數學模型的創意平板折疊桌優化設計研究

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【摘要】本文針對創意平板折疊桌的設計問題，應用幾何思想，通過建立桌面半徑和長度、鋼筋位置相應的數學模型，描述了折疊桌的動態變化過程。同時，對折疊桌的設計加工參數等進行了數學描述。最后通過Lingo和Matlab軟件編程給出了最優加工參數。

【關鍵詞】折疊桌;非線性規劃模型;幾何思想;Lingo和Matlab軟件

隨著社會的不斷進步，城市化進程的加快，高樓大廈密集，城市道路四通八達，但是與此同時，用地緊張、生存空間擁擠等問題也接踵而來，各行各業都開始廣泛關注空間的有效利用，盡可能地節省空間。空間對于人們的生活環境在功能性和實用性上有著舉足輕重的作用，它是蘊含豐富、用之不竭的寶貴資源。當然，隨著社會的發展和進步，能夠有效節省空間的“創意平板折疊桌”應運而生，它不僅可以滿足人們對空間的需求，而且能夠有效節省空間。一塊木板變成一張桌子，通過對折疊桌的動態變化過程的分析與研究(如圖1所示)，我們需要解決以下三個問題:問題1:建立模型描述此折疊桌的動態變化過程，在此基礎上給出此折疊桌的設計加工參數和桌腳邊緣線的數學描述。問題2:對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優設計加工參數:平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。問題3:根據客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優設計加工參數。

1模型準備

1．1問題分析

通過觀察折疊桌的動態變化過程，我們發現折疊桌的變化是一個復雜的過程，由平板到立體折疊桌的過程中主要與折疊桌的條數、木條的長度、桌面距離地面的高度、各木條折疊的角度、開槽長度、各木條折疊角度變化的范圍、鋼筋位置等有關。同時，又要考慮到加工過程所造成的誤差，模型建立過程理想化部分對折疊過程中的影響，以及折疊桌輕巧方便、美觀大方、加工方便、用材最少、穩固性好、功能性強的特點。分析折疊桌結構可以發現:在折疊桌打開的過程中，隨著最外側的桌腿與地面夾角的不斷變化，每根桌腿與地面之間的角度也都發生了改變，通過它們之間的變化關系，可以寫出相關方程式并建立非線性規劃數學模型對折疊桌的動態變化過程加以描述。對于任意已給折疊桌高度和圓形桌面直徑，要求折疊桌的設計做到用材最少，這是可以用數學模型進行量化，也是要求最高的因素，因此可主要圍繞用材最少這個要求，建立約束條件下的非線性規劃模型。通過分析影響因素，尋找目標函數和約束條件，可得到折疊桌設計的最優加工參數。

1．2符號說明

根據對問題的分析，可以將不同參數用不同的字母符號代替:L:木板的長度;G:木板的寬度;li:每根木條的長度;k:木條的厚度;gi:每根木條的寬度;z:相鄰兩根木條之間的間隔距離;d:圓桌的直徑;r:圓桌的半徑;Qi:圓形內的弦長;a:木條與圓桌之間所留活動間隔的長度;i:木條與以圓桌表面為水平面的夾角;Yi:第一塊木條與第i塊木條之間的角度之差;y:圓桌面弧長的一半;e:鋼條到圓桌中心的距離;Ci:開槽長度;Pi:鋼條到對應圓弧區域切線的距離;f:槽的最低端到圓上的最短距離;h:圓桌到地面的距離;o:木條與圓桌之間的間隔。

1．3模型假設

假設平板活動的過程中木條之間的摩擦忽略不計;假設切割木條時縫隙的寬度忽略不計;假設在折疊過程中，鋼筋不會發生彎曲;假設圓桌直徑等于給定的長方形平板的寬度。

2模型建立與求解

通過觀察發現，折疊桌的長度是兩根相同木條的和加上木條與圓桌之間的間隔長度，再加上圓桌面弧長的2倍。折疊桌的寬度就是圓形桌的直徑，同時也等于每根木條的寬度之和加上所有相鄰兩根木條間隔距離之和:G=2r，n=2a。同時，折疊桌的寬度等于每根木條的寬度之和加上所有木條間隔距離之和G=ngi+(n－1)z。木板的長度是木板兩邊木條的長度和再加上兩邊木條與圓桌之間的間隔之和以及對應圓桌的弧長之和:L=2li+2o+2yi。圓桌的高度:由幾何關系得到h=lisini。最短木條的最大變化角度，通過該結果可以判斷左右兩端木條的變化范圍，我們想要得到木條的變化范圍完全可以通過計算木條的角度變化范圍判斷。在此，我們通過計算最短木條的角度變化范圍mmax=π－arccosrlm，m≤mmax此外，若想求得參數還需要有一些輔助條件:首先，求得和圓桌面相關的條件:yi=r2－(i•gi+(i－1)•2－r)槡2，該結果是求解木板長度不可缺少的條件。鋼條到圓桌中心的距離:e=fi+yi，根據該結果確定鋼條的活動范圍。槽的最低端到圓上的最短距離:fi=kli，fi=f1sin1sini，fi=Ci+pi，e=pi+yi，Yi=yi－y，12L≥fm+ym，0．1≤z≤0．3，0≤i≤5π12，結果為開槽長度的變化范圍。假設客戶要求制定一個高為50厘米，圓桌直徑為50厘米的桌子，我們用Lingo軟件和Matlab軟件求解，得出最優加工參數如下(實物模型參看圖2):本文通過建立數學模型并利用計算機軟件編程等知識來確定其所需材料的尺寸，鋼筋的位置和每根桌腿的開槽長度等加工參數，使制成的折疊桌不但可以展開成桌子，而且還可以折疊成平板以節省空間，既輕巧方便，又美觀大方，同時還具有加工方便、用材最少、穩固性好、功能性強等特點。同時，本文對針折疊桌的設計所建立的模型能夠可以推廣到其它零件的設計，應用甚廣。

參考文獻:

［1］任亞冰，吳振宇，王楠．基于層次分析的創意平板折疊桌設計［J］．福建電腦，2014．

［2］2014高教社杯全國大學生數學建模競賽B題［Z］．

［3］姜啟元．數學模型［M］．北京:高等教育出版社，2011．

［4］韓中庚．數學建模方法及其應用［M］．北京:高等教育出版社，2009．

作者:趙戰興 白林子 黎露 單位:重慶工程學院