討論單調性的步驟

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討論單調性的步驟范文第1篇

關鍵詞：函數的單調性；數學思想；層次性；高效課堂

基本情況

一、授課對象

授課對象是四星級高中普通班學生，他們的數學基礎較好，數學思維能力較活躍. 在初中，學生已經歷了函數學習的第一階段，接受了初步的函數知識，對函數的單調性有“形”的直觀的認識，了解“y隨x增大而增大（減小）”來描述圖象的上升（下降）走勢，但還沒有對函數的單調性進行系統的定義，還不能形式化、符號化的表示函數的單調性，因此，他們非常迫切地想從“數”的角度知道如何理論地定義函數的單調性.

二、教材分析

1. 教材的地位和作用

“函數的單調性”是高中蘇教版的實驗教科書《數學》必修（1）第2?1?3節“函數的簡單性質”的第一課時，在學習了函數的概念和圖象、函數的表示方法，體會了兩個變量之間的依賴關系的基礎上，需進一步系統地研究兩個變量之間的變化關系，故將學習函數性質提上了日程.

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，可以幫助解決許多實際問題. 作為數學模型，它需要從概念、表示、性質等多角度建構完善自己的數學體系，函數的單調性正是這諸多方面中一個重要的性質，它決定了函數的變化、函數圖象的形狀，是函數諸多性質中最核心的內容，是研究函數時經常要關注和使用的一個性質，是高考的重點、熱點，它在判斷或證明函數的單調性、比較大小、求函數的單調區間、利用單調性求參數的取值范圍、利用單調性解不等式、對函數作定性分析、求函數的極值，以及與其他知識的綜合應用上都有著廣泛的應用. 同時，本小節又是后繼學習指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等具體函數性質的基礎，是高中數學的核心知識之一，故本節內容在函數教學中起到承前啟后的樞紐作用.

2. 教學內容和教學目標

教學內容：函數的單調性

根據教學大綱的要求及本人所教班級學生的實際情況，筆者把教學目標確定如下：

（1）知識目標：使學生理解函數單調性的概念，理解函數單調性的幾何特征，初步掌握利用函數圖象和定義判斷、證明簡單函數在給定區間上的單調性；

（2）能力目標：通過函數單調性概念的探究，滲透數形結合的思想方法，培養學生觀察歸納、抽象、類比的能力和語言表達能力，通過對簡單函數單調性的證明，提高學生推理論證的能力；

（3）情感目標：通過對新知識的探索，培養學生仔細觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生感知從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，讓學生體驗數學的符號功能和工具功能及不斷探求新知識的精神.

3. 教材的重點與難點

重點：函數單調性的概念及證明簡單函數的單調性.

難點：函數單調性概念的生成及利用定義判斷函數的單調性.

這是因為，對學生來說，函數的單調性早已有所知，然而沒有給出定義，只是從直觀上接觸過這一性質，學生對此有一定的感性認識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學生也會覺得是已經學過的知識，感覺乏味，容易疲勞，因此，授課時需重視概念的生成，讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，感受數學知識的螺旋上升，從理論層面上二次認識函數的單調性，其中甚至包含著辯證法的原理.另外，對概念的分析是在引入一個新概念時必須要做的，對概念的深入的正確的理解往往是學生認知過程中的難點，因此在課堂上突出對概念的分析不僅是為了分析函數的單調性的定義，而是想讓學生對如何學會、弄懂一個概念有初步的認識，并且在以后的學習中學有所用. 所以筆者把教學重點定為“函數單調性的概念”.

還有，學生首次接觸“使用定義證明單調性”的代數論證方法，給出步驟，體現了算法思想，有利于學生理解概念，對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助，這也是不等式證明方法中比較法的基本思路，現在提出要求，為今后的教學作一定的鋪墊.

教學過程

一、設計情境、引入新課

教師：圖1是我市一天24小時內的氣溫變化圖，我們已經知道它是氣溫θ關于時間t的函數，觀察這張氣溫變化圖，說出氣溫在哪些時段內是逐漸升高的或下降的.

學生1：在0時到4時氣溫逐漸下降，在4時到14時氣溫逐漸上升，從14時到24時，氣溫又逐漸下降.

教師：怎樣用數學語言刻畫上述時間段內“隨著時間的增加氣溫逐漸升高”這一特征呢？為解決這個問題，首先需要建立函數單調性的嚴格定義. （引入課題）

2. 歸納探索，形成概念

問題1 觀察下列4個函數的圖象，當自變量x逐漸增大時，研究圖象的變化趨勢.

教師：對一次函數來說，圖象一直上升或下降，但是對二次函數y=x2來說，圖象先下降后上升，這說明了什么？

學生4：說明在研究二次函數的圖象時需要分情況討論. 當x≤0時，圖象下降；當x≥0時，圖象上升.

問題2 你能說出“圖象呈上升趨勢或呈下降趨勢”的意思嗎？

學生5：圖象呈上升趨勢？圳y隨x的增大而增大；圖象呈下降趨勢？圳y隨x的增大而減小.

教師：當函數圖象在某區間上上升時，則稱函數為該區間上的單調增函數；當圖象下降時，則稱函數為該區間上的單調減函數. 這是我們對單調性的“形”的認識，根據“形”的定義，你能說出氣溫變化圖這個函數的單調性嗎？

學生6：函數在區間[0，4]上是減函數，在區間[4，14]上為增函數，在區間[14，24]上減函數.

