簡單的線性規劃數學教案

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教學目標

鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區域，能用此來求目標函數的最值．

重點難點

理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點．

如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點．

教學步驟

【新課引入】

我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區域，在這里開始，教學又翻開了新的一頁，在今后的學習中，我們可以逐步看到它的運用．

【線性規劃】

先討論下面的問題

設，式中變量x、y滿足下列條件

①

求z的最大值和最小值．

我們先畫出不等式組①表示的平面區域，如圖中內部且包括邊界．點（0，0）不在這個三角形區域內，當時，，點（0，0）在直線上．

作一組和平等的直線

可知，當l在的右上方時，直線l上的點滿足．

即，而且l往右平移時，t隨之增大，在經過不等式組①表示的三角形區域內的點且平行于l的直線中，以經過點A（5，2）的直線l，所對應的t最大，以經過點的直線，所對應的t最小，所以

在上述問題中，不等式組①是一組對變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，所以又稱線性約束條件．

是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標函數，由于又是x、y的解析式，所以又叫線性目標函數，上述問題就是求線性目標函數在線性約束條件①下的最大值和最小值問題．

線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時也有一次方程表示．

一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題，滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區域，其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標函數取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優解．

【應用舉例】

例1解下列線性規劃問題：求的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件

解：先作出可行域，見圖中表示的區域，且求得．

作出直線，再將直線平移，當的平行線過B點時，可使達到最小值，當的平行線過C點時，可使達到最大值．

通過這個例子講清楚線性規劃的步驟，即：

第一步：在平面直角坐標系中作出可行域；

第二步：在可行域內找出最優解所對應的點；

第三步：解方程的最優解，從而求出目標函數的最大值或最小值．

例2解線性規劃問題：求的最大值，使式中的x、y滿足約束條件．

解：作出可行域，見圖，五邊形OABCD表示的平面區域．

作出直線將它平移至點B，顯然，點B的坐標是可行域中的最優解，它使達到最大值，解方程組得點B的坐標為（9，2）．

∴

這個例題可在教師的指導下，由學生解出．在此例中，若目標函數設為，約束條件不變，則z的最大值在點C（3，6）處取得．事實上，可行域內最優解對應的點在何處，與目標函數所確定的直線的斜率有關．就這個例子而言，當的斜率為負數時，即時，若（直線的斜率）時，線段BC上所有點都是使z取得最大值（如本例）；當時，點C處使z取得最大值（比如：時），若，可請同學思考．

隨堂練習

1．求的最小值，使式中的滿足約束條件

2．求的最大值，使式中滿足約束條件

答案：1．時，．

2．時，．

總結提煉

1．線性規劃的概念．

2．線性規劃的問題解法．

布置作業

1．求的最大值，使式中的滿足條件

2．求的最小值，使滿足下列條件

答案：1．

2．在可行域內整點中，點（5，2）使z最小，

探究活動

利潤的線性規劃

［問題］某企業1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為81元，請你根據以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預2001年企業的利潤，請問你幫該企業預測的利潤是多少萬？

［分析］首先應考慮在平面直角坐標系中如何描述題中信息：“1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為8萬元”，在確定這三點坐標后，如何運用這三點坐標，是僅用其中的兩點，還是三點信息的綜合運用，運用時要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過特殊點的直線、平行某個線段的直線、與某些點距離最小的直線作為預測直線等等．

建立平面直角坐標系，設1997年的利潤為5萬元對應的點為（0，5），1998年的利潤為7萬元及1999年的利潤為8萬元分別對應點（1，7）和（2，8），那么

①若將過兩點的直線作為預測直線，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為13萬元．

②若將過兩點的直線作為預測直線，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為11萬元．

③若將過兩點的直線作為預測直線，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為10萬元．

④若將過及線段的中點的直線作為預測直線，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為11．667萬元．

⑤若將過及的重心（注：為3年的年平均利潤）的直線作為預測直線，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為11．667萬元．

⑥若將過及的重心的直線作為預測直線，其方程為：，這樣預測2001年的利潤為10．667萬元．

⑦若將過且以線段的斜率為斜率的直線作為預測直線，則預測直線的方程為：，這樣預測2001年的利潤為9萬元．

⑧若將過且以線段的斜率為斜率的直線作為預測直線，則預測直線的方程為：，這樣預測2001年的利潤為11.5萬元.

⑨若將過點且以線段的斜率為斜率的直線，作為預測直線，則預測直線的方程為；，這樣預測2001年的利潤為12萬元．

⑩若將過且以線段的斜率與線段的斜率的平均數為斜率的直線作為預測直線，則預測直線的方程為：，這樣預測2001年的利潤為12萬元．

如此這樣，還有其他方案，在此不—一列舉．

［思考］（1）第⑤種方案與第④種方案的結果完全一致，這是為什么？

（2）第⑦種方案中，的現實意義是什么？

（3）根據以上的基本解題思路，請你思考新的方案．如方案⑥中，過的重心，找出以為斜率的直線中與兩點的距離的平方和最小的直線作為預測直線．

（4）根據以上結論及你自己的答案估計一下利潤的范圍，你預測的利潤頻率出現最多的是哪一個值？你認為將你預測的結論作怎樣的處理，使之得到的利潤預測更為有效？如果不要求用線性預測，你能得出什么結果？