數學建模及應用
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數學建模及應用范文第1篇
中圖分類號：O24文獻標識碼：Adoi: 10.3969/j.issn.1003-6970.2011.03.037
The applications and Constructions of computer lab in Mathematical Modeling
YU Ming-chai, CHEN Xing
(Nanyang Normal University,Nanyang ,473061,China)
【Abstract】Based on the experience of selection, training, competitions, organization in Mathematical modeling andthe experience of laboratory management, the authors discussed the effect of computer in mathematical modeling and pointed out laboratory has an irreplaceable role in mathematical modeling. It Proposed methods of building computer labs for developing mathematical modeling
【Key words】Laboratory construction ;Mathematical modeling; computer
0引言
1985年美國出現了一種面向大學生的數學建模競賽，1992年中國開始舉辦數學建模競賽，自此我國各大高校相繼參加。我校自2003年開始參加數學建模競賽至今，取得了不錯的成績。在2003至2008這六年間，共有33個隊參加了數學建模競賽，規模較小，計算機實驗室設備和管理都沒有跟上，且每次比賽時都是臨時將教師辦公室騰出作為考場，因此取得的成績也不多。2009年開始擴充了實驗室設備，配備了系統的計算機軟件，完善了實驗室管理，數學建模隊伍也擴充了，2009年、2010年分別有16個和35個隊參加數學建模競賽，獲得的獎為國家二等獎3個、省一等獎6個、省二等獎12個、省三等獎26個，其成果遠遠大于前幾年。而且從河南省近幾年同等院校參賽和獲獎情況來看，參賽隊伍越多，獲獎的幾率就越大，且獲得高等次獎的隊伍也增加。數學建模是培養創新型人才的方式之一，培養創新型人才是建設創新型國家的需要，創新型人才要通過創新性的理論教學和實驗教學來培養，實驗教學是培養高素質創新型人才過程中的重要環節，是始終貫穿、不可或缺的重要組成部分[1]，而實驗室是實驗教學的重要基地。
1計算機在數學建模中的作用
數學建模是用數學語言描述實際現象的過程，這個過程包括模型的建立、求解、驗證、改進等，這個過程如果用人工進行，則不是短時期內能解決的，因此需要借助計算來完成這些過程，以加快數學建模全過程的進度。
1.1利用計算機通過網絡獲取參賽題目以及查詢有關的數據和建模所需的文獻及資料
每年的參賽題目都是公布在網上，建模競賽首先要利用計算機和網絡將試題下載下來，然后分析各試題，上網查資料，決定選做題目。再根據選定的題目，上網查詢更多的文獻及相關的資料。因此，參賽隊員應掌握網上查詢文獻的能力，會在各大期刊網查詢[2]。
1.2利用計算機進行大量的數據分析和數值計算、編程、模擬(仿真)、圖形處理等
選定題目查好文獻，開始建立模型。有的題目有大量的數據要分析，如2005年全國大學生數學建模競賽A題，“長江水質的評價和預測問題”中涉及長江的水質數據就有2000多個，這些數據如果人工計算，就很難在三天時間內很好地解決問題和完成論文。計算機具有高速的運算能力，能滿足數學建模過程中復雜的數值計算。它的大容量貯存能力以及網絡通訊功能，使得數學建模過程中資料存貯、檢索變得方便有效，它的多媒體化，使得數學建模中的一些問題能在計算機上進行逼真的模擬實驗[3]。例如著名的漢諾塔問題：64個直徑不同的環按上小下大得順序放在一個塔上，要求將這些環移到另一個塔上，仍按上小下大的順序，可以利用第三個塔暫時存放，存放的塔也必須是小的環在大的環上面，要求一天移動一個環。這個問題可以用MATLAB編程
新建如下m文件
function Hanoi(n,A,B,C)%把n個盤子從A經C移到B
global countN;
if n==0
return;
end;
Hanoi(n-1,A,C,B);% 先把n-1個盤子經B移到C
disp(['第',num2str(countN),'步: ',A,'->',B]);
% 再把A最后一個盤子移到B
countN = countN+1;
Hanoi(n-1,C,B,A);
% 最后把n-1個盤子從C經A移到B
然后在命令窗口輸入如下腳本：
global countN;
countN = 1;
Hanoi(64,'A','B','C');
countN