教學設想：通過生活實例感受函數單調性的意義，培養學生的識圖能力與數形結合語言轉換能力.

問題3 利用函數y=x2的圖象，試比較下列各數的大小：22，32，42，（4.1）2，（5.2）2，（6.4）2

學生7：從函數y=x2圖象上看，因為當x≥0時，圖象上升，y隨x的增大而增大，故22

問題4 對函數f（x），如果-2

學生8：不能，比如函數y=x2，圖象在（-2，3）上先下降后上升，函數應該先減后增.

問題5 若函數f（x）對于區間（0，+∞）上無數多個自變量x1，x2，x3，…，當0

學生9：不能，如圖6所示.

問題6 在函數y=x2的圖象位于y軸右側部分隨便（任意）取兩點，橫坐標分別為x1，x2即0

學生：是. （齊聲）

問題7 在函數在函數y=x2的圖象上任意取兩點，橫坐標分別為x1，x2，當x1

學生10：不是. 當點都取在y軸左側部分上時，x1y2. 當點一個取在y軸左邊，一個取在y軸右邊時，x1

問題8 能不能試著用數學符號說說什么是單調增函數？并且畫出示意圖嗎？

學生11：設函數y=f（x）的定義域為D，區間I？哿D.如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當x1

問題9 對于定義中的關鍵詞“區間內”、“任意”、“當x1

學生12：不能，否則要出現問題4、5、7中的情況.

問題10 類比單調增函數概念，你能給出單調減函數的概念嗎？

學生13：如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當x1f（x2），那么就說y=f（x）在區間I上是單調減函數，I稱為y=f（x）的單調減區間.

教師：這樣我們得到了單調增函數、單調減函數的定義，并且如果函數y=f（x）在區間I上是單調增函數或單調減函數，那么就說函數y=f（x）在區間I上具有單調性. 單調增區間和單調減區間統稱為單調區間.

教學設想：通過問題串，鋪設形成概念的階梯，不斷創設疑問，引導學生積極思考、討論，讓學生一步步體會出概念，把握住概念中的關鍵詞“區間內”、“任意”、“當x1

3. 數學應用，掌握方法

例1 畫出下列函數圖象，并寫出單調區間：

練習1 課本37頁練習？搖？搖 1、2、6、7

教學設想：1. 利用圖象判斷函數的單調性，從“形”的方面體會函數的單調性，理解單調性的幾何意義，體會函數的單調性是函數的局部性質.

2. 進一步體會單調性定義中的“任意”這一詞；理解區間I？哿A.

教師：對于給定的圖象的函數，借助于圖象，我們可以直觀地判斷函數的單調性，也能找到單調區間，而對于一般的函數，我們怎樣判斷函數的單調性呢？我們需要學習“數”的方法研究函數的單調性.

教學設想：（1）應用定義給出形式化的證明，從“數”的方面理解單調性.

（2）為了學生能很快形成證明思路，掌握證明方法，指出函數單調性證明的要點.

方法：作差比較法.

步驟：

①設變量：設區間上的任意兩個值x1，x2，且x1

②作差：f（x1）-f（x2）；

③變形：主要使用通分、因式分解、配方等手段使之成為幾個因式乘積形式；

④斷號；

⑤定論.

其中作差是依據，變形是手段，判斷正負是目的.

4. 回顧小結，提高能力

本節課主要內容：

1. 函數單調性及生成的過程，感受了數學研究問題從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程；

2. 判斷函數單調性的方法：圖形法、變量值法、定義法；

3. 利用定義證明函數單調性的步驟，感受代數推理的嚴謹性；

4. 本節課涉及的數學思想方法：數形結合思想、等價轉化思想、類比思想.

教學設想：學生概括，教師補充共同完成，體現師生互動.

5. 作業布置，鞏固成效

習題2.1（3） 1、7 （2） （4）

思考：已知函數y=f（x）在定義域R上是單調減函數，且f（a+1）>f（2a），求a的取值范圍.

教學設想：課后及時復習可以溫故知新；作業分層對學有余力的學生能起到開闊思維的作用.

教學反思

討論單調性的步驟范文第2篇

一、函數單調性的定義

在蘇教版高中數學教材必修1中，對函數的單調性定義是：一般地，設函數

y=f (x)的定義域為A，區間IA.如果對于區間I內的任意兩個值

x1，x2，當x1

f (x1)

y=f (x)在區間I上是單調增函數，I稱為

y=f (x)的單調增區間.如果對于區間I內的任意兩個值

x1,x2，

當x1

f (x1)>f (x2)，那么就說

y=f (x)在區間I上是單調減函數，I稱為y=f (x)的單調減區間.如果函數

y=f (x)在區間I上是單調增函數或單調減函數，那么就說函數

y=f (x)在區間I上具有單調性.

在單調區間內，函數如果是單調增函數，那么該函數的函數圖像是呈上升狀態的，相反，則為下降狀態.

二、運用函數單調性定義解題

解答題中研究、討論、證明函數單調性，定義法是我們需要考慮的一種方法.尤其是在題目中明確要求用定義法進行證明時，定義法就無可回避，因此要熟練掌握用定義法證明單調性的步驟.特別要強調的是帶有無理式的函數在用定義法進行論證的過程中要注意無理式的有理化.

