含有絕對(duì)值的不等式數(shù)學(xué)教案

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（1）掌握絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì)，在學(xué)會(huì)一般不等式的證明的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的證明方法；

（2）通過(guò)含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的證明，進(jìn)一步鞏固不等式的證明中的由因?qū)Ч?、?zhí)要溯因等數(shù)學(xué)思想方法；

（3）通過(guò)證明方法的探求，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，全面思考方法；

（4）通過(guò)含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的證明，可培養(yǎng)學(xué)生辯證思維的方法和能力，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神。

教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

①本節(jié)重點(diǎn)是性質(zhì)定理及推論的證明．一個(gè)定理、公式的運(yùn)用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推導(dǎo)過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法，通過(guò)證明過(guò)程的探求，使學(xué)生理清思考脈絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生勤于動(dòng)腦、勇于探索的精神．

②教學(xué)難點(diǎn)一是性質(zhì)定理的推導(dǎo)與運(yùn)用；一是證明含有絕對(duì)值的不等式的方法選擇．在推導(dǎo)定理中進(jìn)行的恒等變換與不等變換，相對(duì)學(xué)生的思維水平是有一定難度的；證明含有絕對(duì)值的不等式的方法不外是比較法、分析法、綜合法以及簡(jiǎn)單的放縮變換，根據(jù)要證明的不等式選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法是無(wú)疑學(xué)生學(xué)習(xí)上的難點(diǎn)．

三、教學(xué)建議

（1）本節(jié)內(nèi)容分為兩課時(shí)，第一課時(shí)為含有絕對(duì)值的不等式性質(zhì)定理的證明及簡(jiǎn)單運(yùn)用，第二課時(shí)為含有絕對(duì)值的不等式的證明舉例．

（2）課前復(fù)習(xí)應(yīng)充分．建議復(fù)習(xí)：當(dāng)時(shí)

；

；

以及絕對(duì)值的性質(zhì)：

，為證明例1做準(zhǔn)備．

（3）可先不給出含有絕對(duì)值的不等式性質(zhì)定理，提出問(wèn)題讓學(xué)生研究：是否等于？大小關(guān)系如何？是否等于？等等．提示學(xué)生用一些數(shù)代入計(jì)算、比較，以便歸納猜想一般結(jié)論．

（4）不等式的證明方法較多，也應(yīng)放手讓學(xué)生去探討．

（5）用向量加減法的三角形法則記憶不等式及推論．

（6）本節(jié)教學(xué)既要突出教師的主導(dǎo)作用，又要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用，課上盡量讓全體學(xué)生參與討論，由基礎(chǔ)較差的學(xué)生提出猜想，由基礎(chǔ)較好的學(xué)生幫助證明，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作的團(tuán)隊(duì)精神．

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

含有絕對(duì)值的不等式

教學(xué)目標(biāo)

理解及其兩個(gè)推論，并能應(yīng)用它證明簡(jiǎn)單含有絕對(duì)值不等式的證明問(wèn)題。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)是理解掌握定理及等號(hào)成立的條件，絕對(duì)值不等式的證明。

難點(diǎn)是定理的推導(dǎo)過(guò)程的探索，擺脫絕對(duì)值的符號(hào)，通過(guò)定理或放縮不等式。

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

我們?cè)诔踔袑W(xué)過(guò)絕對(duì)值的有關(guān)概念，請(qǐng)一位同學(xué)說(shuō)說(shuō)絕對(duì)值的定義。

當(dāng)時(shí)，則有：

那么與及的大小關(guān)系怎樣？

這需要討論當(dāng)

當(dāng)

當(dāng)

綜上可知：

我們已學(xué)過(guò)積商絕對(duì)值的性質(zhì)，哪位同學(xué)回答一下？

.

當(dāng)時(shí)，有：或.

二、引入新課

由上可知，積的絕對(duì)值等于絕對(duì)值的積；商的絕對(duì)值等于絕對(duì)值的商。

那么和差的絕對(duì)值等于絕對(duì)值的和差嗎？

1．定理探索

和差的絕對(duì)值不一定等于絕對(duì)值的和差，我們猜想

.

怎么證明你的結(jié)論呢？

用分析法，要證.

只要證

即證

即證，

而顯然成立，

故

那么怎么證？

同樣可用分析法

當(dāng)時(shí)，顯然成立，

當(dāng)時(shí)，要證

只要證，

即證

而顯然成立。

從而證得.

還有別的證法嗎？（學(xué)生討論，教師提示）

由與得.

當(dāng)我們把看作一個(gè)整體時(shí)，上式逆用可得什么結(jié)論？

。

能用已學(xué)過(guò)得的證明嗎？

可以表示為.

即（教師有計(jì)劃地板書(shū)學(xué)生分析證明的過(guò)程）

就是含有絕對(duì)值不等式的重要定理，即.

由于定理中對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，那么三個(gè)實(shí)數(shù)和的絕對(duì)值呢？個(gè)實(shí)數(shù)和的絕對(duì)值呢？

亦成立

這就是定理的一個(gè)推論，由于定理中對(duì)沒(méi)有特殊要求，如果用代換會(huì)有什么結(jié)果？（請(qǐng)一名學(xué)生到黑板演）

，

用代得，

即。

這就是定理的推論成立的充要條件是什么？

那么成立的充要條件是什么？

.

例1已知，求證.（由學(xué)生自行完成，請(qǐng)學(xué)生板演）

證明：

例2已知，求證.

證明：

點(diǎn)評(píng)：這是為今后學(xué)習(xí)極限證明做準(zhǔn)備，要習(xí)慣和“配湊”的方法。

例3求證.

證法一：（直接利用性質(zhì)定理）在時(shí)，顯然成立.

當(dāng)時(shí)，左邊

.

證法二：（利用函數(shù)的單調(diào)性）研究函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性。

設(shè)，

,在時(shí)是遞增的.

又，將，分別作為和，則有

（下略）

證法三：（分析法）原不等式等價(jià)于，

只需證，

即證

又，

顯然成立.

原不等式獲證。

還可以用分析法證得，然后利用放縮法證得結(jié)果。

三、隨堂練習(xí)

1．①已知，求證.

②已知求證.

2．已知求證：

①；

②.

3．求證.

答案：1.2.略

3．與同號(hào)

四、小結(jié)

1．定理.把、、看作是三角形三邊，很象三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，這樣理解便于記憶，此定理在后面學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時(shí)，可以推廣到比較復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，并有其幾何意義，有時(shí)也稱(chēng)其為“三角形不等式”.

2．平方法能把絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，但應(yīng)注意兩邊非負(fù)時(shí)才可平方，有些證明并不容易去掉絕對(duì)值符號(hào)，需用定理及其推論。

3．對(duì)要特別重視.

五、布置作業(yè)

1．若，則不列不等式一定成立的是（）

A．B．

C．D．

2．設(shè)為滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)，那么（）

A．B．

C．D．

3．能使不等式成立的正整數(shù)的值是__________.

4．求證：

（1）；

（2）.

5．已知，求證.

答案：1．D2．B3．1、2、3

4．

5．

=

注：也可用分析法.

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

6.5含有絕對(duì)值的不等式（一）

1．復(fù)習(xí)

2．定理

推論

例1

例2

例3

課堂