數(shù)學哲學意義管理
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摘要：本文在介紹了構(gòu)造性數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展的基礎上，重點闡述了它的數(shù)學原則和數(shù)學基礎，表明了可構(gòu)造性的數(shù)學底蘊。最后通過對構(gòu)造性數(shù)學產(chǎn)生的原因和其所要達到的目的的分析，論述了構(gòu)造性數(shù)學的重大意義，同時評析了我國學術(shù)界對它的一些認識。
關鍵詞：構(gòu)造性數(shù)學遞歸函數(shù)可靠性
一，構(gòu)造性數(shù)學的產(chǎn)生與發(fā)展
構(gòu)造性數(shù)學是現(xiàn)代數(shù)學研究的一個重要領域。它的根本特征就是對可構(gòu)造性的強調(diào)。所謂可構(gòu)造性是指能具體地給出某一對象或者能給出某一對象的計算方法。即當我們把能證實“存在一個X滿足性質(zhì)A”的證明稱為構(gòu)造性的，是指能從這個證明中具體地給出滿足性質(zhì)A的一個x；或者能從此證明中得到一個機械的方法，使其經(jīng)有限步驟后即能確定滿足性質(zhì)A的這個x來。反之，經(jīng)典數(shù)學（非構(gòu)造性數(shù)學）中的純存在性證明被稱之為非構(gòu)造的。非構(gòu)造性證明主要是通過使用反證法來實現(xiàn)的。人們一般把這種強調(diào)可構(gòu)造性的數(shù)學稱為構(gòu)造性數(shù)學。
構(gòu)造性數(shù)學最早起源于一種構(gòu)造性哲學思想，這種思想可以追溯到康德那里。康德認為，數(shù)學的最終真理性在于數(shù)學概念可以通過人的智慧構(gòu)造出來。他說：“數(shù)學必須根據(jù)純粹直觀，在純直觀里它才能夠具體地，然而卻是先天地把它的一切概念提供出來，或者像人們所說的那樣，把這些概念構(gòu)造出來”。又說“數(shù)學知識是從概念的構(gòu)造得出來的理性知識。構(gòu)造一個概念，意即先天地提供出來與概念相對應的直觀。”（〔1〕，第39頁）后來，19世紀德國的克羅內(nèi)克進一步指出：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作。”主張自然數(shù)與數(shù)學歸納法是數(shù)學最根本的和直觀上最可信的出發(fā)點，其它一切數(shù)學對象都必須能在有限步驟內(nèi)從自然數(shù)中構(gòu)造出來，否則就不能作為數(shù)學對象。由此克羅內(nèi)克把許多數(shù)學成果劃到不合法的行列里，如無限集合、純存在性證明等。但由于他批判的多建設的少，故其思想在當時并未產(chǎn)生很大影響。另外，彭加勒、勒貝格等大數(shù)學家也都是倡導構(gòu)造性數(shù)學研究的有名人物。但是，所有這些人提倡的大都只是一種數(shù)學哲學的思想，他們實際的數(shù)學工作并未嚴格地遵循自己的哲學思想。因此，現(xiàn)代意義的構(gòu)造性數(shù)學應以布勞威爾的直覺主義數(shù)學為開端，迄今，在構(gòu)造性數(shù)學的研究領域里，由于宗旨、觀點和方法的不同，已經(jīng)形成了一些不同的學派。最著名的除了布勞威爾的直覺主義數(shù)學以外，還有希爾伯特的元數(shù)學、畢曉普等人的構(gòu)造性數(shù)學以及馬爾科夫的算法論等。布勞威爾的直覺主義數(shù)學和希爾伯特的元數(shù)學，我國數(shù)學哲學界普遍比較熟悉，故本文不再表述。這里我們僅就后來發(fā)展起來的畢曉普、馬爾科夫的構(gòu)造性數(shù)學作些簡述。（〔2〕、〔3〕第101—109頁）