例1 已知函數

f (x)=x+x2+2（

x∈R），用單調性的定義證明函數

y=f (x)在R上是單調遞增函數.

解析：設

x1,x2∈R

且x1

所以f (x1)-f (x2)=

x1+x21+2

-x2-x22+2

=

x1-x2+(x1-x2)(x1+x2)

x21+2+

x22+2

=(x1-x2)

x21+2+

x1+

x22+2+x2

x21+2+

x22+2,

因為x1-x20,

x22+2+x2>0,

x21+2

+x22+2

>0,所以f (x1)

R上單調遞增.

例2 已知函數f (x)=x3+

sinx,x∈(-1,1)，若

f (1-m)-f (m2-1)

解析：

由函數的單調性定義可知，若函數

y=f (x)在區間I上為單調增函數，且

f (x1)

x1

f (x)在區間(-1,1)上是單調增函數，因此，

f (1-m)-f (m2-1)

，可化為

f (1-m)

1-m

-1

-1

，從而求出

m的取值范圍為

(1,2).

三、運用函數圖象解題

在函數的解題中，利用函數圖象進行解題是最常見的方法，因為根據圖象學生能夠更直觀的看出函數的性質，利用數形結合的方式更容易進行解題.從圖象上看，在單調區間上的增函數，隨x值的增大，它的圖象呈逐漸上升的趨勢，在單調區間上的減函數，隨x值的增大，它的圖象呈逐漸下降的趨勢.教學中，除了掌握我們所學的基本初等函數的圖象外，教師可以讓學生掌握幾種常見函數的圖象，如，

f (x)=x+1 x,f (x)=x-1 x

等，讓學生記住該類函數的單調性.

另外，可以從函數圖象的奇偶性特點進行分析函數的單調性.奇函數在關于原點的對稱區間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點的對稱區間上具有相反的單調性.

如：已知f (x)=x(1 2x-1+

1 2)，（1）判斷

f (x)的奇偶性；（2）求證

f (x)>0.

在第（1）問判斷出

f (x)為偶函數的前提下，求證第（2）問時，只需要證明

x>0時

,

f (x)>0，即只需要證明

1 2x-1

+1 2>0

，可以大大簡化運算.

四、運用復合函數解題

在高中數學中，對于復合函數的定義是函數

y=f (g(x))

是用函數

y=f (t)和函數

t=g(x)組合而成的，其中

t=g(x)為內層函數，

y=f (t)為外層函數.復合函數單調性的定義是如果內外層函數的單調性不同即一增一減，則復合函數的單調性是遞減函數；相反，如果內外層函數的單調性相同即同增同減，則復合函數的單調性是遞增函數.

如,判斷函數f (x)=3x2+1的單調性時，首先應該區分出該復合函數的外層函數為

f (t)=3t，內層函數為

t=x2+1.其中內層函數

t=x2+1是關于y軸對稱的偶函數，在

(-∞,0)上是遞減函數，在

(0,+∞)上是遞增函數.而外層函數

f (t)=3t是指數函數，在

(-∞,+∞)上為遞增函數.根據復合函數同增異減的判斷原則可知，當

x∈(-∞,0)時，函數

f (x)=3x2+1為單調遞減函數，而當

x∈(0,+∞)時，函數

f (x)=3x2+1為單調遞增函數.

五、運用導數法解題

導數作為研究函數的工具，開辟了許多新途徑.特別是對于具體函數，利用導數求解函數單調性，思路清晰，步驟明確，既快捷又易于掌握.

例3 （2013年江蘇高考第20題）設函數

f (x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實數.

（1）若f (x)在

(1,+∞)上是單調減函數，且g(x)在

(1,+∞)上有最小值，求a的取值范圍.

解析：（1）

因為f ′(x)=1 x

-a=1-ax x，考慮到函數

f (x)的定義域為(0,+∞)，且

f (x)在(1,+∞)上是單調減函數，所以a>0.

令f ′(x)

x>1 a，所以

f (x)在區間

(1 a,+∞)上是單調減函數.由于

f (x)在

(1,+∞)上是單調減函數，故

(1,+∞)(1 a,+∞)，從而

1 a≤1，所以得a≥1.

令g′(x)=ex-a=0得

x=lna，當

x

g(x)單調遞減；當

x>lna時，

g′(x)>0

，

g(x)

單調遞增；又

g(x)在(1,+∞)上有最小值，所以

lna>1，得

a>e.綜上，a的取值范圍為

討論單調性的步驟范文第3篇

一、知識結構

（1）函數單調性的概念。包括增函數、減函數的定義，單調區間的概念函數的單調性的判定方法，函數單調性與函數圖像的關系.

（2）函數奇偶性的概念。包括奇函數、偶函數的定義，函數奇偶性的判定方法，奇函數、偶函數的圖像.

二、重點難點分析

(1)本節教學的重點是函數的單調性,奇偶性概念的形成與認識.教學的難點是領悟函數單調性,奇偶性的本質,掌握單調性的證明.