最終搬運的次數為2^64-1次，并且每一步移動如何移動環都計算出來，移動環的整個過程都也就模擬出來了。2^64-1是個多大的數，從這個數字上很難看出來，如果將題目的要求變一下，要求1秒鐘移一個環，則需要的時間為（264-1）÷60÷60÷24÷365÷100=5849424174世紀，近58.5億個世紀，是地球誕生時間的128倍，這個時間是不可想象的，實際去完成移動也是不可能的，而用計算機模擬卻可以做到。
1.3利用計算機編寫競賽論文
建模競賽最終交上去的論文,一般要求是打印的,論文格式除了要按照組委會的要求外,論文的版面設計如大小標題、段落、字體字號以及表格、插圖、公式等都要安排得合理，給評審一個好印象，對成績的提高有幫助。Word是大家熟悉的也是專業的排版軟件，但Word在含有數學公式的論文排版時板式不容易調整到美觀，數學論文最好用專業的數學排版軟件TEX來做，公式用mathtype軟件來輸入，這樣學生不僅能將論文排版美觀，還學會了一個新技能。
2實驗室在數學建模中的作用
數學建模作為聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領域廣泛應用的媒介，是數學理論知識和應用能力共同提高的最佳結合點，在培養學生過程中，數學建模課程起到了啟迪學生的創新意識和創新思維、培養創新能力和實踐動手能力的作用，是培養創新型人才的一條重要途徑。計算機在數學建模中對提高學生的實踐動手能力和培養學生的創新能力的重要性是已知的，是必不可少的。
計算機實驗室在數學建模中的作用不僅僅在于擁有計算機上，它還有著眾多無法替代的功能。
2.1開展集中培訓
參加數學建模的學生從大一到大四的都有，學生層次不一樣，需要在比賽前進行集中培訓，給隊員補充必要的數學和計算機知識。并且在培訓同時學生要學習使用數學軟件和編程軟件，以及論文寫作與排版等，需要每個學生一臺計算機，這是普通教室不能辦到的，讓每個學生都自帶計算機到教室是不現實的，而計算機實驗室就很好地能解決這個問題。
2.2學生在集中培訓中和同學們切磋、磨合，找到最好的搭配
數學建模的競賽形式是三人一組，在建模過程中隊員需要協同工作才能解決問題。數學建模過程是一個不斷討論、不斷完善的過程，在這一過程中，團隊的分工合作必不可少，這就需要學生具有團隊精神、協作意識。如何在眾多同學中選取最好的搭檔，這就要經過切磋磨合了。通常學生熟悉的同學大都是本班的，而建模往往需要不同院系不同專業的同學融合，這就需要把隊員放在一起，讓他們互相了解，互相切磋磨合，這個過程不是一兩天就可以完成的。如在2010年全國大學生數學建模競賽前10天，我院根據學生的專業，想對幾個隊的隊員進行調整，讓他們再進行一次模擬訓練，結果所有被重組的隊都反映他們與新隊員的協作不好，要求還回原來的隊員。因此，隊員的搭配問題最好在培訓期間解決。
2.3為方便教師輔導、學生小組合作學習提供場地
除了開展集中培訓外，老師還在模擬賽和平時自由練習時對學生進行輔導，計算機實驗室為學生和老師集中交流提供了一個非常方便的環境。此外，數學建模是多個方向的知識綜合，輔導老師各有專長方向，學生對于不同方向的問題問不同的老師，往往會得到更全面的答案。如果沒有一個集中學習輔導場所，學生就不能夠同時與多個老師交流，對于綜合性的問題，很難及時準確的找到答案。
建模同隊隊員往往是不同專業的學生，平時自學和訓練時，除了實驗室他們很難再找到一個更好的共同學習、訓練的去處。在學生們自學消化期間里，需要合作學習，合作學習有效調動了學生討論交流的積極性，在無戒備、輕松的氣氛中聽取和采納他人見解，自主表達自己的觀點，在有限時間內辨析、取舍、評價、知識重組乃至創新，實驗室便是數學建模中合作學習的最佳場所。
2.4競賽場地
數學建模競賽中有一個規定是競賽期間參賽隊員可以使用各種圖書資料、計算機和軟件，在國際互聯網上瀏覽，但不得與隊外任何人（包括在網上）討論。而且數學建模競賽還有老師巡考，數學建模場地要求集中，如果考場太分散就不方便管理了，因此計算機實驗室是最好的數學建模競賽場地。
3完善實驗室，更好地為數學建模服務
實驗室是科學研究、探索與發現、人才培養、科技開發、社會服務的基地，是推動一個民族和國家科技發展和進步的基礎。在高校中，實驗室更是開發學生智力、啟迪學生思維、培養學生實踐能力、設計能力、應用能力和創新能力的綜合平臺[4]。數學建模離不開實驗室，只有完善實驗室建設，才能保障數學建模順利進行。實驗室建設應注意一下幾個方面的建設。
3.1實驗室規模
在規模上，需要比較充足的實驗教學設備和場地，才能夠開展較大的實驗課程教學、培訓、競賽和學生的創新活動，例如今年我院參加培訓的隊員有140人，可我們兩個實驗室分別只有50臺計算機，計算機明顯不夠，后來向其他院系借了一個有150臺計算機的實驗室，我們的集中培訓才得以正常進行。因此，實驗室規模是保證實驗教學活動的首要條件。
3.2實驗室硬件、軟件
數學建模實驗的主要實驗儀器是計算機，做數學建模需要進行大規模數值計算以及系統仿真，沒有先進的硬件環境是很難實現的。先進的硬件環境當重點考慮高性能的計算機，如今計算機的發展是迅速的，每隔兩三年，計算機的性能就會更新一代，如果仍用多年前的性能很低的計算機來做數學建模，那么程序的運行速度會非常慢，甚至有的軟件根本就不能運行。
除了配備高性能計算機外,還應配上先進的軟件,系統及常用軟件是必須的，在此處不作討論。需要使用的數學軟件及功能如表1：
這些軟件都需要性能好的計算機來運行，否則速度會很慢，耽誤寶貴的時間。
3.3實驗室師資和管理