以畢曉普、邁希爾等人為代表的構(gòu)造性數(shù)學是一個與早先直覺主義數(shù)學齊名但又不同于它的新的構(gòu)造性數(shù)學。他們的構(gòu)造性數(shù)學研究是在數(shù)學領域中，用普通邏輯于可編碼的對象和遞歸函數(shù)。他們所關心的不是數(shù)學的奠基問題，而是要用構(gòu)造性方法來研究數(shù)學。他們把構(gòu)造性數(shù)學看成古典數(shù)學的一個分支，在這個分支中所討論的對象都要求是可計算的。以畢曉普的工作為例，他認為只證明一個數(shù)學對象在邏輯上必然存在是不夠的，還必須擬定一種有限而機械的辦法把這個對象構(gòu)造出來。他不用非直觀的概念來重建數(shù)學，而是從標準的算術(shù)規(guī)則和有理數(shù)出發(fā)，通過避開“理想”觀念并不斷地檢驗從直觀生成的對象和定理，逐步地進行構(gòu)造，以求得數(shù)學的可信性。他與布勞威爾不同，他不去全盤地否定康托的集合論，而是把它加以改造，使之具有構(gòu)造的合理性。如確定一個集合，原來康托的樸素定義只要求給出一個判別集合中元素的規(guī)則即可，而畢曉普認為還應要求擬定出一個辦法來真正構(gòu)造集合的一個元素并證明集合中兩個元素是不同的。這樣，則可使康托集合論中的一條最有爭議的公理——選擇公理成為完全可以接受的了。他們把經(jīng)典數(shù)學的基本概念算法化，并從而考慮哪些定理在構(gòu)造意義下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此發(fā)展出相當大的一部分有價值的數(shù)學。1967年畢曉普的《構(gòu)造性分析》的出版，標志著這一新的構(gòu)造性數(shù)學的建立，而隨后《構(gòu)造性泛函分析》的問世，則表明了這一領域的新進展。
構(gòu)造性數(shù)學的另一個新體系是由馬爾科夫、沙寧創(chuàng)建的。他們的構(gòu)造性數(shù)學研究是以算法概念為基礎的，即把其它一切概念都歸約到算法之上。在馬爾科夫那里，所有的定義都用日常語言表達，所有引用實無窮的話都嚴格地避免，并采用了直覺主義邏輯。他們對構(gòu)造分析學作了相當深入的研究，對于許多數(shù)學分支的算法化以及制定構(gòu)造邏輯的語義學都作了很可觀的工作。如他把實數(shù)定義成一種逐次逼近的算法，實函數(shù)也就等同于一個算法。他的正規(guī)算法就是目前少數(shù)幾個力量最強的精確化的算法概念。
以畢曉普、馬爾科夫等人為代表的構(gòu)造性數(shù)學，是對早先直覺主義數(shù)學的發(fā)展、揚棄。它一方面承繼了直覺主義的基本主張，強調(diào)在構(gòu)造數(shù)學內(nèi)部要求“證明存在一個具有性質(zhì)P的x，必須指出一個有限的方法來構(gòu)造x，以及找出一個有限的方法來證明x具有性質(zhì)P”。但另一方面，它又不同于直覺主義數(shù)學，它不象直覺主義數(shù)學那樣極端地要把全部數(shù)學都“構(gòu)造化”，他們只是想從構(gòu)造性的角度建立一門有別于傳統(tǒng)數(shù)學的新學數(shù)學，因為在他們看來，從構(gòu)造的觀點來研究，對許多老問題都會有新的見解。他們認為構(gòu)造性數(shù)學和非構(gòu)造性數(shù)學是現(xiàn)代數(shù)學的兩大傾向，是可以并行發(fā)展和相互促進的。
二構(gòu)造性數(shù)學的原則與基礎
如前所述，對可構(gòu)造性的強調(diào)是構(gòu)造性數(shù)學的根本特征，其實也可以說，這就是構(gòu)造性數(shù)學的基本數(shù)學原則。它要求一個關于“存在一個具有性質(zhì)P的x的證明”，必須解釋x的構(gòu)造是怎樣實行的。這與通常“純粹存在性證明”的做法不一樣，在那里，一個具有性質(zhì)P的x的存在性是通過采用指出假設“x不存在”就會導致矛盾的辦法來證明的。從構(gòu)造性的觀點看，后一證明只是表明“x不可能不存在”，但是它并未給出尋找x的辦法。此外，甚至有了這樣一種辦法，構(gòu)造主義者還必須采取一些附加的構(gòu)造性辦法來證明x具有性質(zhì)P。因此，僅僅證明如果x不具有性質(zhì)P就會導致矛盾是遠遠不夠的。為了充分認識構(gòu)造性數(shù)學與非構(gòu)造數(shù)學之間的這種戲劇性差別，我們有必要用一個例子給予說明。如代數(shù)基本定理：