(2)函數的單調性這一性質學生在初中所學函數中曾經了解過,但只是從圖象上直觀觀察圖象的上升與下降,而現在要求把它上升到理論的高度,用準確的數學語言去刻畫它.這種由形到數的翻譯,從直觀到抽象的轉變對高一的學生來說是比較困難的,因此要在概念的形成上重點下功夫.單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容,學生在代數論證推理方面的能力是比較弱的,許多學生甚至還搞不清什么是代數證明,也沒有意識到它的重要性,所以單調性的證明自然就是教學中的難點.

三、教法建議

（1）函數單調性概念引入時,可以先從學生熟悉的一次函數,,二次函數.反比例函數圖象出發,回憶圖象的增減性,從這點感性認識出發,通過問題逐步向抽象的定義靠攏.如可以設計這樣的問題:圖象怎么就升上去了?可以從點的坐標的角度,也可以從自變量與函數值的關系的角度來解釋,引導學生發現自變量與函數值的的變化規律,再把這種規律用數學語言表示出來.在這個過程中對一些關鍵的詞語(某個區間,任意,都有)的理解與必要性的認識就可以融入其中,將概念的形成與認識結合起來.

（2）函數單調性證明的步驟是嚴格規定的,要讓學生按照步驟去做,就必須讓他們明確每一步的必要性,每一步的目的,特別是在第三步變形時,讓學生明確變換的目標,到什么程度就可以斷號,在例題的選擇上應有不同的變換目標為選題的標準,以便幫助學生總結規律.

函數的奇偶性概念引入時,可設計一個課件,以的圖象為例,讓自變量互為相反數,觀察對應的函數值的變化規律,先從具體數值開始,逐漸讓在數軸上動起來,觀察任意性,再讓學生把看到的用數學表達式寫出來.經歷了這樣的過程,再得到等式時,就比較容易體會它代表的是無數多個等式,是個恒等式.關于定義域關于原點對稱的問題,也可借助課件將函數圖象進行多次改動,幫助學生發現定義域的對稱性,同時還可以借助圖象(如)說明定義域關于原點對稱只是函數具備奇偶性的必要條件而不是充分條件.

函數的奇偶性教學設計方案

教學目標

1.使學生了解奇偶性的概念,回會利用定義判斷簡單函數的奇偶性.

2.在奇偶性概念形成過程中,培養學生的觀察,歸納能力,同時滲透數形結合和特殊到一般的思想方法.

3.在學生感受數學美的同時,激發學習的興趣,培養學生樂于求索的精神.

教學重點,難點

重點是奇偶性概念的形成與函數奇偶性的判斷

難點是對概念的認識

教學用具

投影儀,計算機

教學方法

引導發現法

教學過程

一.引入新課

前面我們已經研究了函數的單調性,它是反映函數在某一個區間上函數值隨自變量變化而變化的性質,今天我們繼續研究函數的另一個性質.從什么角度呢?將從對稱的角度來研究函數的性質.

對稱我們大家都很熟悉,在生活中有很多對稱,在數學中也能發現很多對稱的問題,大家回憶一下在我們所學的內容中,特別是函數中有沒有對稱問題呢?

(學生可能會舉出一些數值上的對稱問題,等,也可能會舉出一些圖象的對稱問題,此時教師可以引導學生把函數具體化,如和等.)

結合圖象提出這些對稱是我們在初中研究的關于軸對稱和關于原點對稱問題,而我們還曾研究過關于軸對稱的問題,你們舉的例子中還沒有這樣的,能舉出一個函數圖象關于軸對稱的嗎?

學生經過思考,能找出原因,由于函數是映射,一個只能對一個,而不能有兩個不同的,故函數的圖象不可能關于軸對稱.最終提出我們今天將重點研究圖象關于軸對稱和關于原點對稱的問題,從形的特征中找出它們在數值上的規律.

二.講解新課

2.函數的奇偶性(板書)

教師從剛才的圖象中選出,用計算機打出,指出這是關于軸對稱的圖象,然后問學生初中是怎樣判斷圖象關于軸對稱呢?(由學生回答,是利用圖象的翻折后重合來判定)此時教師明確提出研究方向:今天我們將從數值角度研究圖象的這種特征體現在自變量與函數值之間有何規律?

學生開始可能只會用語言去描述:自變量互為相反數,函數值相等.教師可引導學生先把它們具體化,再用數學符號表示.(借助課件演示令比較得出等式,再令,得到,詳見課件的使用)進而再提出會不會在定義域內存在,使與不等呢?(可用課件幫助演示讓動起來觀察,發現結論,這樣的是不存在的)

從這個結論中就可以發現對定義域內任意一個,都有成立.最后讓學生用完整的語言給出定義,不準確的地方教師予以提示或調整.

(1)偶函數的定義:如果對于函數的定義域內任意一個,都有,那么就叫做偶函數.(板書)

(給出定義后可讓學生舉幾個例子,如等以檢驗一下對概念的初步認識)

提出新問題:函數圖象關于原點對稱,它的自變量與函數值之間的數值規律是什么呢?(同時打出或的圖象讓學生觀察研究)

學生可類比剛才的方法,很快得出結論,再讓學生給出奇函數的定義.

(2)奇函數的定義:如果對于函數的定義域內任意一個,都有,那么就叫做奇函數.(板書)

(由于在定義形成時已經有了一定的認識,故可以先作判斷,在判斷中再加深認識)

例1.判斷下列函數的奇偶性(板書)

(1);(2);

(3);;

(5);(6).