實驗隊伍水平高低決定了實驗室建設水平的高低，實驗隊伍可分為實驗教師系列和實驗技術人員系列兩大類，前者主要承擔實驗教學任務及開展科學研究工作，后者主要從事實驗室的日常教學管理、實驗操作運行管理、實驗室技術安全管理及實驗儀器設備的管理使用維護保養等工作[5]。因此需要加強實驗室師資隊伍和管理人員隊伍的建設，提升現有人員的綜合素質，引進高層次高學歷的人員。師資隊伍和管理人員不僅要有扎實的專業基礎,還要對數學建模有濃厚的興趣,有一定的數學建模的實際經驗、又有獻身精神[6]。數學建模選拔、培訓及競賽都要付出很多勞動，非常辛苦，而老師的經費收入又相對較少。因此，數學建模教師及實驗室管理人員不僅要有高水平，還要高素質，樂于奉獻。
4建設好實驗室，充分發揮實驗室作用
在高校中實驗室是重要的教學和科研基地，建設好實驗室也是建設好學校的一個重要內容，實驗室建好后，還可以為教師科研開發和應用提供更便利的軟硬件環境，更有利于提高教師現代化的教學水平，教師、科研人員、學生都可以充分利用實驗室的豐富資源，學生可以在實驗室的實踐中學到許多以前在書本上沒有學到的知識和技能，學會如何在圖書館、互聯網浩如煙海的資料中查找出自己所需要的資料[7]。實驗室建好后，如果還有多余的資源，可以為社會服務，如和企業使用聯合實驗室或為企業開發軟件等。這樣不斷提高了實驗室的利用率，也帶來了經濟效益。
參考文獻
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[2] 劉華等.加強培養學生在數學建模中運用計算機的能力[J].甘肅聯合大學學報(自然科學版),2009,23(4):121-125
[3] 姜軍 張利穎 薛峰.淺談計算機在數學建模中的作用及特點[J].實驗室科學,2007.5:81-84
[4] 王興邦.實驗室開放的內涵與機制研究[J].實驗室研究與探索,2009,28(5):11-13
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[6] 韋程東.指導學生參見全國大學生數學建模競賽的探索與實踐[J].高教論壇,2007.1:27-29
數學建模及應用范文第2篇
關鍵詞：純粹數學；應用數學；數學建模
高校數學教育改革的目標就是讓應用數學符合社會的需要，培養學生運用數學知識解決實際問題的能力，讓數學更好地為社會經濟發展服務。進行數學建模思想的教育能夠很有效地培養學生運用數學知識解決問題的能力。
一、應用數學的發展現狀與發展趨勢
應用數學、自動控制、運籌學、概率論、數學史、數學教育以及基礎數學是“數學與應用數學”的七個主要研究方向。應用數學在發展的過程中又與其他的一些學科相交叉融合，產生了很多其它的學科與研究方向，如拓撲學、數值分析與矩陣論等。
經過很長一段時間的發展，應用數學學科已經變得更加成熟與完善，與其他一些學科有著越來越緊密的聯系。應用數學所應用的領域不再僅限于傳統的物理數學領域，在醫學、經濟學、生態學以及其它的一些學科中都產生了許多需要用應用數學來解決的問題。從這些新的研究方向中也誕生了很多新興的學科，如金融數學、生物數學等。原先純粹數學的重要性并沒有被普遍認同，應用數學的發展使得數學學科的實用性得到了普遍的認同。應用數學現在正從傳統的領域進入到各行各業，應用數學在社會發展中所起的作用也越來越大。馬克思曾經說過，一門與數學高度結合的學科才是一門精確的學科。從現在的情況來看，這句話是十分正確的。這就為應用數學的發展提供了廣闊的空間，同時也對數學工作者提出了更高的要求。數學工作者必須不斷地去學習、接觸各個領域的知識，跟上時代的發展，用數學解決一些實際的問題，為社會發展作貢獻。
二、重視推動應用數學的發展
1.數學建模的必要性。數學模型的建立就是用數學的語言來將整個事件過程表達出來。換一種表達方式，就是用數學的方式來描述一個事件或者現象，這個事件可以是生物的、物理的，也可以是金融的、心理學的。數學的特性不僅是邏輯嚴密、概念抽象、結論明確，數學應用的范圍還非常廣泛。隨著計算機的普及和科學技術的發展，各個領域對于各種數據的精確性要求越來越高，使得數學在各個領域中的應用越來越深入，數學已經成為一種科學技術手段。進行數學教育的一個重要方面，就是培養學生的數學意識和能力，主要是學生的邏輯思維能力和思維的縝密性。而建立數學模型的過程就是一個鍛煉學生邏輯思維能力的過程，所以數學建模對于培養學生的邏輯思維能力是非常有益的。建立數學模型的過程也是一個創新的過程，能夠培養鍛煉學生的創新思維，能夠促進教育和課程的改革。建立數學模型的過程同時也是進行實踐的過程，能夠培養學生的實踐能力，提高學生的素質。所以數學建模是十分必要的。
2.在教學中滲透數學建模思想。數學建模是聯系理論與實際的紐帶，是各個學科之間相互交流的節點，對于學科的交叉融合，對于不同學科師生的互動起著非常重要的推動作用。高校教師在平時的教學活動中，要盡可能地向學生教授數學建模的思想，培養學生的邏輯思維能力，在進行相關例題的講授時，要注意講授方法，將一些比較明確的習題修改成比較不明確的例題，讓學生去探索例題的解決方法，逐漸培養學生的探索精神和數學建模思維。
