師引導學生分析研究證明不等式，使學生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認識．

3．例1，例2兩道題主要目的在于讓學生歸綱、總結，求差后對差式變形、并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟．在這里如何對差式變形是難點，應著重解決．首先讓學生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結變形時常用方法，有利于難點的突破．

4．本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成．教師通過啟發誘導學生深入思考問題，培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質．

作業答實

思考題：，又，獲證．

研究性題：

．

所以，