(要求學生口答,選出1-2個題說過程)

解:(1)是奇函數.(2)是偶函數.

(3),是偶函數.

前三個題做完,教師做一次小結,判斷奇偶性,只需驗證與之間的關系,但對你們的回答我不滿意,因為題目要求是判斷奇偶性而你們只回答了一半,另一半沒有作答,以第(1)為例,說明怎樣解決它不是偶函數的問題呢?

學生經過思考可以解決問題，指出只要舉出一個反例說明與不等.如即可說明它不是偶函數.(從這個問題的解決中讓學生再次認識到定義中任意性的重要)

從(4)題開始,學生的答案會有不同,可以讓學生先討論,教師再做評述.即第(4)題中表面成立的=不能經受任意性的考驗,當時,由于,故不存在,更談不上與相等了,由于任意性被破壞,所以它不能是奇偶性.

教師由此引導學生,通過剛才這個題目,你發現在判斷中需要注意些什么?(若學生發現不了定義域的特征,教師可再從定義啟發,在定義域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,從而發現定義域應關于原點對稱,再提出定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的什么條件?

可以用(6)輔助說明充分性不成立,用(5)說明必要性成立,得出結論.

(3)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要但不充分條件.(板書)

由學生小結判斷奇偶性的步驟之后,教師再提出新的問題:在剛才的幾個函數中有是奇函數不是偶函數,有是偶函數不是奇函數,也有既不是奇函數也不是偶函數,那么有沒有這樣的函數,它既是奇函數也是偶函數呢?若有,舉例說明.

經學生思考,可找到函數.然后繼續提問:是不是具備這樣性質的函數的解析式都只能寫成這樣呢?能證明嗎?

例2.已知函數既是奇函數也是偶函數,求證:.(板書)(試由學生來完成)

證明:既是奇函數也是偶函數,

=,且,

=.

,即.

證后,教師請學生記住結論的同時,追問這樣的函數應有多少個呢?學生開始可能認為只有一個,經教師提示可發現,只是解析式的特征,若改變函數的定義域,如,,,,它們顯然是不同的函數,但它們都是既是奇函數也是偶函數.由上可知函數按其是否具有奇偶性可分為四類

(4)函數按其是否具有奇偶性可分為四類:(板書)

例3.判斷下列函數的奇偶性(板書)

(1);(2);(3).

由學生回答,不完整之處教師補充.

解:(1)當時,為奇函數,當時,既不是奇函數也不是偶函數.

(2)當時,既是奇函數也是偶函數,當時,是偶函數.

(3)當時,于是,

當時,,于是=,

綜上是奇函數.

教師小結(1)(2)注意分類討論的使用,(3)是分段函數,當檢驗,并不能說明具備奇偶性,因為奇偶性是對函數整個定義域內性質的刻畫,因此必須均有成立,二者缺一不可.

三.小結

1.奇偶性的概念

2.判斷中注意的問題

四.作業略

五.板書設計

2.函數的奇偶性例1.例3.

(1)偶函數定義

(2)奇函數定義

(3)定義域關于原點對稱是函數例2.小結

具備奇偶性的必要條件

(4)函數按奇偶性分類分四類

探究活動

(1)定義域為的任意函數都可以表示成一個奇函數和一個偶函數的和,你能試證明之嗎?

(2)判斷函數在上的單調性,并加以證明.

討論單調性的步驟范文第4篇

關鍵詞：微分中值定理；單調性；極值；泰勒公式；凹凸性

引言：在數學分析中，不等式的討論甚至不等式的推演是很常見的.對簡單不等式的證明可以通過作差或作商或與1作比較解決.碰到較為復雜的不等式使用高等數學的方法討論將會收到事半功倍的效果，本文總結了幾種利用高等數學知識證明不等式的方法.

1 利用函數的單調性及微分中值定理

命題1：設f（x）定義在區間I內，若f'（x）＞0（或f'（x）＜0），x∈I則函數f（x）在I內嚴格增加（或嚴格減少）.

實質：根據所證的不等式構造一個函數F（x），利用導數的符號判斷F（x）的單調性，使得被證明的不等式轉化為一個單調函數在兩點的函數值的比較.

命題2：（lagrange中值定理）若函數f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，則f'（?孜）=■，其中?孜∈（a，b）.

例1：設e＜a＜b＜e2，證明ln2b-ln2a＞■（b-a）.

證明：對f（x）=ln2x在[a，b]上應用拉格朗日中值定理得：ln2b-ln2a=■（b-a），（a＜?孜＜b）

設?漬（t）=■，則?漬'（t）=■

當t＞e時，?漬'（t）＜0，所以?漬（t）單調減少

從而?漬（?孜）＞?漬（e2）

即■＞■=■

故ln2b-ln2a＞■（b-a）

應用函數的單調性及微分中值定理證明不等式問題是一種較常用的方法，具體步驟如下：

①在[a，b]上由題意引入函數f（x）.

②寫出微分中值公式f'（?孜）=■，?孜∈（a，b）.

③這里的關鍵也是輔助函數的引入，對f'（?孜）進行估值m≤f'（x）≤M從而有m≤■≤M.