3.技術實用主義教學教育觀。在19世紀20年代初，著名的教育家克萊因和貝利進行了一場數學教學的改革，這次改革的核心是強調數學教育的實用性。這種教育觀點一直延續到今天，對現今的數學教學有著重大的影響。基于技術實用主義的教學觀點，在進行數學教育時要重視數學技能的教育。筆者認為，讓學生充滿學習興趣和動力的是教師的教學藝術。學習數學與學習一門技術相類似，技術和知識主要是通過實踐來獲得和掌握的，所以要掌握數學建模的方法和技巧必須經過充分的建模實踐。基于以上的觀點，與建模相關的教學資源就變得十分重要，教師要利用教學資源引導激發學生，學生要利用相關的資源進行建模實踐。在平時的數學教學中，要創造條件讓學生掌握計算機技術，用計算機解決相關的數學問題。在平時的教學中，應當引導學生發現問題并且提出相應的問題，然后逐步引導學生去解決相應的數學問題，在引導的過程中將數學建模的方法教授給學生。在平時的數學教學中，要鼓勵學生發表自己的觀點，提出一些設想，同時要引導學生之間對相關的數學問題展開討論，讓學生參與到數學教學中。數學教師也應當改變觀念，由原先的“灌輸式”的教學向“探究啟發式教學”轉變。
當前的數學教學應該著重于培養學生的創新能力和將實際問題抽象成數學問題的能力，提高學生利用數學知識解決實際問題的能力。數學建模的普及將會培養學生的創新意識，提高學生應用數學的能力，激發學生的創造欲望，有利于人才的培養。
參考文獻：
數學建模及應用范文第3篇
關鍵詞:經濟學 數學模型 應用
在經濟決策科學化、定量化呼聲日漸高漲的今天,數學經濟建模更是無處不在。如生產廠家可根據客戶提出的產品數量、質量、交貨期、交貨方式、交貨地點等要求,根據快速報價系統(根據廠家各種資源、產品工藝流程、生產成本及客戶需求等數據進行數學經濟建模)與客戶進行商業談判。
一、數學經濟模型及其重要性
數學經濟模型可以按變量的性質分成兩類,即概率型和確定型。概率型的模型處理具有隨機性情況的模型,確定型的模型則能基于一定的假設和法則,精確地對一種特定情況的結果做出判斷。由于數學分支很多,加之相互交叉滲透,又派生出許多分支,所以一個給定的經濟問題有時能用一種以上的數學方法去對它進行描述和解釋。具體建立什么類型的模型,既要視問題而定,又要因人而異。要看自己比較熟悉精通哪門學科,充分發揮自己的特長。
數學并不能直接處理經濟領域的客觀情況。為了能用數學解決經濟領域中的問題,就必須建立數學模型。數學建模是為了解決經濟領域中的問題而作的一個抽象的、簡化的結構的數學刻劃。或者說,數學經濟建模就是為了經濟目的,用字母、數字及其他數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構的刻劃。而現代世界發展史證實其經濟發展速度與數學經濟建模的密切關系。數學經濟建模促進經濟學的發展;帶來了現實的生產效率。在經濟決策科學化、定量化呼聲日漸高漲的今天,數學經濟建模更是無處不在。如生產廠家可根據客戶提出的產品數量、質量、交貨期、交貨方式、交貨地點等要求,根據快速報價系統與客戶進行商業談判。
二、構建經濟數學模型的一般步驟
1.了解熟悉實際問題,以及與問題有關的背景知識。2.通過假設把所要研究的實際問題簡化、抽象,明確模型中諸多的影響因素,用數量和參數來表示這些因素。運用數學知識和技巧來描述問題中變量參數之問的關系。一般情況下用數學表達式來表示,構架出一個初步的數學模型。然后,再通過不斷地調整假設使建立的模型盡可能地接近實際,從而得到比較滿意的結論。3.使用已知數據,觀測數據或者實際問題的有關背景知識對所建模型中的參數給出估計值。4.運行所得到的模型。把模型的結果與實際觀測進行分析比較。如果模型結果與實際情況基本一致,表明模型是符合實際問題的。我們可以將它用于對實際問題進一步的分析或者預測;如果模型的結果與實際觀測不一致,不能將所得的模型應用于所研究的實際問題。此時需要回頭檢查模型的組建是否有問題。問題的假使是否恰當,是否忽略了不應該忽略的因素或者還保留著不應該保留的因素。并對模型進行必要的調整修正。重復前面的建模過程,直到建立出一個經檢驗符合實際問題的模型為止。一個較好的數學模型是從實際中得來,又能夠應用到實際問題中去的。
三、應用實例
商品提價問題的數學模型:
1.問題
商場經營者即要考慮商品的銷售額、銷售量。同時也要考慮如何在短期內獲得最大利潤。這個問題與商場經營的商品的定價有直接關系。定價低、銷售量大、但利潤小;定價高、利潤大但銷售量減少。下面研究在銷售總收入有限制的情況下.商品的最高定價問題。
2.實例分析
某商場銷售某種商品單價25元。每年可銷售3萬件。設該商品每件提價1元。銷售量減少0.1萬件。要使總銷售收入不少于75萬元。求該商品的最高提價。
解:設最高提價為X元。提價后的商品單價為(25+x)元
提價后的銷售量為(30000-1000X/1)件
則(25+x)(30000-1000X/1)≥750000
(25+x)(30-x)≥750[摘要]本文從數學與經濟學的關系出發,介紹了數學經濟模型及其重要性,討論了經濟數學模型建立的一般步驟,分析了數學在經濟學中應用的局限性,這對在研充經濟學時有很好的借鑒作用。即提價最高不能超過5元。
四、數學在經濟學中應用的局限性
經濟學不是數學,重要的是經濟思想。數學只是一種分析工具數學作為工具和方法必須在經濟理論的合理框架中才能真正發揮其應有作用,而不能將之替代經濟學,在經濟思想和理論的研究過程中,如果本末倒置,過度地依靠數學,不加限制地“數學化很可能閹割經濟學的本質,以至損害經濟思想,甚至會導致我們走入幻想,誤入歧途。因為:
