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【摘要】該文從線性系統能控規范型的基本理論入手,詳細介紹了龍伯格能控規范型的構造方法和實現步驟,并就此問題給出了一個具有較高實用價值的MATLAB通用程序。
【關鍵詞】線性系統能控規范型MATLAB
AlgorithmicanalysisofLinearsystemLuenbergerControllable
StandardModel
1前言
線性系統的狀態空間分析法,是線性系統理論中最重要和影響最廣泛的一個分支。狀態空間法中,用以表征系統動力學特征的數學模型是反映輸入、輸出變量和狀態變量之間關系的一對向量方程,稱為狀態方程和輸出方程。
(狀態方程)
(輸出方程)
這是一種時間域分析方法,在系統的分析和綜合中,所涉及的計算主要為矩陣運算和矩陣變換,MATLAB為此提供了一個強有力的工具。
線性系統能控規范型的實現,在線性反饋系統的狀態變量反饋和含狀態觀測器的狀態變量反饋系統的設計中占有很重要的地位。本文針對線性系統理論中的極點配置問題,著重討論如何利用MATLAB語言來實現任意線性多輸入、多輸出系統的龍伯格能控規范型的算法。并給出了一個利用MATLAB語言編制的實現此算法的通用程序。
2線性系統能控規范型的相關理論
2.1能控性和能觀性的概念
能控性和能觀性是系統的兩個基本的結構特征。現代控制理論的發展表明,這兩個概念對于控制和估計問題的研究有著極其重要的意義。在一個系統中,輸入輸出構成系統的外部變量,狀態變量為系統的內部變量,能控性是反映系統的所有內部(狀態)變量能否由輸入變量來影響和控制,并由任意始點到達原點。能觀性則是表明系統內部(狀態)變量能否由輸出完全反映。
2.2系統的能控性判據
定理:線性定常系統
為完全能控的充分必要條件是:
rank[B┆AB┆A2B┆……┆An-1B]=n
其中,n為系數矩陣A的維數。
定義系統的能控性判別矩陣為:
Qc=[B┆AB┆A2B┆……┆An-1B]
2.3能控規范型的算法分析
對于完全能控的線性定常系統,從能控制性這一基本屬性出發,可以構造一個非奇異的變換矩陣,通過這一線性變換,就能夠把系統狀態空間的描述轉化為只有能控系統才具有的標準形式。
對于單輸入—單輸出系統:
能控規范性的變換矩陣:
引入線性變換則有
其中,
對于多輸入—多輸出系統:
(1)
設:rankB=r輸入變量數為p,輸出變量數為q。。構造其龍伯格能控規范型的方法如下:
對能控性矩陣
Qc=[B┆AB┆A2B┆……┆An-1B]
其中
B=[b1,b2,……,bq]
找出n個線性無關的列,表示如下:
其中,能控性指數
令取p的每個塊陣中的末行:
構造變換矩陣
引入線性非奇異變換
即可得到系統(1)的龍伯格能控規范型:
其中
i=1,2,……,r
上述矩陣中,“*”表示的元素為可能的非零元。
3Luenberger能控規范型算法的實現
下面給出了一個完成Luenberger能控規范型算法的MATLAB程序,程序的代碼如下:
A=[……];
B=[……];
C=[……];
%(在“……”處輸入相應的數據)
尋找B矩陣的無關列向量:
forl=1:2
RA=rank(A);RB=rank(B);Bwg=B(:,1);
fori=2:RB
ifrank(Bwg)<RB,
Bwg=[Bwg,B(:,i)];
end
end
%確定能控性指數u:
SO=[];
fori=0:RA
forj=1:RB
ifrank(SO)<rank([SO,A^i*Bwg(:,j)]),
SO=[SO,A^i*Bwg(:,j)];
u(j)=i+1;
end
end
end
%構造p逆矩陣:
PNI=[];
forj=1:RB
fori=0:u(j)-1
PNI=[PNI,A^i*Bwg(:,j)];
end
end
P=inv(PNI);
%構造Luenberger規范型變換矩陣S-1
SNI=[];j=0;
fork=1:RB
j=u(k)+j;
fori=0:u(k)-1
SNI=[SNI;P(j,:)*A^i];
end
end
%求Luenberger規范型矩陣Ac、Bc:
S=inv(SNI);Ac=SNI*A*S;Bc=SNI*B;
Cc=C*S;
4結束語
使用MATLAB語言編寫的程序來求解線性系統的龍伯格能控規范型,進而可以很方便地進一步設計線性系統的狀態變量反饋系統,以實現系統極點的任意配置,從而改善系統的性能,并且也使得多輸入—多輸出系統的狀態觀測器的設計變得輕而易舉。因此,本文所討論的問題有相當的普遍性,同時給出的解決方案也具有較高的實用價值。
參考文獻:
1、《線性系統理論》(M),鄭大鐘,清華大學出版社。1990年3月第一版。
2、Chi-TsongChen,“LINEARSYSTEMTHEORYANDDESING”(M),HoltRichardandWinston.revisededition1984
3、《掌握和精通MATLAB》(M),張志涌、劉瑞幀等,北京航空航天大學出版社。1997年8月第一版