2 利用曲線的凹凸性

命題3：若f（x）為（a，b）內的凹（或凸）函數，且x1，x2，…，xn∈（a，b）

則f（■）≥■

（或f（■）≤■）

當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立.（可由函數凹凸性的定義和推論證明）

例2：證明當x＞0，y＞0時，xlnx+ylny≥（x+y）ln■

證明：令f（t）=tlnt，則f''（t）=■，當t＞0時，f''（t）＞0為凸函數

當x＞0，y＞0時有■≥f（■）

即xlnx+ylny≥（x+y）ln■

此方法適用于函數在指定區間上的曲線具有凹（凸）性，證明的具體步驟是：

①引入輔助函數，求輔助函數的一二階導數.

②判斷二階導數在所給區間上的符號.

3 利用函數的極值與最值

定義：設f（p）定義在U（p0），若?坌p∈U（p0），p≠p0，f（p）＜f（p0）（或f（p）＞f（p0）），求n元函數f（x1，x2，…，xn）在約束條件g（x1，x2，…，xn）=0下的條件極值，可先構造函數

F（x1，x2，…，xn，λ）=f（x1，x2，…，xn）+λg（x1，x2，…，xn）

然后分別對x1，x2，…，xn，λ求偏導數的方程組

■=0■=0…■=0■=g（x1，x2，…，xn）=0

解上方程組得函數F（x1，x2，…，xn，λ）的唯一穩定點p（x10，x20，…，xn0，λ0），再根據具體問題加以分析判斷F（x1，x2，…，xn，λ）是否存在極大值或極小值，最后代入穩定點即可得到所證不等式.

例3：設x，y，z為正數，且滿足x+y+z=6，求證：xy+yz+zx≤12.

證明：設F（x，y，z，λ）=xy+yz+zx+λ（x+y+z-6）

并令■=y+z+λ=0■=x+z+λ=0 ■=x+y+λ=0■=x+y+z-6=0

解之得唯一解x=y=z=2，λ=-4

因為F（x，y，z，λ）有最大值F（2，2，2，-4）=12

所以?坌x，y，z∈R+，F（x，y，z）=xy+yz=zx≤12

當我們構造好函數F（x）后，求出在指定區間上的最大值M最小值m，則有m≤F（x）≤M.

4 利用積分的性質

命題4：（柯西—施瓦茨不等式）設f（x），g（x）在[a，b]上均連續，則[■f（x）g（x）dx]2≤■f2（x）dx■g2（x）dx

例4：設f（x）在[0，1]上連續，試證■e■dx■e■dx＞1

證明：因為f（x）在[0，1]上連續，

所以e■，e■在[0，1]上連續，且恒為正

于是（■■■dx）2＜■e■dx■e■dx

即（■dx）2≤■e■dx■e■dx

所以■e■dx■e■dx≥1.

參考文獻：

討論單調性的步驟范文第5篇

《網絡環境下普通校高中數學“導學探究”的實驗與研究》這一課題的研究，使我們轉變教學觀念和教學方式，構建多元化的教學共同體，努力營造信息化學習環境，科學地激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，幫助學生形成自主、合作、探究的學習方式，探索并初步形成了我校特色的高中數學“導學探究”教學模式。 “導學探究”的教學模式包括課前、課中、課后，是以學案為載體，以導學為方法，教師的指導為主導，學生的自主學習為主體，師生共同合作完成教學任務的教學模式。

1 新授課導學案編寫實例

課題：§3.2立體幾何中的向量方法（2）

【學習目標】

1 理解直線的方向向量與平面的法向量。

2 能用向量的方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。

3 經歷轉化的過程，感受數形結合的理念，能由向量運算結果回歸幾何結論。

4 體驗解題快樂，感受成功喜悅。

【學習重點】

理解并掌握向量方法解決立體幾何問題的一般方法（“三步曲”）。

【學習難點】

建立立體圖形與空間向量之間的聯系，把立體幾何問題轉化為向量問題。

【預習指導】

（預習教材P105～ P110，找出疑惑之處.）

復習1：已知a?b=1 ，|a|=1 ，且m2a+b， 求m .

復習2：什么叫線線角？線線角的大小如何度量？線線角的范圍是什么？

復習3：什么叫線面角？線面角的大小如何度量？線面角的范圍是什么？

復習4：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范圍是什么？

1、討論：如何利用異面直線的方向向量求線線角？

設 θ（0°

你能說說向量角與線線角的關系嗎？

向量a ，b的夾角 或補角是異面直線a，b 的所成角 θ，當 銳角時，向量角與線線角 ，當 鈍角時，向量角與線線角 。

嘗試1：已知向量AB=（0，1，1） ，CD=（2，-1，1） ，求直線AB，CD所成的角。

2. 討論：如何利用法向量求線面角？ 面面角？

（1）直線AB與平面α所成的角 θ，可看成是向 量 AB所在直線與平面α的法向量 n所在直線夾角的余角， 從而求線面角轉化為求直線所在的向量與平面的法向量的所成的線線角，我們可以得到如下向量法的公式：sin θ= |cos| = .

你能說說向量角與線面角的關系嗎？

當直線的方向向量與平面α的法向量 n所成的角為銳角時，直線AB與平面α所成的角 θ為其 ； 當直線的方向向量與平面α的法向量 n所成的角為鈍角時，直線AB與平面α所成的角 θ為 。

嘗試2：已知直線AB的方向向量a=（-1，1，1） ，平面α的法向量 n=（2，-1，-1） 求直線AB與平面α所成角的余弦值。

（2）設 n1，n2分別是二面角a-1-β中平面 a，β的法向量，則n1，n2 所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小.則，先求 cos= 。再求二面角a-- β的平面角θ= 或 θ=π-（ n1， n2 為平面 a，β 的法向量）.