1.經濟學不是數學概念和模型的簡單匯集。不是去開拓數學前沿而是借助它來分析、解析經濟現象,數學只是一種應用工具。經濟學作為社會科學的分支學科,它是人類活動中有關經濟現象和經濟行為的理論。而人類活動受道德的、歷史的、社會的、文化的、制度諸因素的影響,不可能像自然界一樣是完全可以通過數學公式推導出來。把經濟學變為系列抽象假定、復雜公式的科學。實際上忽視了經濟學作為一門社會科學的特性,失去經濟學作為社會科學的人文性和真正的科學性。
2.經濟理論的發展要從自身獨有的研究視角出發,去研究、分析現實經濟活動內在的本質和規律。經濟學中運用的任何數學方法,離不開一定的假設條件,它不是無條件地適用于任何場所,而是有條件適用于特定的領域在實際生活中社會的歷史的心理的等非制度因素很可能被忽視而漏掉。這將會導致理論指導現實的失敗。
3.數學計量分析方法只是執行經濟理論方法的工具之一,而不是惟一的工具。經濟學過分對數學的依賴會導致經濟研究的資源誤置和經濟研究向度的單一化,從而不利于經濟學的發展。
4.數學經濟建模應用非常廣泛,為決策者提供參考依據并對許多部門的具體工作進行指導,如節省開支,降低成本,提高利潤等。尤其是對未來可以預測和估計,對促進科學技術和經濟的蓬勃發展起了很大的推動作用。但目前尚沒有一個具有普遍意義的建模方法和技巧。這既是我們今后應該努力發展的方向,又是我們不可推卸的責任。因此,我們要以自己的辛勤勞動,多實踐、多體會,使數學經濟建模為我國經濟騰飛作出應有的貢獻。
數學建模及應用范文第4篇
依據職業教育的培養目標,在職業教育階段,學生僅掌握書本知識已經不能滿足社會的要求,因此,引導學生把所學的數學知識與生活中的實際問題相結合,開展數學建模活動應成為職業教育數學教學活動的重要理念之一。
1 問題提出
1.1 問題
商場經營者即要考慮商品的銷售額、銷售量。同時也要考慮如何在短期內獲得最大利潤。這個問題與商場經營的商品的定價有直接關系。定價低、銷售量大、但利潤小;定價高、利潤大但銷售量減少。下面研究在銷售總收入有限制的情況下.商品的最高定價問題。
1.2 實例分析
某商場銷售某種商品單價25元。每年可銷售3萬件。設該商品每件提價1元。銷售量減少0.1萬件。要使總銷售收入不少于75萬元。求該商品的最高提價。
解:設最高提價為x元。提價后的商品單價為(25x)元
提價后的銷售量為(30000-1000x)件
則(25+x)(30000-1000x)≥750000
(25+x)(30-x)≥750
0≤x≤5
即提價最高不能超過5元。
2 數學建模的概念
數學建模,即構造數學模型,具體地說就是將某一領域或部門的某個實際問題,經過抽象、簡化、明確變量和參數,并依據某種“規律”建立變量和參數間的明確關系(數學模型),然后求解該問題,并對結果進行解釋和驗證,如果正確,則可投入使用,否則將重新對問題的假設進行改進,多次循環,直到正確。
3 數學建模的一般步驟
這里所說的建模步驟只是大體上的規范,實際操作中應針對具體問題作具體分析,靈活運用。建立數學模型的一般步驟如下:
(1)模型準備:
了解熟悉實際問題,以及與問題有關的背景知識,明確建模的目的,掌握研究對象的各種信息(如數據、資料等),弄清對象的特征,分析原型的結構,有時要求建模者做深入細致的調查研究,按模型的需要有目的地收集所需要的數據。
(2)模型假設:
分析處理數據、資料,確定現實原型的主要因素,拋棄次要因素,對問題進行必要的簡化,用精確的語言找出必要的假設,這是非常關鍵的一步。
(3)模型建立:
根據主要因素及所作的假設,利用適當的數學工具描述有關變量和元素的關系,并建立相應的數學模型(如方程、不等式、表格、圖形、函數、邏輯運算式、數值計算式等)。在建模時,數學工具的采用要根據實際問題的特征、建模的目的和要求以及建模者的數學特長而定。因此,采用的數學方法不同,建立的模型可能也不同。但應遵循一條原則,即盡量采用簡單的數學工具,以使模型得到更廣泛的應用。
(4)模型求解:
使用已知數據,觀測數據或者實際問題的有關背景知識對所建模型中的參數給出估計值。利用數學工具,對模型進行求解,包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明、性質討論等,以找出數學上的結果。要求建模者掌握相關的數學知識,尤其是計算技巧和計算機技術。
(5)模型分析:
對模型求解的結果進行數學上的分析,有時需要根據問題的性質分析各變量之間的依賴關系或性態,有時需要根據所得結果給出數學式的預測和最優決策、控制等。
(6)模型檢驗:
把模型分析的結果返回到實際應用中,用實際現象、數據等檢驗模型的合理性和實用性,即驗證模型的正確性。通常,一個成攻的模型不僅能夠解釋已知現象,而且還能預言一些未知現象。
(7)模型應用:
如果檢驗結果與實際不符或部分不符,而且求解過程沒有錯誤,那么問題一般出在模型假設上,此時應該修改或補充假設。如果檢驗結果與實際相符,并滿足問題所要求的精度,則認為模型可用,便可進行模型應用。
我們用圖1示來解釋一下它的基本過程:
4 數學模型介紹
4.1 建立豎式模型
例1 從社會效益和經濟效益出發,某地投入資金進行生態環境建設,并以此發展旅游產業,根據規劃本年度投入800萬元,以后每年投入比上一年減少,本年度當地旅游業收入估計約400萬元,由于該項建設對旅游業的促進作用,預計今后的旅游收入每年比上年增加。問至少經過多少年,旅游業總收入才能超過總投入?