任何復系數(shù)的非常數(shù)多項式f至少有一個復根。（Ⅰ）
對于（Ⅰ）最著名的非構(gòu)造性證明是，假設f不取零值，把劉維爾定理用于f的倒數(shù)，得出1／f是常數(shù)，于是f是常數(shù)，矛盾，證明完成。從構(gòu)造的觀點看，這里證明的并不是代數(shù)基本定理，而是較弱的命題：
不取零值的復數(shù)上多項式是常項。（Ⅱ）
因為上述證明不能幫助你計算100階多項式的根，它沒有給出多項式求根的方法。但是布勞威爾卻對于首項系數(shù)為1的多項式的代數(shù)基本定理給出了一個構(gòu)造性的證明（證明的大體思路可參見文〔4〕）。有了這個證明，就可以求任意階（如100階）多項式的根了。
應該指出，每一個構(gòu)造性證明也是同一命題的一個經(jīng)典證明。布勞威爾的證明也是代數(shù)基本定理的一個經(jīng)典證明。盡管布勞威爾的證明確實比用劉維爾定理的證明更長，但它也告訴了我們更多的信息。代數(shù)基本定理在構(gòu)造性數(shù)學中被布勞威爾解釋成：有一個適用于任何復系數(shù)的非常數(shù)多項式f的有限方法，我們能夠用以計算f的根。
以上只是我們例舉的一個例子，其實每一個經(jīng)典定理都是向構(gòu)造性數(shù)學提出的一個挑戰(zhàn)：找出一個構(gòu)造性的說法，并給它以一個構(gòu)造性的證明。然而在多數(shù)情況下，找出經(jīng)典定理所對應的構(gòu)造性內(nèi)容絕非易事。許多經(jīng)典的定理至今也看不出將其進行構(gòu)造性改造的途徑，如佐恩引理等。故在構(gòu)造性數(shù)學內(nèi)部不得不暫時將這些有意義的經(jīng)典數(shù)學內(nèi)容排斥在外。但應指出，這種排斥并非邏輯的、必然的排斥。
另一個重點問題是構(gòu)造性數(shù)學的數(shù)學基礎問題。這是一個涉及構(gòu)造性數(shù)學的可靠性，以及可構(gòu)造性何以能夠得以實現(xiàn)的重要問題。對此我們分兩部分來談。
首先，我們來看直覺主義數(shù)學的數(shù)學基礎。眾所周知，直覺主義數(shù)學是以自然數(shù)理論為其數(shù)學上的出發(fā)點。因此對于直覺主義數(shù)學的建構(gòu)來說，首要的問題就是如何依據(jù)構(gòu)造的標準在自然數(shù)的基礎上建立起它的實數(shù)理論，因為實數(shù)理論是整個分析學的基礎。有理數(shù)的構(gòu)建是容易的，只要把有理數(shù)作為整數(shù)對引進即可。關鍵是如何在構(gòu)造意義下給出實數(shù)和實數(shù)連續(xù)統(tǒng)的概念。為了構(gòu)造實數(shù)概念，布勞威爾首先獨創(chuàng)了“屬種”的概念以取代康托集合概念。所謂屬種就是按照構(gòu)造性的標準重新定義的一種集合：它等同于已構(gòu)成的數(shù)學對象所可能具有的一種性質(zhì)，依據(jù)這一性質(zhì)，我們可以有效地去確定這些對象是否屬于這一“屬種”。進一步布勞威爾引進了“選擇序列”的概念：“在任何時刻，一個選擇序列a系由一個有窮的節(jié)連同對它的延伸的若干限制組成”。如此，布勞威爾便以“有理數(shù)選擇序列”取代了經(jīng)典分析中的有理數(shù)柯西序列概念，并稱之為“實數(shù)生成子”。于是構(gòu)造意義下的單個實數(shù)就被定義為實數(shù)生成子的一個等價屬種。實數(shù)連續(xù)統(tǒng)的概念建構(gòu)的比較晚，直到1919年，布勞威爾才利用“展形”概念巧妙地建構(gòu)了符合構(gòu)造性要求的連續(xù)統(tǒng)概念（具體的建構(gòu)方法可參見〔5〕第168—170頁）。在那里，每個可能的選擇序列就是一個可構(gòu)造意義下的單個實數(shù)，而整個展形就是可構(gòu)造意義下的實數(shù)連續(xù)統(tǒng)，兩者是同時構(gòu)造出來的。所謂展形，實際上也就是一種“自由選擇序列”——其中沒有對元素的生成作任何限制，而只是要求這種延伸能按照自然數(shù)的次序進行下去。這樣，作為這種自由選擇的結(jié)果就不只是某個特殊的序列，而是各種可能的序列。實數(shù)理論的重構(gòu)，為直覺主義數(shù)學的展開奠定了基礎。