你能說說向量角與面面角的關系嗎？

當兩個法向量 n1， n2 的正方向相同（一個指向二面角內，另一個指向二面角外）時，則為其夾角，即 θ=；當兩個法向量n1， n2 的正方向相反（同時指向二面角內或外）時，則為補角，即 θ=。

嘗試3：已知n1 =（-3，1，0），n2=（1，0，0）分別是二面角 a-- β中平面a， β的法向量，求二面角a-- β 平面角的值。

設計意圖：為適應我普通校學生的實際情況，初期階段主要培養學生看書的習慣，力求問題的設置定位在“學生的最近發展區”，使學生肯學、樂學，期望學生帶著濃厚的表現欲和強烈的求知欲愉快地走進課堂。

【導學診斷】

1. 已知cos=-12，則 a，b的夾角為.

2. 在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D ′中，平面 ABB′A′的一個法向量為 ；

3. 在棱長為1的正方體ABCD- A′B′C′D ′中，異面直線A ′B和 CB′所成角是 ；

設計意圖：診斷反饋學生的預習成果，鼓勵學生板演，讓學生有展示的空間，感受成功的體驗。鼓勵生生互評，提高學習興趣。

【師生互動】

類型一 異面直線所成的角

例1、如圖，M、N分別是棱長為1的正方體ABCD- A′B′C′D ′的棱 BB′B′C′、 的中點.求異面直線MN與 CD′所成的角.

類型二 直線與平面所成的角

例2、長方體 ABCD-A1B1C1D 1中，AD= AA1=2，AB=4，E、F分別是A1D1 、AB的中點，O是BC1 與B1C的交點. 求直線OF與平面DEF所成角的正弦.

類型三 二面角

例3、：長方體ABCD- A1B1C1D 1中，AD=AA1 =2，AB=4，E、F分別是A1D1 、AB的中點，O是BC1 與B1C的交點. 求二面角A1 -DE-O余弦

設計意圖：讓學生通過對預習中的“問題”進行探究，在“學案”導引下，進行自主學習、主動探究；在自學中理解知識、發現問題；在合作、交流中培養能力、解決問題。

【總結提升】

1. 空間的二面角、二面角和異面直線的夾角，都可以轉化為利用公式cos =a?b|a|?|b|求解.

2 解空間圖形問題時，可以分為三步完成：

（1）建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題（還常建立坐標系來輔助）；

（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；

（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義

設計意圖：指導學生對本節課的學習內容的進一步歸納總結，構建數學知識體系，也為學生課后自主復習指引方向。

【目標檢測】

1、若直線 ∫的方向向量與平面a 的法向量的夾角等于120° ，則直線 ∫與平面 a所成的角等于 （ ）

A. 120 ° B. 60° C. 30° D.以上均錯

2、若M、N分別是棱長為1的正方體ABCD - A′B′C′D ′的棱A′B′，BB ′的中點，那么直線 AM，CN所成的角的余弦為（ ）

A. 32 B. 1010 C. 35 D. 35

3 在棱長為1的正方體ABCD - A′B′C′D ′ 中，

（1）求直線 BC′與平面 A′BD所成角的余弦值。

（2）求二面角 A′- BD-C′的余弦值。

設計意圖：針對學生似懂非懂的、容易混淆的問題，緊貼教學目標，精選檢測內容，達到了解學生掌握情況的目的，鞏固課堂成果，實現“節節清”。

【復習反思】

1、知識梳理――請列出本節知識清單

（1）用直線的方向向量求異面直線所成的角

（2）用直線的方向向量和平面的法向量求直線與平面所成的角

（3）用兩個平面的法向量求二面角

2、重點提煉――主要題型，典型解法，注意事項：

（1）求直線的方向向量和平面的法向量

（2）利用公式 cos =a?b|a|?|b|求解

（3）結合條件判斷“向量角”與“線線角”、“線面角”、“面面角”的關系

3、思想方法――體現哪些數學思想？運用哪些數學方法？

（1）轉化的思想――將求“線線角”、“線面角”、“面面角”轉化為求“向量角”。

（2）數形結合的思想――用代數的方法解決幾何的問題

（3）運算能力――向量是軀體，運算是靈魂；沒有運算的向量只能起路標的作用

設計意圖：本欄目特設置在作業鞏固欄目之前，其首要目的就是培養學生復習反思的習慣，明了復習反思的途徑，提升復習反思的能力。

【作業鞏固】

1、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D 1中，B1E1 =C1F1=A1B14，求 BE1與DF1 所成的角的余弦值.

2、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BB1和A1B1的中點.求

（1）直線DF與平面AEC所成角α的正弦值.

（2）平面ADF與平面AEC所成角 的余弦值.