解:設n年內(本年度為第一年),總投入為an萬元,旅游業總收入為bn萬元。
第一年投入800萬元,
第二年投入萬元……,
第n年投入為萬元,所以n年內的總收入為:
第一年旅游收入為400萬元,
第二年旅游收入為萬元,……,
第n年旅游收入為萬元,所以n年內的總收入為:
,化簡得:
>0
解得5.
故至少經過5年,旅游業總收入才能超過總投入。
4.2 建立方程(方程組)模型
例2 永強加工廠接到一批訂單,為完成訂單任務,需用a米長的材料440根,b米長的材料480根,可采購到的原材料有三種,一根甲種材料可截得a米長的材料4根,b米長的材料8根,成本為60元;一根乙種材料可截得a米長的材料6根,b米長的材料2根,成本為50元;一根丙種材料可截得a米長材料4根,b米長的材料4根,成本為40元。問怎樣采購,可使材料成本最低?
分析:若直接設材料成本最低為x元,則根據已給條件不好列方程,所以我們不妨借助于輔助變量;令甲種取x根,乙種取y根,丙種取z根,那么可得到
再設總成本為p元,則求出p=60x+50y +40z的最小值即可。
解:設甲種材料取x根,乙種材料取y根,丙種材料取z根,則x,y,z滿足
設總成本為p元,則求p的最小值,由①,②得
因x,y都是正數0≤z≤100又x,y都是非負整數 令z=5t,則0≤t≤20
于是p=60x+50y+40z=60(50-2t)+50(40-2t)=5000-20t
顯然t=20時,成本最低,即當x=10,y=0,z=100時,取得材料的最低成本為4600元。
4.3 建立不等式模型
例3 南泉汽車租賃公司共有30輛出租汽車,其中甲型汽車20輛,乙型汽車10輛。現將這30輛汽車租賃給A、B兩地的旅游公司,其中20輛派往A地,10輛派往B地,兩地旅游公司與汽車租賃公司商定每天價格如表1:
(1)設派往A地的乙型汽車x輛,租賃公司這30輛汽車一天共獲得租金為y(元),求y與x之間的函數解析式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)若要使租賃公司這30輛汽車一天所獲得的租金總額不低于26800元,請你說明有多少種分派方案,并將各種方案設計出來。
解:(1)y=1000(20-x)+900x+800x+600(10-x)=26000+100x (0≤x≤10)
(2)由題意得:26000+100x≥26800,
又因為0≤x≤10,且x是整數,所以x取8,9,10故方案有3種。
方案1:A地派甲型車12輛,乙型車8輛;B地派甲型車8輛,乙型車2輛;
方案2:A地派甲型車11輛,乙型車9輛;B地派甲型車9輛,乙型車1輛;
方案3:A地派甲型車10輛,乙型車10輛;B地派甲型車10輛。
例4 學校食堂定期從糧店以每噸1500元的價格購買大米,每次購進大米需支付運輸費100元,食堂每天需用大米1噸,貯存大米的費用為每噸每天2元,假定食堂每次均在用完大米的當天購買。(1)該食堂每多少天購買一次大米可使平均每天支付的總費用最少?(2)糧店提出價格優惠條件:一次購買量不少于20噸時,大米價格可享受九五折(即原價的95%),問食堂可否接受此優惠條件?說明理由。
解:(1)設每n天購進一次大米,則購米量為n噸,那么庫存費用為:
2[n+(n-1)+…+2+1]=n(n+1),
記平均每天的總費用為y1,則
當且僅當,即n=10時,等號成立,故應每10天購買一次大米,可使平均每天支付的總費用最少。
(2)顯然,若接受優惠條件,則至少每20天訂購一次,即每m天購一次時,有m≥20,記此時每天總費用為y2,那么
(m≥20)
因為
所以函數是增函數,故當m=20時,y2最小值為1451,因為1451
4.4 構建幾何模型
例5 在某海濱城市附近海面有一臺風,據監測,當前臺風中心位于城市O(如圖所示)的東偏南方向300km的海面P處,并以20kmh的速度向西偏北方向移動,臺風侵襲的范圍為圓形區域,當前半徑為60km,并以10kmh的速度不斷增大,問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲?