至此，或許有人會認為直覺主義數(shù)學的基礎已經(jīng)得到圓滿的重構(gòu)和解釋，其實不然，因為直覺主義者對其一直強調(diào)的“可構(gòu)造性”始終沒有給出一個明確的解釋。直覺主義者外爾就曾認為：“反唯象論的構(gòu)造方法的成功是不可否認的。然而它所依據(jù)的最終基礎仍是一個謎，甚至在數(shù)學中也是如此。”（〔6〕，第112頁）人們對于什么是“直覺上可構(gòu)造的”這一根本性概念有著不同的理解。如有的構(gòu)造主義者認為，真正的數(shù)學是不應包含“否定”概念的，因為任何否定性的命題（按布勞威爾、海丁的解釋，命題一p就意味著“我們給出了這樣一種構(gòu)造。由證明p的構(gòu)造出發(fā)就會得出矛盾”），都假設了一個不可能實現(xiàn)的構(gòu)造（證明p的構(gòu)造）。另外，也有的直覺主義者對前面提到的“自由選擇序列”（展形）提出了懷疑，但不借助這一概念直覺主義的實數(shù)理論就無法得到重建。之所以人們對什么是直覺上“可構(gòu)造的”沒有一個統(tǒng)一的認識，其原因就在于“可構(gòu)造的”只是一個不精確的日常用語，因而會被不同的人作不同的理解。盡管在直覺主義者看來，這一概念是無需解釋的，也是不可解釋的，但在非直覺主義者看來，卻有著進一步解釋的必要。這里我們僅簡單地介紹克林的解釋。如所周知，直覺主義概念全部都被歸約為一個基本概念，這就是“構(gòu)造”。然而直覺主義者只是隱蔽地使用了這個概念，克林等人的解釋就是要把這種隱蔽的歸約公開化。由于整個解釋過程繁長，故只給出其結(jié)論（詳見〔3〕第97—98頁，〔7〕第545—551頁）。克林的結(jié)論是：直覺主義的構(gòu)造等同于部分可計算函數(shù)。進一步，按他的解釋，布勞威爾的“自由選擇序列”不過是任意的序列；布勞威爾的函數(shù)則是部分可計算函數(shù)。克林指出，只有存在相應遞歸函數(shù)的公式才能在直覺主義系統(tǒng)內(nèi)證明。由此，直覺主義數(shù)學的基礎就被克林歸約到相遞歸函數(shù)或可計算函數(shù)之上了。另外，哥德爾對構(gòu)造性也作了類似于克林的解釋，不過哥德爾可容許構(gòu)造的類要寬得多，他不是把構(gòu)造等同于可計算函數(shù)，而是等同于可計算泛函（〔3〕第99—100頁）。
下面我們再來看看后期構(gòu)造數(shù)學的基礎。直覺主義數(shù)學之后的構(gòu)造性數(shù)學表現(xiàn)出多元的傾向，它們?nèi)菰S的數(shù)學對象也更寬，采取的構(gòu)造性方案也各有特點。這里我們無意對它們的細節(jié)進行考察，只是想簡要地分析一下各自的數(shù)學基礎。斯派克是直覺主義數(shù)學之后較早表現(xiàn)出構(gòu)造性傾向的數(shù)學家之一，他在1949年就考察了一類較窄的實數(shù)，他稱之為原始遞歸實數(shù)。它以（1／2）［n］的精度來逼近：
（附圖）
其中f′、f″、g均是原始遞歸函數(shù)。他還考慮了其它各種類型的逼近，如用級數(shù)Σf［，（n）］／g［n］部分和來逼近。羅賓遜（1951年）、里斯（1954年）等后來又給出了更廣一類的實數(shù)，稱為可計算實數(shù)，也是利用遞歸函數(shù)進行逼近而得出的。不過為了建立構(gòu)造性分析學，更主要的是要給出構(gòu)造意義下的函數(shù)乃至泛函的概念。巴拿赫和馬祖爾在1959年給出了一個叫可計算實變函數(shù)的概念（〔3〕第103頁）。克林也考慮了一類部分可計算泛涵，這些泛函使每個函數(shù)f都與一相對于f可計算的部分函數(shù)相關聯(lián)。