設計意圖：鞏固學習成果，豐富優化知識結構，遷移知識能力。

【自我評價】

1、真知灼見：學了本節你有何獨到的見解？

2、自我評價：（ ）A.很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差

設計意圖：培養學生自我評價的習慣，突出學生的主體意識。“真知灼見”既可培養學生“提煉”能力，也可為師生互動增加新的渠道。

2 高三第一輪復習課導學案編寫實例

課題：函數的單調性

【學習目標】

1、理解函數單調性的概念。

2、學會利用定義判斷證明函數單調性。

3、掌握函數單調性的性質，并能簡單應用。

4、以極度的熱情投入學習，體會成功的快樂。

【學習重點】

函數單調性的概念、函數單調性的性質。

【學習難點】

判斷證明函數單調性方法及函數單調性的函數單調性簡單應用。

【預習指導】

一、單調性

（1）單調函數的定義

（2）單調區間的定義

若函數 f（x）在區間 Ι上是 ，則稱函數 f（x）在這一區間上具有（嚴格的）單調性，區間 Ι叫做 f（x） 的 。

探究一：①你能說說單調區間與定義域的關系嗎？

②你是如何理解函數的單調性在圖象上的反映？

若函數 f（x）在整個定義域Ι 內只有唯一的一個單調區間，則 f（x）稱為 .

2.判斷單調性的方法：

（1）定義法，其步驟為：① ；② ；③ ④ ；⑤ .

（2）導數法，若函數 y=f（x）在定義域內的某個區間上可導，①若 ，則 f（x）在這個區間上是增函數；②若 ，則 f（x）在這個區間上是減函數.

（3）圖象法：如果f（x） 是以圖象形式給出的，或者 f（x）的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調區間。

二、單調性的有關結論

1.在公共定義域內，若f（x） ， g（x）均為增（減）函數，則 f（x）+g（x） 函數；

2.若 f（x）為增（減）函數，則-f（x） 為 ；

3.復合函數y=f[g（x）] 是定義在M上的函數，若f（x） 與g（x） 的單調相同，則 f[g（x）]為 ，若f（x） ，g（x） 的單調性相反，則 f[g（x）] 為 .

探究二：①你能說說求復合函數單調區間時一定要求解什么嗎？

②你能歸納判斷復合函數單調性的口訣嗎？

4.奇函數在其對稱區間上的單調性 ，偶函數在其對稱區間上的單調性 .

探究三：函數y=1x 在（-∞，0） 和 （0，+∞） 內都是單調遞減的，你能說它在整個定義域即 （-∞，0） ∪（0，+∞） 內單調遞減嗎？為什么？

【導學診斷】

1、下列函數中，在區間（0，2）上遞增的有

① y=-1x ②y=-x ③y=|x-1 | ④ y=x2+2x+1

2 函數y=2-x2+4x-3 的遞減區間為

3 已知函數f（x）=x2+2（a-1）x+2 在區間（-∞，4]上是減函數，則 a的取值范圍為

4 已知f（x） 是定義在 R上的增函數，f（13）=0 ，則不等式f（2x-1）〈0 的解集為

【師生互動】

題型一 函數單調性的判斷和證明

例1 求證：函數f（x）=-1x-1 在區間（-∞，0）上是單調增函數。

變式訓練1：判斷函數f（x）=1x +x在區間（0，+∞）上單調性情況。在區間（-∞，0）上呢？

題型二 函數單調區間的求法

例2 試求出下列函數的單調區間.

（1） y=|2x-1 |+2； （2） f（x）=log12 （-x2+4x-3）。

變式訓練2：求函數f（x）=x2+1（-2≤x ≤1）

-x+3（x1）的單調遞減區間。

題型三 函數單調性的應用

例3 已知函數f（x） 的定義域為[-1，1]，且對于任意的x1 ，x2∈[-1，1]，當x10.

（1）試判斷函數f（x） 在區間[-1，1]上是增函數還是減函數，并證明你的結論；

（2）解不等式f（5x-1）

變式訓練3：已知f（x） 是定義在（-2，2）上的減函數，并且f（m-1）-f（1-2m） >0，求實數m 的取值范圍.

【總結提升】

1、函數的單調區間是其定義域的子集，因此，討論函數的單調性，必須先確定函數的定義域.

2、函數的單調性可以借助函數圖象來研究，增函數的圖象自左向右是上升曲線，減函數的圖象自左向右是下降曲線.

3、利用函數單調性可比較大小、解不等式、求函數值域或最值等，既是一種方法，也是一種技巧，應加強函數單調性的應用，提高解題技巧.

4、函數的單調性不同于周期性與奇偶性，它僅僅是函數的局部性質.

【目標檢測】

1、下列函數f（x）中，滿足“對任意 x1，x2 ∈ （0，+∞ ），當 x1 f（x2）的是（ ）

A.f（x） =1x B. f（x）=（x-1）2 C . f（x）=ex D f（x）=1n（x+1）

2、函數 y=log12（x2-5x+6）的單調增區間為

3、已知f（x）=（3a-1）x+4a，x≤1

1oga x，x>1是 （-∞，+∞）上的減函數，那么 a的取值范圍是

4、如果二次函數f（x）=x2-（a-1）x+5 在區間〔12，1〕 上是增函數， f（2）的取值范圍.

5、已知函數f（x） 在定義域[-2，2]上遞增，求滿足f（1-m）-f（m2-1）

【復習反思】

1、知識梳理――請列出本節知識清單：

2、重點提煉――主要題型，典型解法，注意事項：

3、思想方法――體現哪些數學思想？運用哪些數學方法？

【作業鞏固】（略）