解:記時刻t(h)臺風中心為p,臺風侵襲區域的半徑為r(t)
則
,由題意當時,城市O受到臺風侵襲。
而令,
所以
即:
故
所以12小時后該城市開始受到臺風的侵襲。
4.5 構建排列,組合模型
例6 兩條直徑把圓面分為四部分,如圖所示:現用四種顏色涂這四個區域,問相鄰區域不同色的涂法有幾種?
解:分三類:用四種顏色去涂有
用三種顏色去涂,則相對的兩個區域涂同一顏色,
于是有
用兩種顏色去涂有。
所以共有24+48+12=84種。
4.6 構建函數模型
例7 一商場經銷某種電器,根據銷售情況年進貨量為5000臺,分若干次進貨,若每臺電器價格為2400元,每次進貨需費用1600元(包括運輸等各種費用),且在售完該電器時能立即進貨,每一臺電器的年庫存保管費率為10?。為降低成本,使一年的進貨費用和庫存保管費用之和最省,每次應進貨多少臺?此時一年的進貨費與庫存保管費之和是多少?
解:設每次進貨x臺,則由上述分析知,每年總費用y(進貨費與庫存保管費之和)為:
當且僅當即x=250時取等號,此時可取最小值60000。
答:每次進貨250臺時,一年的進貨費與庫存保管費之和最省,為60000元。
例8建造一個容積為8m3,深為2m的長方無蓋水池,如果池底和池壁的造價每平方米分別120元和80元,那么水池的最低造價為多少元?
分析設池長為xm,由已知條件,池底面積4m2,則池寬為4m,那么水池總造價y元為:
解:將函數轉化為方程,利用判別式來解決。
時取得最小值解得=1760元,此時x=2附條件,則水池的最低造價為1760元,
4.7 構建實際生活的數學模型
例9海中有一個小島A,該島四周10海里內有暗礁,今有貨輪由西向東航行。開始在A島南偏西55°的B處,往東行駛20海里后到達該島的南偏西25°的C處后,貨輪繼續向東航行。你認為貨輪繼續向東航行途中會有觸礁的危險嗎?
已知:由數學模型知
求AD的長
解:由數學模型得
而
由BD―CD=BC 又BC=20海里,
得
海里
20.79海里>10海里, 貨輪沒有觸礁的危險.
例10我們都知道,《烏鴉喝水》的故事,說的是:一只烏鴉口渴了,到處找水喝。烏鴉看見一個瓶子,瓶子里有水。可是瓶子里的水不多,瓶子口有小,烏鴉喝不著水,怎么辦呢?烏鴉看見瓶子旁邊有許多小石子,想出辦法來了。烏鴉把小石子一個一個地放進瓶子里,瓶子里的水漸漸升高,烏鴉就喝著水了。問:這一只聰明的烏鴉,可是這只聰明的烏鴉真的能喝到水嗎?
解構建數學模型,不妨假定所投入的石塊都是大小相同的石球,其直徑為r,共有n 個。所有的小石球都緊密地排在一起,并且球心都在同一條直線上。再假定瓶了的形狀是方柱體,其內部空間被分成 n個棱長為r 的小正方體。這樣,瓶子里的總空隙就可以看作是每個小石子的外切正方體與小石球體積差的總和。由上面的假定可知:每一個小石球的體積為,其外切小正方體的體積為r3,所以瓶子里的總空隙為,
數學建模及應用范文第5篇
數學建模是培養學生運用數學知識解決實際問題的能力. 我國受國際上“問題解決”教學的影響, 也注意強調對學生的分析問題和解決問題的能力培養, 開始在教育中引進實際問題, 教育部 2003 年頒布的《普通高中數學課程標準》把數學建模納入其中, 這是我國中學數學應用與建模發展的里程碑, 同時標志著數學建模正式進入我國高中數學教學.
【關鍵詞】高中；數學；建模；問題；應用
【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】1009-5071(2012)02-0230-01
在高中數學中，數學建模實際上就是如何去解決生活中的實際問題。根據本人的實際教學經驗，發覺學生很難掌握數學建模這一方法。學生存在的主要困難有以下三點：（1）望而怯步,棄城投降。數學實際問題的文字敘述比較長,數量比較多,關系比較隱蔽;因此,面對一大堆非形式化的材料,許多學生不知從何下手,產生懼怕心理,有的一看是篇幅較長的文字題讀也不讀就放棄了。（2）術語不熟,題意難懂。由于實際應用題中有許多其他知識領域的名詞術語,如利率、利潤、打折、保險金、納稅率和折舊率等。如果對這些名詞術語語不熟悉,那么,正確理解題意也就談不上了。（3）雜亂無章,無從下手。許多實際問題中,涉及到的數據多又雜,數量關系不明顯,而且數據具有生活實際的本來面目,雜亂無章,頭緒紛聚,很難找到解決問題的實破口。面對題目,無從下手。但實際問題的解決又非常重要，在高考試卷中一般都會出現。
下面來看幾個2007年各地高考試卷中出現的一些關于實際問題的題目。
例1、（浙江卷理4）要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個草坪都能噴灑到水.假設每個噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個數最少是
（A）3 （B）4
（C）5 （D）6
例2、（安徽卷理21）某國采用養老儲備金制度，公民在就業的第一年就交納養老儲備金，數目為a1，以后每年交納的數目均比上一年增加 d（d>0）, 因此，歷年所交納的儲備金數目a1, a2, … 是一個公差為 d 的等差數列. 與此同時，國家給予優惠的計息政府，不僅采用固定利率，而且計算復利. 這就是說，如果固定年利率為r（r>0）,那么, 在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為 a1（1+r）n－1，第二年所交納的儲備金就變成 a2（1+r）n－2，……. 以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額.