到了60年代，構(gòu)造性數(shù)學有了一個大的發(fā)展。首先邁希爾與德克創(chuàng)立和發(fā)展了一種整數(shù)集的遞歸等價物的理論，這個理論的特點是用整數(shù)集換任意集，用部分遞歸映射換任意映射。1967年畢曉普出版《構(gòu)造性分析》，開創(chuàng)了構(gòu)造性數(shù)學的新時期，而他的構(gòu)造性數(shù)學的根本特征就是把一切數(shù)學對象都化歸為可編碼的對象和遞歸函數(shù)。后期構(gòu)造性數(shù)學中另一個體系是馬爾科夫、沙寧創(chuàng)建的算法概念為基礎的理論。他們采納的也是構(gòu)造性邏輯，但他們把一切概念都歸約為算法這個概念。馬爾科夫提出的正規(guī)算法就是目前知道的最有力量的少數(shù)幾個算法之一。現(xiàn)已證明，正規(guī)算法與前面提到的遞歸函數(shù)或可計算函數(shù)都是等價的。這樣一來，我們便就可以不作區(qū)分地講，構(gòu)造性數(shù)學的基礎是遞歸函數(shù)或算法。
綜合上述，我們認為，構(gòu)造性數(shù)學的基礎歸根到底是遞歸論。或者說，所謂構(gòu)造性、可構(gòu)造的與遞歸性、可遞歸的是相互等價的。這就是我們對構(gòu)造性的理解。有了這樣一種解釋，我們也就基本了解了“構(gòu)造性”的真實涵義。盡管從哲學上講，它可能還具有更深刻更豐富的內(nèi)涵，但從實踐、操作的角度講，它就是遞歸性，進而也就是能行性。
三、構(gòu)造性數(shù)學的意義及其它
在對構(gòu)造性數(shù)學的意義作出評述之前，有必要先弄清楚以下兩個問題：1．構(gòu)造性數(shù)學產(chǎn)生的原因是什么？2．構(gòu)造性數(shù)學所要解決的問題和所要達到的目的是什么？
在經(jīng)典數(shù)學如此成功的情況下，為什么還會出現(xiàn)構(gòu)造性數(shù)學？構(gòu)造性數(shù)學產(chǎn)生的原因是什么？這確實是對構(gòu)造性數(shù)學進行哲學研究所必須回答的一個問題。我們認為，原因主要有以下四個方面：一、為了解決由于集合悖論的出現(xiàn)而引發(fā)的第三次數(shù)學危機。這是布勞威爾直覺主義數(shù)學產(chǎn)生的直接原因。對此，大家已比較熟悉，無須多言。然而這只是一個表層的原因，事實上還有以下更深刻的哲學原因。二、為了解決數(shù)學概念和方法的可靠性問題。由于集合悖論的出現(xiàn)，使得直覺主義者的注意力一下子集中到什么是可靠的或可信的數(shù)學這個問題上。他們認為“存在必須被構(gòu)造”。因此，只有經(jīng)過構(gòu)造性檢驗的數(shù)學才是可靠的。這樣一種認識論主張，是構(gòu)造性數(shù)學產(chǎn)生的根本原因。三、純存在性證明的局限性是構(gòu)造性數(shù)學、尤其是后期構(gòu)造性數(shù)學產(chǎn)生的重要原因。大家知道，純存在性證明只能讓人知道某個方程的根是存在的，但如何求解以至能不能求出這個根均是未知的。構(gòu)造性數(shù)學就是針對純存在性證明的這個缺陷，提出要證明一個方程的根是存在的，就必須給出求解它的有效方法。四、從構(gòu)造性數(shù)學的角度看經(jīng)典數(shù)學，會產(chǎn)生許多新的見解、新的方法，這不僅可以獲得對數(shù)學更深刻的認識，而且可以促進兩類數(shù)學的共同發(fā)展，這是后期構(gòu)造性數(shù)學產(chǎn)生的又一原因。以上這些原因概括起來也就是兩點：一、經(jīng)典數(shù)學本身的不足；二、“存在必須被構(gòu)造”的認識論信念。我們認為，正是這兩個根本原因，引發(fā)了在本世紀產(chǎn)生的構(gòu)造性數(shù)學。