（Ⅰ）寫出Tn與Tn－1（n≥2）的遞推關系式；
（Ⅱ）求證Tn=An+ Bn，其中{An}是一個等比數列，{Bn}是一個等差數列.
例3、（湖南卷理19）如圖4，某地為了開發旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ(0″
（Ⅰ）在AB上求一點D，使沿折線PDAD修建公路的總造價最小；
（Ⅱ）對于（I）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小；
（Ⅲ）在AB上是否存在兩個不同的點D′、E′，使沿折線PD′E′O修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結論.
可知用數學建模來解決實際問題的方法已越來越重要。如何來解決呢？一般可構建一些學生所熟悉的模型：如構建函數模型，構建數列模型，構建不等式模型，構建解析集合模型，構建立體幾何模型，構建排列組合模型等等。下面我們結合案例來講述數學建模的一般過程。在《數學課程標準》中我們可以看出建模重點在于過程, 我們要為學生創設一個學數學、用數學的環境, 為學生提供自主學習、自主探索、自主提出問題、自主解決問題的機會. 盡量為不同水平的學生提供展現他們創造力的舞臺, 發揮學生自己的特長和個性, 提高他們綜合利用自己所學知識解決問題的能力, 感受數學的使用價值. 充分發揮學生的創新意識, 同時培養學生團隊合作的精神,養成與人交流的習慣.
案例：
你正在為你父母的投資選擇充當顧問, 你的父母早就想改善住房條件, 5 年前在銀行開設 5 年期零存整取賬戶, 堅持每月在工資發放當天存入現金 1000 元, 從沒間斷,今年剛好到期. 最近, 你的父母看中一套價值 20 萬元的房子, 決定從銀行取出這筆存款, 不足部分再向銀行申請按揭貸款, 我們一起研究你的父母還需要向銀行貸多少款? 你父母向銀行申請為期10年的貸款13萬元, 結果只批準貸款 10 萬元, 請你解釋這是為什么.問題分析: 首先收集材料調查銀行住房存貸款類型、( 整存整取, 零存整取等) 年利率、利息計算形式( 單息, 復息) . 題中所要解決的問題:父母存款額, 需貸款額, 父母的償還能力.模型假設: 銀行存貸款利率不隨物價波動即為常數.模型建立與求解:
(1) 父母現在共有存款多少?還需貸款多少?
在上述簡化假設下, 父母五年存入 5×12×1000=60000( 元) , 每筆款子由于存期不同所得本利和不同, 按單利計算, 當年五年期零存整取的月利率為 8/1000, 每期為一個月, 1000 元每期的利息為 1000×8/1000=8( 元) , 設按本金存入順序本利和依次為 a1, a2, ...a60, 則:a1=1000+60×8, a2=1000+59×8, a3=1000+48×8, a60=1000+8, 故{ an} 為公差 d=- 8 的等差數列, 實際問題就轉化為求等差數列前 n 項和:S=n( a1+an) /2=60( 1000+60*8+1000+8) /2=74640( 元)
200000- 74640=125360( 元) .
父母現有存款 74640 元, 還需向銀行貸款約 13 萬元.
( 2) 銀行減少貸款數額, 考慮什么因素?(償還能力)
( 學生互相討論) 據統計, 全家四口人每人每月的生活費400 元, 每年全家穩定收入 3.7 萬元,
月償還能力=年凈收入/12=( 37000- 400×4×12) /12=1483.33,
父母申請按揭貸款 13 萬元, 每月應歸還貸款為:( 按歇貸款是每月等額歸還本息的一種貸款種類. 10 年期貸款的月利率為 4.65/1000, 按復利計, 從貸款日起, 每過一個月還貸款一次, 每次歸還的金額相同, 10 年即 120 個月后本息全部還清. 設每月還款額為 x, 每期還款后的金額為 ai(i=1,2,…120).貸款額p=13萬,利率r=4.65/1000.則:
a1=p(1+r)-x,
a2=a(11+r)-x=p(1+r)-x(1+r)-x,
ai=ai-(11+r)-x=p(1+r)i-x(1+r)i-1-…-x(1+r)-x,
a120=p(1+r)120-x(1+r)119-x(1+r)118-…x(1+r)-x.
由于第120月貸款還清,所以a120=0(這是極關鍵的一步).所以
x［1+(1+r)+…+(1+r)119］=p(1+r)120（轉化成數學問題),
則有x=p(1+r)120r(1+r)120-r.
把p=130000,r=4.65/1000代入得x=1415.99,
1483.33-1415.99=67.34.
銀行認為貸給13萬元風險較大,月償還1415.99/13×10=1089.22(元)較符合實際.
模型分析與推廣.
(1)銀行存貸款利息計算方法是不一樣的.但復利計算則存款與貸款的本利和就相等,對換銀行與父母的角色還錢就變成零存整取了.