從對構(gòu)造性數(shù)學產(chǎn)生原因的以上認識，不難看到，早期構(gòu)造性數(shù)學所要解決的就是數(shù)學基礎問題，所要達到的目的就是確立數(shù)學的可靠性。后期構(gòu)造性數(shù)學的目的沒有這么強，它們不再去解決數(shù)學的基礎問題，而只是用構(gòu)造性方法來研究數(shù)學，建立一門與經(jīng)典數(shù)學平行的構(gòu)造性數(shù)學。在數(shù)學可靠性問題上，盡管后期構(gòu)造主義者并不完全贊同布勞威爾的哲學主張，尤其是“原始直覺”觀念，但他們還是吸取了“存在必須被構(gòu)造”的可靠性觀念。因此，確立數(shù)學的可靠性依然是后期構(gòu)造性數(shù)學的目的之一。那么構(gòu)造性數(shù)學是不是解決了它想要解決的問題呢？通過對這個問題的回答，可以看到構(gòu)造性數(shù)學的重大意義和特殊價值。我們先來看看早期構(gòu)造性數(shù)學是不是解決了數(shù)學的基礎問題。或許有人會對此問題的提出感到奇怪，不是早就說直覺主義同邏輯主義和形式主義一樣都已失敗了嗎？其實問題并非如此簡單。盡管在人們?yōu)閿?shù)學大廈尋找基礎的一個世紀以來，直覺主義已遭到世界數(shù)學界多數(shù)人的反對，但它的“失敗”不同于與其齊名的邏輯主義、形式主義的失敗。后兩者的失敗是邏輯地注定了的失敗，而直覺主義的“失敗”僅僅是因為其“過于謹慎而一時”地拒斥了許多被認為很有意義的經(jīng)典數(shù)學，它在邏輯上并沒有被宣告失敗。現(xiàn)在完全追隨布勞威爾的人幾乎沒有了，但新的構(gòu)造性數(shù)學的發(fā)展正方興未艾。如果這類構(gòu)造性數(shù)學能夠取得全面的突破性的大進展，誰又能保證直覺主義數(shù)學不會“卷土重來”？事實上，相信構(gòu)造性數(shù)學可能會獲得成功的人是始終存在的，且不說構(gòu)造主義者本身，非構(gòu)造主義者，如克林也相信：直覺主義地重建經(jīng)典數(shù)學的可能性還是存在的（〔7〕第55，551頁）。由此我們認為，構(gòu)造性數(shù)學依然是重建數(shù)學基礎的一個可能的途徑。那種認為直覺主義計劃已徹底破產(chǎn)的認識是過于武斷的。
后期構(gòu)造主義者試圖建立一門與經(jīng)典數(shù)學平行的構(gòu)造性數(shù)學，我們認為這一計劃正在實現(xiàn)的過程中，近來構(gòu)造性數(shù)學成果的不斷涌現(xiàn)就是證明。構(gòu)造性數(shù)學產(chǎn)生的意義，不僅在于出現(xiàn)了一門新的理論、開創(chuàng)了一種新的研究方向，并獲得了許多新穎、深刻的成果，同時也在于構(gòu)造性的成果更便于應用。提供解法畢竟比單純的存在性證明要有意義得多。由此可以說，構(gòu)造性數(shù)學彌補了經(jīng)典數(shù)學的不少缺陷。聯(lián)系到計算機科學的發(fā)展，這種構(gòu)造性數(shù)學的研究就更有其深遠意義了。無怪胡世華教授說：“在非構(gòu)造性數(shù)學的研究中，構(gòu)造性成分越多的部分往往對自身的發(fā)展也越有意義”。（〔8〕第268頁）
進一步，構(gòu)造性數(shù)學是否達到了它最初的確立數(shù)學可靠性的根本目的呢？由于數(shù)學的可靠性問題已遠遠不是一個單純的數(shù)學技術(shù)問題，更主要的是一個哲學問題，因此對這個問題的回答不可能有一個終極答案，對構(gòu)造主義者的回答人們也會仁者見仁，智者見智。故這里我們只是給出自己對這一問題的一些看法。我們認為，在哲學上，構(gòu)造性數(shù)學的產(chǎn)生提出了一個新的“可靠性”觀念。直覺主義者認為，一切非構(gòu)造的存在，都是“超出一切人類的真實可行的‘絕對’，”正是因為相信了這樣一種“絕對”，經(jīng)典數(shù)學才“遠遠地不再是有真實意義的陳述句以及不再是建基于明證之上的真理了。”（〔7〕第50頁）為此，直覺主義者強調(diào)：存在必須是被構(gòu)造。認為只有一步一步（有限的）構(gòu)造出來的東西才是真實的、有意義的、可靠的。他們把經(jīng)典數(shù)學中的“純存在”視為一種無異于形而上學的東西。黑丁就曾明確指出：“如果‘存在’不是意味著‘被構(gòu)造’，那就一定包含某種形而上學的意義。”（〔9〕第241頁）在黑丁看來，對這種具有形而上意義的存在去討論，或判定它是否可以接受，這不是數(shù)學的任務，認為應該“把數(shù)學當作某種比形而上學簡單得多、直接得多的東西來研究”。為此，直覺主義才突出地強調(diào)應從非構(gòu)造性向構(gòu)造性化歸。我們認為，這是在從數(shù)學認識論上提出了一種新的可靠性標準或觀念。這種標準或觀念從實用或操作的意義上講，是頗具合理性的，是應該得到采納的，它對“信息時代的數(shù)學”（胡世華語）的發(fā)展是很有意義的。當然，這也并不妨在經(jīng)典數(shù)學中人們有時（即不得已時）可以采用更靈活的可靠性標準。但我們認為，可構(gòu)造性是一個更可靠的可靠性標準，應該成為數(shù)學家和哲學家評判數(shù)學可靠性的第一標準或最高標準。至于第二、第三等更靈活、更弱的標準，不同的數(shù)學家和哲學家可能會有不同的選擇。那么何以見得可構(gòu)造性就是更強的可靠性標準呢？構(gòu)造性數(shù)學就真的比經(jīng)典數(shù)學更為可靠、更具可接受性嗎？我們認為，答案應該是肯定的。道理很簡單，就是因為構(gòu)造性數(shù)學的原則遠較非構(gòu)造性數(shù)學嚴格，構(gòu)造性數(shù)學成立的每一定理對于非構(gòu)造性數(shù)學也成立；反之，非構(gòu)造性數(shù)學中成立的定理卻不一定在構(gòu)造性數(shù)學中成立。因此，構(gòu)造性數(shù)學實際上成了非構(gòu)造性數(shù)學的一個真子集。另外，從邏輯基礎的角度講，直覺主義邏輯的公理和定理在經(jīng)典邏輯中都成立，反之卻不然。因此，直覺主義邏輯是經(jīng)典邏輯的一個真部分。我們認為，這些理由完全可以表明，以構(gòu)造性為可靠性標準而建立的定理比經(jīng)典數(shù)學中的定理更可靠。
我國數(shù)學哲學界對構(gòu)造性數(shù)學及其哲學主張評價普遍較低，其原由不外乎這么幾點：1．直覺主義數(shù)學排斥了一大部分具有應用價值的經(jīng)典數(shù)學。2．排斥了實無窮和經(jīng)典邏輯。3．與經(jīng)典數(shù)學相比，構(gòu)造性數(shù)學顯得繁瑣和復雜，對經(jīng)典數(shù)學的構(gòu)造性改造極為緩慢，難以成功（甚至認為是不可能的）。我們認為，這些并不構(gòu)成對構(gòu)造性數(shù)學及其哲學主張的否定。對此可以簡要地分析如下：首先，構(gòu)造性數(shù)學是一門全新的數(shù)學理論，它的邏輯基礎、數(shù)學原則和哲學主張不可能完全等同于經(jīng)典數(shù)學。因此，我們必須正視構(gòu)造性數(shù)學的獨特性。有什么理由說，選擇實無窮就是對的，而選擇潛無窮就是錯的？又有什么理由說，選擇經(jīng)典邏輯就是科學的，選擇構(gòu)造性邏輯就是不科學的？我們沒有超越實無窮和潛無窮的“絕對無窮觀”，也沒有超越經(jīng)典邏輯和構(gòu)造邏輯的“絕對邏輯”，我們沒有終極的絕對的參照系。實際上，反對潛無窮只能是站在實無窮的立場上，反對構(gòu)造性邏輯也只能是站在經(jīng)典邏輯的立場上。但反過來也是可以的。因此，我們最后判別是非的立足點只能是實踐——數(shù)學的內(nèi)部實踐和外部實踐。不管是實無窮、潛無窮，也不管是經(jīng)典邏輯、構(gòu)造邏輯，只要以它們?yōu)榛A能夠建立起自相容的理論，并能夠得到有效的應用，那么我們就要承認它們。說構(gòu)造性數(shù)學顯得繁瑣和復雜，這也不是絕對的，如復分析中對畢卡大定理的構(gòu)造性證明就顯得更為直觀，它的非構(gòu)造性證明雖然較短，但卻利用了一種稱為橢圓模函數(shù)的較高深的數(shù)學工具，后來雖然也有了幾種淺顯的證明方法，可又都非常繁復，而相應的構(gòu)造性證明卻要更加自然，只用到了解析函數(shù)的基本性質(zhì)。說構(gòu)造性數(shù)學進展緩慢、難以成功，這并不意味著構(gòu)造性數(shù)學不能成功。何況它在內(nèi)容上的復雜和進展上的緩慢是有原因的：每一個構(gòu)造性證明都比純存在性證明為我們提供了更多更實用的信息。因此我們把構(gòu)造性數(shù)學的復雜和緩慢看作是為了獲得更多更實用的信息所必須付出的代價。應該承認，這種代價的付出是值得的。至于說到直覺主義數(shù)學排斥了一部分有價值的經(jīng)典數(shù)學，我們說這并非直覺主義數(shù)學的過錯，因為對部分經(jīng)典數(shù)學的排斥并非邏輯地注定了的，誰又能保證這不是由于對經(jīng)典數(shù)學的構(gòu)造性改造太慢而造成的呢？如果是這樣，今天被排斥的東西到明天就不會再排斥。如果排斥是必然的，則正說明構(gòu)造性數(shù)學的獨特性，說明數(shù)學具有構(gòu)造性和非構(gòu)造性兩個不同側(cè)面，說明這兩種數(shù)學確實存在不可化歸的關系。
也許會有許多人說，他們反對的只是直覺主義的哲學主張。在我們看來，直覺主義哲學除了它所主張的潛無窮觀和構(gòu)造性邏輯外，就是這么兩點：一、存在必須被構(gòu)造；二、原始直覺是數(shù)學的基礎。關于潛無窮觀和構(gòu)造性邏輯前面剛剛談過，不再重復。一些人對直覺主義者把可構(gòu)造性作為數(shù)學理論可靠性的標準表示反對，前面我們也進行了反駁，并指出了可構(gòu)造性是更強、更可靠的可靠性標準。至于提到“原始直覺是數(shù)學的基礎”這一哲學主張，我們認為首先應該區(qū)別它的兩種不同涵義：一是從數(shù)學發(fā)生學的角度講，數(shù)學是產(chǎn)生于人類的原始直覺，原始直覺是產(chǎn)生數(shù)學的基礎。二是從數(shù)學認識論的角度講，數(shù)學的可靠性根源于人類的原始直覺，原始直覺是保證數(shù)學可靠性的基礎。我們認為，直覺主義者在講“原如直覺是數(shù)學的基礎”時，包括了上述兩層意思。不過我們認為，上述兩層意思中，前者是可接受的（對此我們將另文專論），后者是錯誤的。原因正如波普爾所說：相信知識在發(fā)生學或心理學上是先驗的，這是對的；但認為知識都能先驗地正確，就大錯特錯了。源于人的直覺的數(shù)學，如果沒有被邏輯地構(gòu)造與證明，它就沒有獲得必要的可靠性。但聯(lián)想到直覺主義者隨時都在強調(diào)可構(gòu)造性，因此他們在哲學上的一些錯誤并不會影響到其數(shù)學的可靠性。說直覺主義哲學大體上是可接受的，還有一個有力的理由，即在這種哲學主張的基礎上而建立起的直覺主義數(shù)學，并未象經(jīng)典數(shù)學那樣一再地發(fā)生危機——出現(xiàn)悖論，它是自相容的。
美籍華人王浩先生曾認為，構(gòu)造性數(shù)學是做的數(shù)學，非構(gòu)造性數(shù)學是在的數(shù)學。對此，我國著名數(shù)學家胡世華先生給予了如下的解釋和進一步的發(fā)揮：“數(shù)學的在是信息模式和結(jié)構(gòu)的在；數(shù)學的做是信息加工。構(gòu)造性數(shù)學的傾向是用數(shù)學取得的結(jié)果把結(jié)果構(gòu)造出來，側(cè)重于思維的構(gòu)造性實踐，非構(gòu)造性數(shù)學的傾向是數(shù)學地理解問題和規(guī)律，建立數(shù)學模型，形成數(shù)學理論體系，追求科學思想”。（〔8〕第267頁）我們認為，這些看法是比較客觀的。但應進一步指明的是，構(gòu)造性數(shù)學并非像許多人認為的那樣，總是直接因襲標準的非構(gòu)造性數(shù)學。事實上，構(gòu)造性數(shù)學不是命中注定永遠要靠坐吃經(jīng)典數(shù)學這個老板來發(fā)展。這兩類數(shù)學的關系是共生性，而非寄生性的。構(gòu)造性數(shù)學的發(fā)展還不足百年，相信它在未來的發(fā)展中，會有一個又一個的重大突破。當然這已是后話了。
參考文獻
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